經(jīng)典競(jìng)賽題 國(guó)賽論文 2007aaa1

1、 基于差分方程的人口預(yù)測(cè)模型摘要本文針對(duì)我國(guó)人口增長(zhǎng)中出現(xiàn)的新特點(diǎn)，建立了兩個(gè)符合實(shí)際情況的預(yù)測(cè)模型。 模型一：基于 Logistic 模型，建立了含市、鎮(zhèn)、鄉(xiāng)人口相互流動(dòng)關(guān)系的微分方程模 型，求得全國(guó)總?cè)丝跀?shù)在短期內(nèi)將持續(xù)增長(zhǎng)，到 2010 年、2020 年分別為 13.59 億和 14.44 億，具有較好的中短期預(yù)測(cè)效果。 模型二：從年齡轉(zhuǎn)移與總和生育率出發(fā)，建立了離散型人口發(fā)展模型。 1.針對(duì)性別比例，引入女性比例轉(zhuǎn)移矩陣，利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行隨機(jī)模擬，建立起動(dòng)態(tài)的女性比例轉(zhuǎn)移矩陣； 針對(duì)人口遷移，引入人口遷移率矩陣，將遷移率標(biāo)準(zhǔn)化后利用平均遷移率實(shí)現(xiàn)了對(duì)遷移人數(shù)的預(yù)測(cè)； 針對(duì)死亡率，利用分段

2、加權(quán)法估計(jì)其隨時(shí)間的變化，得到了較好的預(yù)測(cè)結(jié)果； 針對(duì)老齡化和出生高峰，將其轉(zhuǎn)化為育齡婦女占總?cè)丝诘谋壤?，?shí)現(xiàn)了量化預(yù)測(cè)。綜合考慮上述因素，利用 MATLAB 編程求解，全國(guó)總?cè)丝趯⒊尸F(xiàn)短期增加、中期 2.3.4.平穩(wěn)、長(zhǎng)期緩慢下降的趨勢(shì)。其中總?cè)丝谠?2010 年、2020 年將分別達(dá)到 13.63 億和 14.57 億人；在 2039 年將達(dá)到人口高峰 14.65 億人，性別比逐步逼近 46.7，69 歲以上人口將超過(guò) 4 億人，占總?cè)丝诘?27.48。 模型一需要的原始數(shù)據(jù)少，操作簡(jiǎn)單，適合于中短期預(yù)測(cè)，但長(zhǎng)期預(yù)測(cè)效果不佳； 模型二綜合考慮了各因素，對(duì)中短期和長(zhǎng)期均有較好的預(yù)測(cè)效果，但所

3、需數(shù)據(jù)量大，操作較為復(fù)雜。 關(guān)鍵字Logistic 模型人口發(fā)展模型轉(zhuǎn)移矩陣計(jì)算機(jī)模擬遷移率1 1.問(wèn)題重述人口預(yù)測(cè)是國(guó)家工作中的重點(diǎn)，關(guān)系著國(guó)家的發(fā)展方向和命運(yùn)。我國(guó)是一個(gè)人口大國(guó)，人口問(wèn)題始終是制約我國(guó)發(fā)展的關(guān)鍵因素之一。根據(jù)已有數(shù)據(jù)，運(yùn)用數(shù)學(xué)建模的方法，對(duì)我國(guó)人口做出分析和預(yù)測(cè)是一個(gè)重要問(wèn)題。 近年來(lái)我國(guó)的人口發(fā)展出現(xiàn)了一些新的特點(diǎn)，例如，老齡化進(jìn)程加速、出生人口性別比持續(xù)升高，以及鄉(xiāng)村人口城鎮(zhèn)化等因素，這些都影響著我國(guó)人口的增長(zhǎng)。2007 年初發(fā)布的國(guó)家人口發(fā)展戰(zhàn)略研究報(bào)告對(duì)此做出了進(jìn)一步的分析。 從我國(guó)的實(shí)際情況和人口增長(zhǎng)的上述特點(diǎn)出發(fā)，參考相關(guān)數(shù)據(jù)，建立我國(guó)人口增長(zhǎng)的數(shù)學(xué)模型，并由

