量子力學中的力學量.ppt

1、第三章 量子力學中的力學量,第4(5)節(jié) 厄米算符本征函數(shù)的正交性,定理1：厄米算符分屬不同本征值的本征函數(shù)彼此正交。,定理：厄米算符的本征值是實數(shù),定理2：若厄米算符某個本征值存在k個不同(線性無關(guān))本征函數(shù)，則必可從它們的線性組合中選擇k個彼此正交的（本征）函數(shù)。,顯然k維子空間V中一定存在k個正交矢量（函數(shù)）且都是算符F的本征函數(shù),第4(5)節(jié) 厄米算符本征函數(shù)的正交性,根據(jù)前面2個定理，我們總可適當選擇厄米算符的本征函數(shù)，使它們滿足正交歸一性！例如 一維無限深勢阱,動量算符本征函數(shù),角動量算符本征函數(shù),一維線性諧振子,氫原子,波函數(shù),第5(6)節(jié) 算符與力學量的關(guān)系,前面提到，系統(tǒng)處于

2、力學量算符(厄米算符)的本征函數(shù)描述的狀態(tài)(本征態(tài))，該力學量有確定值，就是本征函數(shù)對應的本征值。例如定態(tài)能量，動量本征態(tài)時的動量，角動量本征態(tài)時的角動量，等等。現(xiàn)在推廣這個假定。先引入概念：,展開系數(shù),稱為幾率幅,注意展開系數(shù)滿足,第5(6)節(jié) 算符與力學量的關(guān)系,測量F的結(jié)果是其本征值，一般不確定是那個本征值。因此，測量的平均值是,平均值公式,例題 氫原子處于基態(tài)，求電子動量的幾率分布,第5(6)節(jié) 算符與力學量的關(guān)系,例題 (p101 3.6題)設t=0時，粒子處于狀態(tài) 求此時粒子的平均動量和平均動能,平均動能,平均動量,平均動能,第5(6)節(jié) 算符與力學量的關(guān)系,例題 (p101 3.

3、7題)一維運動粒子的狀態(tài)是 歸一化常數(shù)A=? 若粒子的能量為E,求系統(tǒng)的勢能。 動量的幾率分布函數(shù) 平均動量,動量的幾率分布函數(shù),平均動量,實際上，平均動量一看就知道為零,第5(6)節(jié) 算符與力學量的關(guān)系,平均能量,實際上，平均能量可以非常方便地計算出,能量本征函數(shù)和能量本征值是,能量的幾率分布,第5(6)節(jié) 算符與力學量的關(guān)系,是能量、角動量平方及角動量z分量算符的共同本征函數(shù),氫原子定態(tài)波函數(shù),第5(6)節(jié) 算符與力學量的關(guān)系,2個有用的定理,H-F定理 系統(tǒng)處于束縛定態(tài)，則,維里定理 系統(tǒng)處于束縛定態(tài)，若勢能是次齊次函數(shù),則,由前面的定理,第5(6)節(jié) 算符與力學量的關(guān)系,由維里定理得,

4、動量幾率分布,例題 一維諧振子處于能量本征態(tài) 1)求勢能的平均值。 2)求動能的平均值。3)求動量幾率分布,例題 p100的3.2題 氫原子處于基態(tài) 1)求r的平均值。 2)求勢能的平均值。3）最可幾半徑(前面已講，略)。 4) 求動能的平均值。5)求動量幾率分布(前面已講，略)。,該題當n=0時就是p100的3.1題,由維里定理得,第6(7)節(jié) 算符的對易關(guān)系 兩力學量同時有確定值的條件 測不準關(guān)系,兩個算符乘積一般與次序有關(guān),定義對易式,坐標算符與動量算符的對易式,基本對易關(guān)系,同理得到坐標算符與動量算符的其它對易關(guān)系,其它(有經(jīng)典對應的)物理量的對易關(guān)系可從基本對易關(guān)系導出,例如角動量算

5、符的對易式,對易式的公式,對易,兩力學量算符對易兩力學量同時有確定值的條件,不對易,定理 兩個力學量算符有共同的構(gòu)成完全系的本征函數(shù)集,第6(7)節(jié) 算符的對易關(guān)系 兩力學量同時有確定值的條件 測不準關(guān)系,第6(7)節(jié) 算符的對易關(guān)系 兩力學量同時有確定值的條件 測不準關(guān)系,定理 兩個力學量算符有共同的構(gòu)成完全系的本征函數(shù)集,若系統(tǒng)處于兩個力學量算符的共同本征函數(shù)描述的狀態(tài),則這兩個力學量同時有確定值,注意：兩個力學量不對易=沒有共同構(gòu)成完全系的本征函數(shù)集。但它們可能有共同本征函數(shù)！,例如，,兩力學量算符對易兩力學量同時有確定值的條件,第6(7)節(jié) 算符的對易關(guān)系 兩力學量同時有確定值的條件

6、測不準關(guān)系,測不準關(guān)系,不對易情況,若2個厄米算符F,G滿足對易關(guān)系,定義2個新厄米算符,定理 兩個力學量算符滿足對易關(guān)系,則它們滿足測不準關(guān)系,引入非負積分,厄米算符 ：,第6(7)節(jié) 算符的對易關(guān)系 兩力學量同時有確定值的條件 測不準關(guān)系,定理 兩個力學量算符滿足對易關(guān)系,則它們滿足測不準關(guān)系,Heisenburg(也稱為基本)測不準關(guān)系,這也解釋了勢壘現(xiàn)象中似乎動能為負值的疑問,例題：,第6(7)節(jié) 算符的對易關(guān)系 兩力學量同時有確定值的條件 測不準關(guān)系,注意線性諧振子束縛態(tài)必定有確定宇稱,例題： Heisenburg測不準關(guān)系可以說明線性諧振子零點能的存在,第7(8)節(jié) 力學量平均值隨時間的演化 守恒定律,力學量平均值,其中歸一化波函數(shù)滿足(含時)薛定諤方程,若力學量算符不顯含時間,則,如果力學量算符不顯含時間,守恒量,又滿足,第7(8)節(jié) 力學量平均值隨時間的演化 守恒定律,空間平移不變=動量守恒,空間平移不變=,轉(zhuǎn)動不變=角動量守恒,時間平移不變=能量守恒,時間平移不變=,系統(tǒng)轉(zhuǎn)動不變=,空間反演不變=宇稱守恒,第3節(jié) 氫原子習題,習題 書中第三章3.13.9 前面都已講過！,習題 書中第三章3.10題球形腔中的運動，求能級與能量本征函數(shù),定態(tài)薛定諤方程變?yōu)?球貝塞爾方程,球貝塞爾函數(shù),球貝塞爾函數(shù)與貝塞爾函