排列組合常見類型與解法[3頁]

1、排列組合的常見題型及其解法排列、組合的概念具有廣泛的實(shí)際意義，解決排列、組合問題，關(guān)鍵要搞清楚是否與元素的順序有關(guān)。復(fù)雜的排列、組合問題往往是對(duì)元素或位置進(jìn)行限制，因此掌握一些基本的排列、組合問題的類型與解法對(duì)學(xué)好這部分知識(shí)很重要。一. 特殊元素（位置）用優(yōu)先法把有限制條件的元素（位置）稱為特殊元素（位置），對(duì)于這類問題一般采取特殊元素（位置）優(yōu)先安排的方法。例1. 6人站成一橫排，其中甲不站左端也不站右端，有多少種不同站法？分析：解有限制條件的元素（位置）這類問題常采取特殊元素（位置）優(yōu)先安排的方法。解法1：（元素分析法）因?yàn)榧撞荒苷咀笥覂啥?，故第一步先讓甲排在左右兩端之間的任一位置上，有種

2、站法；第二步再讓其余的5人站在其他5個(gè)位置上，有種站法，故站法共有：480（種）解法2：（位置分析法）因?yàn)樽笥覂啥瞬徽炯?，故第一步先從甲以外?個(gè)人中任選兩人站在左右兩端，有種；第二步再讓剩余的4個(gè)人（含甲）站在中間4個(gè)位置，有種，故站法共有：（種）二. 相鄰問題用捆綁法對(duì)于要求某幾個(gè)元素必須排在一起的問題，可用“捆綁法”：即將這幾個(gè)元素看作一個(gè)整體，視為一個(gè)元素，與其他元素進(jìn)行排列，然后相鄰元素內(nèi)部再進(jìn)行排列。例2. 5個(gè)男生和3個(gè)女生排成一排，3個(gè)女生必須排在一起，有多少種不同排法？解：把3個(gè)女生視為一個(gè)元素，與5個(gè)男生進(jìn)行排列，共有種，然后女生內(nèi)部再進(jìn)行排列，有種，所以排法共有：（種）。

3、三. 相離問題用插空法元素相離（即不相鄰）問題，可以先將其他元素排好，然后再將不相鄰的元素插入已排好的元素位置之間和兩端的空中。例3. 7人排成一排，甲、乙、丙3人互不相鄰有多少種排法？解：先將其余4人排成一排，有種，再往4人之間及兩端的5個(gè)空位中讓甲、乙、丙插入，有種，所以排法共有：（種）四. 定序問題用除法對(duì)于在排列中，當(dāng)某些元素次序一定時(shí)，可用此法。解題方法是：先將n個(gè)元素進(jìn)行全排列有種，個(gè)元素的全排列有種，由于要求m個(gè)元素次序一定，因此只能取其中的某一種排法，可以利用除法起到調(diào)序的作用，即若n個(gè)元素排成一列，其中m個(gè)元素次序一定，則有種排列方法。例4. 由數(shù)字0、1、2、3、4、5組成

4、沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，其中個(gè)位數(shù)字小于十位數(shù)字的六位數(shù)有多少個(gè)？解：不考慮限制條件，組成的六位數(shù)有種，其中個(gè)位與十位上的數(shù)字一定，所以所求的六位數(shù)有：（個(gè)）五. 分排問題用直排法對(duì)于把幾個(gè)元素分成若干排的排列問題，若沒有其他特殊要求，可采取統(tǒng)一成一排的方法求解。例5. 9個(gè)人坐成三排，第一排2人，第二排3人，第三排4人，則不同的坐法共有多少種？解：9個(gè)人可以在三排中隨意就坐，無其他限制條件，所以三排可以看作一排來處理，不同的坐標(biāo)共有種。六. 復(fù)雜問題用排除法對(duì)于某些比較復(fù)雜的或抽象的排列問題，可以采用轉(zhuǎn)化思想，從問題的反面去考慮，先求出無限制條件的方法種數(shù)，然后去掉不符合條件的方法種數(shù)。在應(yīng)用

5、此法時(shí)要注意做到不重不漏。例6. 四面體的頂點(diǎn)和各棱中點(diǎn)共有10個(gè)點(diǎn)，取其中4個(gè)不共面的點(diǎn)，則不同的取法共有（ ）A. 150種B. 147種C. 144種D. 141種解：從10個(gè)點(diǎn)中任取4個(gè)點(diǎn)有種取法，其中4點(diǎn)共面的情況有三類。第一類，取出的4個(gè)點(diǎn)位于四面體的同一個(gè)面內(nèi)，有種；第二類，取任一條棱上的3個(gè)點(diǎn)及該棱對(duì)棱的中點(diǎn)，這4點(diǎn)共面，有6種；第三類，由中位線構(gòu)成的平行四邊形（其兩組對(duì)邊分別平行于四面體相對(duì)的兩條棱），它的4個(gè)點(diǎn)共面，有3種。以上三類情況不合要求應(yīng)減掉，所以不同的取法共有：（種）。七. 多元問題用分類法按題目條件，把符合條件的排列、組合問題分成互不重復(fù)的若干類，分別計(jì)算，最后

6、計(jì)算總數(shù)。例7. 已知直線中的a，b，c是取自集合3，2，1，0，1，2，3中的3個(gè)不同的元素，并且該直線的傾斜角為銳角，求符合這些條件的直線的條數(shù)。解：設(shè)傾斜角為，由為銳角，得，即a，b異號(hào)。（1）若c0，a，b各有3種取法，排除2個(gè)重復(fù)（，），故有：3327（條）。（2）若，a有3種取法，b有3種取法，而同時(shí)c還有4種取法，且其中任意兩條直線均不相同，故這樣的直線有：33436（條）。從而符合要求的直線共有：73643（條）八. 排列、組合綜合問題用先選后排的策略處理排列、組合綜合性問題一般是先選元素，后排列。例8. 將4名教師分派到3所中學(xué)任教，每所中學(xué)至少1名教師，則不同的分派方案共有多少種？解：可分兩步進(jìn)行：第一步先將4名教師分為三組（1，1，2），（2，1，1），（1，2，1），共有：（種），第二步將這三組教師分派到3種中學(xué)任教有種方法。由分步計(jì)數(shù)原理得不同的分派方案共有：（種）。因此共有36種方案。九. 隔板模型法常用于解決整數(shù)分解型排列、組合的問題。例9. 有10個(gè)三好學(xué)生名額，分配到6個(gè)班，每班至少1個(gè)