4、此對(duì)我國(guó)人口增長(zhǎng)的中短期和長(zhǎng)期趨勢(shì)做出預(yù)測(cè)；特別注意指出模型中的優(yōu)點(diǎn)與不足之處。 2.問(wèn)題分析一個(gè)社會(huì)（國(guó)家、省市、地區(qū)）人口的變化和隨時(shí)間的發(fā)展過(guò)程，是由很多因素決定的，社會(huì)制度、自然環(huán)境、生活水平、科學(xué)文化水平、戰(zhàn)爭(zhēng)、自然災(zāi)害和移民等等， 都能嚴(yán)重地影響社會(huì)人口的發(fā)展過(guò)程。然而，嬰兒的出生、人口的死亡、居民的遷移卻是決定該社會(huì)人口變化的直接原因，近年來(lái)我國(guó)人口發(fā)展出現(xiàn)的一些新特點(diǎn)，如老齡化進(jìn)程加速、出生人口性別比持續(xù)升高，以及鄉(xiāng)村人口城鎮(zhèn)化等因素，都直接或間接地通過(guò)這三個(gè)現(xiàn)象表現(xiàn)出來(lái)。綜合考慮這些因素成為構(gòu)建符合我國(guó)國(guó)情的人口增長(zhǎng)模型關(guān)鍵。 建立模型對(duì)人口發(fā)展過(guò)程進(jìn)行定量預(yù)測(cè)，就是根據(jù)現(xiàn)有

5、的人口統(tǒng)計(jì)資料和原始數(shù)據(jù)，從當(dāng)前實(shí)際的人口狀況出發(fā)，并對(duì)未來(lái)的人口發(fā)展過(guò)程，提出合理的控制要求和假定，應(yīng)用科學(xué)的方法，預(yù)測(cè)出未來(lái)幾年、幾十年甚至上百年的人口發(fā)展趨勢(shì)，包括人口總數(shù)、人口的性別、年齡和城鄉(xiāng)結(jié)構(gòu)，人口出生、死亡和自然增長(zhǎng)率的變化以及在未來(lái)的人口構(gòu)成中勞力和撫養(yǎng)水平及老化水平等。 3.模型假設(shè)針對(duì)本問(wèn)題，建立如下合理的假設(shè)： 題中所給數(shù)據(jù)能反映我國(guó)人口變化的基本情況； 1.2.3.一些重大，如戰(zhàn)爭(zhēng)、自然災(zāi)害等對(duì)人口預(yù)測(cè)的影響暫不考慮； 所給數(shù)據(jù)都是年末數(shù)據(jù)，也即下一年年初數(shù)據(jù)，如 2001 年總?cè)丝趯?shí)質(zhì)上也表示 2002 年初的總?cè)丝冢?今年所統(tǒng)計(jì)的i 歲的人口在下一年年初均為i +

6、1 歲； 生育模式不隨時(shí)間變化。 4.5.2 4.符號(hào)說(shuō)明5.模型建立與求解5.1. 數(shù)據(jù)預(yù)處理 題中所給 5 年我國(guó)人口 1%調(diào)查數(shù)據(jù)是對(duì)人口的抽樣調(diào)查數(shù)據(jù)，由于數(shù)據(jù)的不完備性，并不能由它來(lái)估計(jì)當(dāng)時(shí)的全國(guó)總?cè)丝跀?shù)。但基于抽樣調(diào)查的等概率性，可以認(rèn)為它所反應(yīng)的市、鎮(zhèn)、鄉(xiāng)三個(gè)地區(qū)的人口比例及男女比例是與實(shí)際較為接近的。從中國(guó)人口統(tǒng)計(jì)年鑒 20061可以得到 20012005 年具體的全國(guó)總?cè)丝跀?shù)。進(jìn)而可以得到各部分人口數(shù)。所得數(shù)據(jù)見(jiàn)表 1。 例： 2001年市實(shí)際男性總?cè)丝?2001年全國(guó)總?cè)丝?當(dāng)年抽樣調(diào)查中市男性總?cè)丝诋?dāng)年抽樣調(diào)查總?cè)丝诒?15 年間各部分人口數(shù)3年份 20012002200

7、320042005城市男 1546616803167791667718149城市女 1542016804168431688918092鎮(zhèn)男 8394821399611006011276鎮(zhèn)女 815479049705990111117鄉(xiāng)男 4127140566392223936036661鄉(xiāng)女 3892338164367183710035461總?cè)丝?127627128453129227129988130756符號(hào) 說(shuō)明 單位 N (t )在t 年初的總?cè)丝跀?shù) 萬(wàn)人 Nm最大人口容量 萬(wàn)人 r人口固有增長(zhǎng)率 l各地區(qū)間人口遷移系數(shù) xi (t)第t 年年初有i 歲的人口數(shù) 萬(wàn)人 mi (t)第t

8、 年i 歲人的死亡率 gi (t)第t 年i 歲人口的遷入量 萬(wàn)人 ki (t )第t 年女性人口在i 歲人口中所占比例 hi (t )第t 年生育模式 b (t)第t 年總和生育率 a1, a2育齡期范圍， a1 = 15, a2 = 49歲 hi (t)第t 年i 歲人的后向死亡率 mi (t)第t 年i 歲人的前向死亡率 o i (t )第t 年i 歲人的遷移率 5.2. 模型一：基于人口遷移的 Logistic 阻滯增長(zhǎng)模型 5.2.1. 模型建立： 考慮單一地區(qū)只受自然資源和環(huán)境條件限制的 Logistic 阻滯增長(zhǎng)模型2：dN(t) = rN(t)(1- N(t) )dtNm其中r

9、 為固有增長(zhǎng)率。N (t), Nm 分別表示第 t 年的人口數(shù)和此條件限制下的最大人口容量。因子rN (t ) 體現(xiàn)了人口自身的增長(zhǎng)趨勢(shì)，因子 (1- N(t ) Nm ) 則體現(xiàn)了資源和環(huán)境對(duì)人口增長(zhǎng)的阻滯作用，人口增長(zhǎng)是兩個(gè)因子共同作用的結(jié)果。 現(xiàn)在考慮市、鎮(zhèn)、鄉(xiāng)三個(gè)地區(qū)的總?cè)丝谧兓?guī)律，假定在一段時(shí)期內(nèi)，這三個(gè)地區(qū)各自均處于穩(wěn)定狀態(tài)，出生率和死亡率都沒(méi)有太大變化。然而居民在三個(gè)地區(qū)間的遷移會(huì)對(duì)總?cè)丝诋a(chǎn)生一定的影響。對(duì)原 Logistic 模型進(jìn)行修改，得到多地區(qū)條件下的改進(jìn)模型： dN1(t )N1(t )N 2(t )N2 (t )+ l21+ l31= r1 N1(t )(1-)dt

10、NNN1m2m2mdN (t )N (t)N1(t ) + lN3(t ) )+ l= r N (t )(1-222 21232dtNNN2m1m3 m dN (t)N (t)N (t)N (t)= r3N3 (t)(1- 3+ l13 1l23 2)3dtN3mN1mN2m其中 p, q =1,2,3. 分別表示市、鎮(zhèn)、鄉(xiāng)這三個(gè)地區(qū)， lqp 是遷移系數(shù)，正數(shù)時(shí)表示遷入，負(fù)數(shù)時(shí)表示遷出。lqp / Nm 體現(xiàn)了居民從地區(qū)q 遷到地區(qū) p 時(shí)對(duì)地區(qū) p 人口增長(zhǎng)的影 響。 為求解此方程，不失一般性的取Dt = 1，則原微分方程組化為差分方程組： N (t)N2 (t) + lN2 (t)+ l

11、N (t +1) - N (t ) = r N (t)(1-1 111 12131NNN1m2m2mNN (t )N1(t)N3 (t) )(t +1) - N (t) = r N (t)(1 -+ l+ l2222 21232NNN2m1m3mNN (t )N1 (t)lN2 (t)+ l(t +1) - N (t) = r N (t )(1-3N3m333 31323N1mN2m5.2.2. 模型求解： 1.求解 r考慮到育齡婦女生育率信息的殘缺，用年齡為 i 的育齡期婦女占總?cè)丝诘谋壤?pi (t )與對(duì)應(yīng)每個(gè)年齡生育率的乘積和來(lái)表示年t 的出生率。 a 2r = pi (t)bi (t

12、 )i =a1取t = 2001 ,可得到市、鎮(zhèn)、鄉(xiāng)的固有增長(zhǎng)率： r1= 0.00907, r2= 0.0107, r3 = 0.012334 2.求解 Nm由經(jīng)驗(yàn)公式 Nm = N(t ) (1- r r0) ，其中 r0 = 0.029 ，為世界人口固有增長(zhǎng)率，可得 2001 年各地區(qū)最大人口容量（單位：萬(wàn)人）： N1 = 139488, N2 = 26228, N3 = 44944 。 3.求解l為求解l ，把 2002 年和 2001 年的數(shù)據(jù)都帶入阻滯增長(zhǎng)模型，聯(lián)合以下三個(gè)遷入遷出方程可解遷移系數(shù)l 。（見(jiàn)表） r1l21 = r2l12NN2 m1mr2l32 = r3l23N3

13、mN2 mr lr l 3 13 = 1 31N1mN3m表 2遷移系數(shù)l4.求解 N p (t + 1)由所求得的系數(shù)r , Nm , l ，把 2001 年作為初始年，用 MATLAB 求解可得以后各年全國(guó)總?cè)丝跀?shù)： 表 3模型一對(duì)全國(guó)總?cè)丝跀?shù)的預(yù)測(cè)5.2.3. 模型分析： 1.結(jié)果分析 由表 3 可以看出，我國(guó)人口在短時(shí)間內(nèi)仍會(huì)繼續(xù)增長(zhǎng)，增長(zhǎng)水平為每年 1000 萬(wàn)人左右，到 2010 年和 2020 年，全國(guó)總?cè)丝趯⑦_(dá) 13.59 億人與 14.44 億人。 5年代 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 預(yù)測(cè)人數(shù)（億人）12

14、.94 13.03 13.12 13.22 13.32 13.41 13.50 13.59 13.68 13.77 實(shí)際人數(shù)（億人）12.92 13.00 13.08 誤差（） 0.13 0.26 0.39 年代 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 預(yù)測(cè)人數(shù)（億人）13.86 13.94 14.03 14.11 14.19 14.28 14.26 14.44 14.52 14.61 年代 2023 2024 2025 2026 2027 2028 2030 2035 2040 2045 預(yù)測(cè)人數(shù)（億人）14.69 14.78 14

15、.86 14.95 15.04 15.12 15.30 15.76 16.24 16.82 市 p = 1鎮(zhèn) p = 2鄉(xiāng) p = 3市q = 1021.13720-0.1108025鎮(zhèn)q = 214.5518203.735552鄉(xiāng)q = 3-0.467488022.893160 2.敏感性分析 由模型的建立原理可知： N (t) r(1 - r Nm ) r(1 - r) ，故 N (t ) 將隨r 的增加成二次冪增長(zhǎng)，而 r = 女性比例生育模式，女性比例變化不大的情況下，可認(rèn)為 r 正比于生育模式，又因?yàn)樯Ｊ秸扔诳偤蜕?，?N (t ) 與總和生育率成二次正相關(guān)，即整個(gè)模型對(duì)總

16、和出生率十分敏感。 3. 模型優(yōu)點(diǎn) 基于傳統(tǒng)的 Logistic 模型，建立起市、鎮(zhèn)、鄉(xiāng)人口間的相互流動(dòng)關(guān)系，綜合考慮了出生率、死亡率與遷入遷出對(duì)人口增長(zhǎng)的影響，對(duì) Logistic 原模型做了合理的擴(kuò)充，使其更符合實(shí)際情況，預(yù)測(cè)效果良好。同時(shí)根據(jù)實(shí)際情況，對(duì)難以求解的微分方程采用差分方程代替，降低了解題難度，使模型易于實(shí)現(xiàn)。 4.模型缺點(diǎn) i.由于采用了差分方程的近似代替，整個(gè)預(yù)測(cè)結(jié)果均隨著時(shí)間的增長(zhǎng)而增大，這是不符合生物學(xué)規(guī)律的，故此模型對(duì)人口的中短期預(yù)測(cè)較好，長(zhǎng)期預(yù)測(cè)則難以讓人信服。 ii.沒(méi)有考慮性別比對(duì)年齡結(jié)構(gòu)的影響，且只能對(duì)總?cè)丝跀?shù)進(jìn)行預(yù)測(cè)，無(wú)法對(duì)性別比和年齡結(jié)構(gòu)做出相應(yīng)的預(yù)測(cè)。

17、5.改進(jìn)方向： i.ii.采用先進(jìn)的工具軟件對(duì)微分方程求解，得到模型預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確結(jié)果。 分段對(duì)模型進(jìn)行調(diào)整和改進(jìn)，減少累加誤差。 5.3. 模型二：離散人口發(fā)展方程模型 5.3.1. 模型建立分析 由于模型一的局限性，需要進(jìn)一步分析各因素對(duì)全國(guó)人口總數(shù)的影響?？紤]一個(gè)地區(qū)第t +1年初的人口，它有三類主要來(lái)源： i.ii. iii.本地區(qū)第t 年存活下來(lái)的人； 本地區(qū)第t 年出生并存活下來(lái)的人； 外部地區(qū)第t 年遷入或遷出本地區(qū)的人。為定量描述這些因素對(duì)人口數(shù)的影響，建立如下人口發(fā)展模型3： 5.3.2. 模型建立 針對(duì)一個(gè)地區(qū) p ，若第t 年年初有i 歲人口數(shù) xi (t) 人，則由假設(shè) 4

18、 第(t +1) 年年初這些人為(i +1) 歲。若 mi (t) 為這批人在一年內(nèi)的死亡率， gi (t) 為遷移進(jìn)來(lái)的人口數(shù)，則(t +1) 年年初(i +1) 歲的人口數(shù)為 xi (t)(1 - mi (t) + gi (t )。0 歲人口數(shù) x0 (t) 需通過(guò)婦女生育 情況另行計(jì)算，人口發(fā)展方程數(shù)據(jù)流程圖如圖 1 所示： 6 +圖 1人口發(fā)展方程數(shù)據(jù)流程圖于是有人口發(fā)展方程的離散形式：a 2f (t ) = b (t)ki (t )hi (t) xi (t);i= a1x0 (t) = (1 - m00 (t )f(t );x1 (t +1) = (1- m0 (t )x0 (t)

19、+ g0 (t );x2 (t +1) = (1- m1 (t ) x1 (t ) + g1 (t);LLxm (t +1) = (1- mm-1(t) xm-1(t) + gm-1( t);其中，ki (t ) 是女性人口在該年齡組中的比例，hi (t ) 為生育模式，b (t) 為總和生育率。b (t) ki (t) hi( t) xi( t) 是t 年代年齡為i 的所有婦女在一年中所生嬰兒數(shù)。a1, a2 為育齡期， a1 = 15, a2 = 49 。這是一個(gè)以年度為時(shí)間間隔的差分方程組，并且考慮了嬰兒死亡率 m00(t) 的影響。令bi (t) = (1- m00(t)(1 - m0

20、 (t)ki (t)hi (t), i = a1, a1+1,L, a2; 引進(jìn)向量和矩陣符號(hào)： x1(t) g0 (t ) x(t) = M ,g(t) = M , xm (t ) gm -1 (t )0 0001- m2 (t )O0ML1- m (t)H(t) = 1 M0 L1 - mm-1 (t)ba1 (t )Lba1 (t ) 0L0B(t ) =0L007 則差分方程組可以寫(xiě)成向量形式： x(t +1) = H(t )x(t) + b (t)B(t )x(t) + g(t )式中矩陣 H (t) 為從t 到t +1年的人口狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣， B(t ) 為生育矩陣， g(t) 為人

21、口遷移數(shù)。 5.3.3. 參數(shù)預(yù)測(cè) 1.狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣H (t)由模型要求，可對(duì)H (t) 做如下估計(jì)： 由于表中所給的死亡率hi (t) 是后向死亡率，需要將其轉(zhuǎn)換成前向死亡率 mi (t) 才能用于人口發(fā)展方程模型，轉(zhuǎn)換方程為：1- mi (t ) =1 (1+hi (t) ； 考慮數(shù)據(jù)誤差和生物生存規(guī)律，對(duì)人口按 0，14，59，1014，8589，90 分為 20 組； 分別計(jì)算組內(nèi)死亡率，同組內(nèi)死亡率取相同值，以得到較為穩(wěn)定的分布規(guī)律， i.ii.(男性比例 死亡率+女性比例 死亡率)其中，年齡i 的組內(nèi)死亡率h (t ) =iii.(男性比例+女性比例)i以上計(jì)算得到從t 到t +1

22、年的人口狀態(tài)轉(zhuǎn)移陣H (t) ，考慮到隨著生活水平的提高， 人們的死亡率會(huì)逐漸降低，而兒童和老年人的死亡率受此影響較大，中年人較小， 故可由下式預(yù)測(cè)各年齡段的死亡率 iv.(1 -1100)mi (t)0 i 1415 i 5960 im (t +1) = (1 -11000)m (t)ii(1 -1100)m (t)i表 4各年齡組的死亡率(1：1000)8年齡 0 14 59 1014 1519 2024 2530 3134 3539 4044 2001 5.58 0.70 0.64 0.41 0.41 0.66 0.45 0.91 1.13 1.79 2002 11.59 0.24 0.

23、49 0.31 0.36 0.26 0.58 0.71 1.01 1.65 2003 5.17 0.19 0.21 0.21 0.12 0.21 0.45 0.89 1.24 1.75 2004 2.56 0.40 0.15 0.31 0.20 0.59 0.55 0.67 0.82 1.31 2005 6.24 0.47 0.27 0.22 0.33 0.37 0.43 0.62 0.93 1.45 年齡 4549 5054 5559 6064 6569 7074 7579 8084 8590 90 2001 2.08 4.84 4.79 10.93 16.94 30.52 46.67 80

24、.43 123.71 269.14 2002 2.37 2.84 5.89 9.34 16.34 28.20 49.01 73.24 104.56 155.55 2003 2.48 2.64 6.25 8.84 16.69 28.40 43.82 82.37 131.69 252.08 2004 2.36 4.24 5.95 9.06 14.77 23.96 42.49 65.48 120.17 219.25 2005 2.49 3.50 5.24 8.92 15.18 24.60 41.71 69.24 116.42 275.67 2.生育矩陣B(t )生育陣B(t ) 受嬰兒出生死亡率陣

25、m00 (t) ，0歲人口死亡率陣 m0 (t) ，生育模式陣h(t ) 和女性 在 該 年 齡 組 中 的 比 例 陣 k(t ) 四個(gè)方面 的影響 ， 可以表示為 ： B(t ) = (1- m00 (t)( 1- m0 (t) k(t )h(t) 。m00(t) m0(t) 數(shù)據(jù)已知，下面分別建立對(duì)h(t ) 和 k(t ) 的預(yù)測(cè)模型。 i.生育模式陣h(t )生育模式，實(shí)際是指育齡婦女在總體平均意義下單位時(shí)間內(nèi)（通常指一年），每個(gè)育齡婦女平均活產(chǎn)嬰兒數(shù)具體在每個(gè)年齡上生育的分布形式。在社會(huì)穩(wěn)定的情況下，可以認(rèn)為它大體服從一個(gè)穩(wěn)定的分布。本文用標(biāo)準(zhǔn)化后的均值來(lái)估計(jì)生育模式。 以某一地區(qū)

26、為例，首先將各年的婦女生育率累加，得到總和生育率，再取各年齡生育率與總和生育率的比值，得到標(biāo)準(zhǔn)化后該年的生育模式，最后對(duì) 5 年生育模式取平均， 得到生育模式的估計(jì)值。其中 2003 年的數(shù)據(jù)由于統(tǒng)計(jì)錯(cuò)誤，暫不考慮。 bi (t)b (t)2005a 2ii4i= a1t= 2001,t 2003利用表中數(shù)據(jù)可得生育模式為：表 5生育模式ii.女性比例矩陣k(t )k1(t)0k (t )k(t ) = 2O 0k (t)nk(t ) 是一個(gè)對(duì)角陣，下一年女性比例矩陣可以近似為：k0(t)0k (t)k(t +1) = 1O 0k(t) n-19年齡 15 16 17 18 19 20 21

27、22 23 24 25 26 生育模式 0.01 0.32 0.40 1.67 5.29 18.99 40.41 59.37 86.82 107.10 113.35 115.39 年齡 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 生育模式 101.11 83.15 69.17 51.96 35.69 29.84 18.58 18.28 11.82 8.73 6.48 4.86 年齡 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 生育模式 3.24 2.27 1.40 0.87 0.54 0.67 0.47 0.33 0.17 0.27 0.45

28、其中k0 (t) 為上一年出生的女?huà)胨嫉谋壤?，根?jù)近年統(tǒng)計(jì)資料可知出生女性比例一直在較低的水平進(jìn)行波動(dòng)，又因?yàn)槌錾员壤秊殡S機(jī)值，因此可以利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行為持在低水平的隨機(jī)模擬方法給出k0 (t ) 。 例如，由表中數(shù)據(jù)，可取市的模擬區(qū)間為0.4604,0.4638，而對(duì)于鄉(xiāng)，則是一個(gè)較低的水平0.45,0.4527，以后各年初生兒的女性比例都可以在相應(yīng)地區(qū)的模擬區(qū)間上隨機(jī)取值。這樣既保證了女性比例的波動(dòng)性，又保證了它的地區(qū)差異性。 3. 總和生育率 b (t)總和生育率是一定時(shí)期（如某一年）各年齡組婦女生育率的合計(jì)數(shù)，說(shuō)明每名婦女按照某一年的各年齡組生育率度過(guò)育齡期，平均可能生育的子女?dāng)?shù)，

29、是衡量生育水平最常用的指標(biāo)之一。 受國(guó)家政策的影響，在不同的時(shí)期， b (t) 有不同的取值。由題中所給數(shù)據(jù)可知，不同地區(qū)的總和生育率有較大差距，近些年來(lái)，國(guó)家生育政策有所放寬。由此，可以預(yù)測(cè)未來(lái)的一段時(shí)間內(nèi)，各地區(qū)總和生育率將趨于平衡，在更長(zhǎng)的一段時(shí)間內(nèi)，我國(guó)將達(dá)到總和生育率為 2.1 的人口穩(wěn)定狀態(tài)。又根據(jù)國(guó)家有關(guān)部門預(yù)測(cè)，全國(guó)總和生育率在未來(lái) 30 年應(yīng)保持在 1.8 左右，過(guò)高或過(guò)低都不利于人口與經(jīng)濟(jì)社會(huì)的協(xié)調(diào)發(fā)展。故可取 t= 2030 年時(shí)市鎮(zhèn)鄉(xiāng)的總和生育率都達(dá)到 1.8，當(dāng) t = 2050 年時(shí)達(dá)到穩(wěn)定的總和生育率2.1，取各時(shí)間段間 b (t) 為線性變化。以市為例，可以給出

30、如下的總和生育率b (t) 的分段函數(shù)： 1.8 - b (t) = b (t) -1.02001 t 2030; 2030 - tt - 2001b (t) -1.8 2.1- b (t ) =2030t 2050;2050 - tt - 20304.人口遷移數(shù)g(t)考慮多個(gè)地區(qū)時(shí)，對(duì) g(t) 的預(yù)測(cè)采用按年齡有比例遷移的方法。對(duì)某一年齡 i ，求出第(t +1) 年相對(duì)于第t 年的遷移比例( xi (t +1) - xi (t) xi (t) ，并將其標(biāo)準(zhǔn)化，正數(shù)表示遷入，負(fù)數(shù)表示遷出。分別取 2001、2002 與 2004、2005 兩組數(shù)據(jù)的均值，可得遷移率si (t ) 。 在

31、社會(huì)穩(wěn)定的狀態(tài)下，可認(rèn)為si (t ) 不會(huì)隨時(shí)間有太大變化。根據(jù)現(xiàn)有資料，由國(guó)家人口發(fā)展戰(zhàn)略研究報(bào)告，可設(shè)各地區(qū)每年有 1%的人口按此比例遷移，則 g(t) 的表達(dá)式為： g(t) = 1% s (t )x( t)5.人口出生高峰 我國(guó)人口在 19841990 年出現(xiàn)了的三次人口出生高峰，這將導(dǎo)致 2005 年后的十幾年中，育齡婦女占總?cè)丝诘谋壤黾?，進(jìn)而引起出生人口和總?cè)丝诘脑黾印Ｓ捎诔錾?10 峰與大約 20 年后的育齡婦女比例有直接關(guān)系，為了解出生高峰對(duì)總?cè)丝诘挠绊懀覀儾捎脤?duì)大約 20 年后育齡婦女比例進(jìn)行加權(quán)預(yù)測(cè)。由國(guó)家人口發(fā)展戰(zhàn)略研究報(bào)告中提供的出生高峰圖，可以估計(jì)所加權(quán)值 p

32、 在 1.2 左右。 5.3.4. 模型求解 將上面所得各參數(shù)代入人口發(fā)展方程，用 MATLAB 求解4可得出以下數(shù)據(jù)：1.市鎮(zhèn)鄉(xiāng)及全國(guó)人口總數(shù) 表 6市鎮(zhèn)鄉(xiāng)及全國(guó)人口預(yù)測(cè)（萬(wàn)人）2.各年齡段人數(shù)表 7不同年齡段人口數(shù)預(yù)測(cè)3.女性在總?cè)丝谥械谋壤?8女性人口百分比預(yù)測(cè)5.3.5.結(jié)果分析與檢驗(yàn)1. 由表 6 可得，全國(guó)人口在 2010 年、2020 年的人口將達(dá) 13.63、14.57 億人，同國(guó)家人口發(fā)展戰(zhàn)略研究報(bào)告 中的預(yù)測(cè)值高度一致，且由圖 2 看出，全國(guó)人口將呈現(xiàn)在短期內(nèi)增長(zhǎng)、中期平穩(wěn)過(guò)渡、長(zhǎng)期緩慢下降的趨勢(shì)，在 2039 年達(dá)到峰值 14.65 億 人，這符合我國(guó)的人口政策。 11

33、年代 2005 2010 2015 2020 2025 2030 2035 2040 2045 2050 女性人數(shù) 63466 65774 68205 69673 69637 69267 69132 69000 68205 66885 總?cè)藬?shù) 130715 136282 142103 145789 146197 145924 146191 146525 145447 143189 女性比例 48.55 48.26 48.00 47.79 47.63 47.47 47.29 47.09 46.89 46.71 年代 2005 2010 2015 2020 2025 2030 2035 2040

34、2045 2050 兒童（014 歲） 22658 23512 27375 28557 24982 20877 19953 22024 23297 22265 中年（1559） 91480 92979 90423 89911 87767 85885 83517 81290 78055 73886 老年（60 ） 16576 19790 24305 27321 33449 39161 42721 43210 44095 47039 年代 2005 2010 2015 2020 2025 2030 2035 2040 2045 2050 市 31337 32112 32708 32936 3263

35、5 32210 31877 31415 30575 29481 鎮(zhèn) 16907 17531 18195 18634 18698 18657 18672 18685 18512 18191 鄉(xiāng) 82471 86638 91200 94219 94864 95057 95641 96425 96360 95517 總?cè)丝?130715 136282 142103 145789 146197 145924 146191 146525 145447 143189 圖 2全國(guó)人口預(yù)測(cè)曲線圖2.由表 7 看出，隨著時(shí)間的推移，老年人所占人口比例越來(lái)越大，并在 2031 年突破 4 億大關(guān)，占總?cè)丝诘?27

36、.48，老齡化問(wèn)題應(yīng)當(dāng)引起足夠重視！ 圖 3年齡結(jié)構(gòu)變化預(yù)測(cè)圖3.由表 8 看出，我國(guó)人口的另一個(gè)特點(diǎn)是男女比例失調(diào)，若按目前出生人口的性別比持續(xù)下去，到 2015 年后，性別比將低于正常水平 48%，新進(jìn)入婚育年齡人口男性明顯多于女性，婚姻擠壓?jiǎn)栴}凸現(xiàn)，可能導(dǎo)致的社會(huì)秩序混亂將成為影響社會(huì)穩(wěn)定的嚴(yán)重隱患。 4.由圖 2 可以看出，19841990 年間的人口出生高峰期，直接導(dǎo)致了 20052015 年的嬰兒出生高峰，并間接引起了 20302045 間的人口總數(shù)波動(dòng)，且在 2039 年出現(xiàn)了人口總數(shù)峰值，說(shuō)明人口出生高峰將產(chǎn)生不止一代的影響，應(yīng)盡量避免高峰期的產(chǎn)生。 12 5.3.6. 敏感性

37、分析 1.總和生育率 b由模型的構(gòu)建過(guò)程可知，總和生育率對(duì)預(yù)測(cè)結(jié)果有著重大影響，此點(diǎn)可由圖 4 說(shuō)明： 圖 4全國(guó)總?cè)丝陔S總和生育率的變化圖由圖 4 可知，隨著 b 的增大，總?cè)丝跀?shù)和其變化趨勢(shì)都將產(chǎn)生較大變化，若要維持人口的長(zhǎng)期穩(wěn)定， b 應(yīng)在 2.0 左右，與 2.1 的更替水平相接近；若要控制現(xiàn)階段人口的過(guò)快增長(zhǎng)，則 b 值應(yīng)適當(dāng)?shù)陀?2.0。b 1.8 的效果可參照?qǐng)D 2；可知模型對(duì) b 非常敏感。 2. 遷移率 隨著計(jì)劃生育國(guó)策的進(jìn)一步推廣，城鎮(zhèn)和鄉(xiāng)村的總和生育率將趨于一致，在此前提 下，分別取遷移率為 1/100，1/80，1/50，可以得到如下結(jié)果： 表 9遷移率對(duì)總?cè)丝诘挠绊懕?/p>

38、中數(shù)據(jù)說(shuō)明隨著遷移率的增加，總?cè)丝跀?shù)將降低，這同城市的低生育率、低死亡 率相符合，同時(shí)表中總?cè)丝跀?shù)目變化不大，也說(shuō)明模型對(duì)遷移率的敏感性不高。 3.老齡化和出生高峰老齡化和出生高峰都將對(duì)年齡結(jié)構(gòu)產(chǎn)生影響，它們主要通過(guò)影響某一時(shí)段育齡婦女占總?cè)丝诘谋壤齺?lái)引起人口的總數(shù)的變化，因而我們可以通過(guò)研究育齡婦女的比例來(lái)對(duì)13遷移率 2010 2015 2020 2025 2030 2035 2040 2045 2050 1/100 136282 142103 145789 146197 145924 146191 146525 145447 143189 1/80 135950 141530 14499

39、8 145225 144759 144795 144880 143583 141150 1/50 135895 141407 144818 145043 144594 144651 144741 143435 141000 老齡化和出生高峰的影響進(jìn)行預(yù)測(cè)，表 10 是預(yù)測(cè)結(jié)果：表 10 不同權(quán)值下育齡婦女比例對(duì)總?cè)丝诘挠绊懹杀?10 中的數(shù)據(jù)可知，隨著育齡婦女加權(quán)因子的減小，也及老年化突出程度增加和出生高峰嚴(yán)重程度的減少，總?cè)丝跀?shù)將減少，說(shuō)明模型對(duì)老齡化和出生高峰的處理符合實(shí)際情況。同時(shí)可以看出，它們對(duì)總?cè)丝诘挠绊懯潜容^大的，因而模型對(duì)老齡化和出 生高峰比較敏感。 4.性別比例聯(lián)合觀察表 6 和表 8 中的數(shù)據(jù)可以對(duì)性別比例對(duì)總?cè)丝诘挠绊懽龃笾铝私?，從?11可以看出，總?cè)丝陔S著女性比例的降低而降低，符合生物學(xué)規(guī)律。 表 11總?cè)丝谂c女性比例（）關(guān)系表5.3.7. 模型優(yōu)缺點(diǎn) 模型優(yōu)點(diǎn)： 1.充分考慮現(xiàn)階段的人口增長(zhǎng)特點(diǎn)，引入性別比例轉(zhuǎn)移矩陣，利用計(jì)算機(jī)模擬未來(lái)出生人口的性別比例，動(dòng)態(tài)地對(duì)人口性別變化做出預(yù)測(cè)。 對(duì)死亡率做出合理的假設(shè)，分年齡段地計(jì)算各年齡的死亡率，既簡(jiǎn)化了模型，也較準(zhǔn)確地符合實(shí)際。 結(jié)合我國(guó)當(dāng)今大量人口遷入城市以及城鎮(zhèn)化進(jìn)程快速，將人口遷移率引入模型，得到各年市、鎮(zhèn)、鄉(xiāng)的各年人口數(shù)。 八十年代的出生高峰期會(huì)使最近幾年的總和生育率