2013版高中全程復(fù)習(xí)方略配套課件：2.9函數(shù)與方程(北師大·數(shù)學(xué)理·陜西專用).ppt

1、第九節(jié) 函數(shù)與方程,三年12考 高考指數(shù): 結(jié)合二次函數(shù)的圖像，了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的聯(lián)系，會(huì)判斷一元二次方程根的存在性及根的個(gè)數(shù).,1.函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)、存在區(qū)間及方程解的確定與應(yīng)用是高考的熱點(diǎn). 2.常與函數(shù)的圖像與性質(zhì)交匯命題，主要考查函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合思想. 3.題型以選擇題和填空題為主，若與導(dǎo)數(shù)綜合，則以解答題形式出現(xiàn)，屬中、高檔題.,1.函數(shù)的零點(diǎn) (1)定義：函數(shù)y=f(x)的圖像與_稱為這 個(gè)函數(shù)的零點(diǎn). (2)幾個(gè)等價(jià)關(guān)系：,橫軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo),【即時(shí)應(yīng)用】 (1)函數(shù)f(x)=x3-x的零點(diǎn)是_; (2)函數(shù)f(x)=lgx- 的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是_.,【解析】(1)令

2、f(x)=0，即x3-x=0,解得x=0,1,-1, f(x)的零點(diǎn)為-1，0，1. (2)由等價(jià)關(guān)系、零點(diǎn)個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為方程lgx- =0的根的個(gè)數(shù) lgx= 即又轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=lgx與y= 圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，由圖 像得有一個(gè)交點(diǎn),即函數(shù)f(x)=lgx- 有1個(gè)零點(diǎn).,答案：(1)-1，0，1 (2)1,2.函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理,y=f(x)在(a,b)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn),【即時(shí)應(yīng)用】 (1)若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a,b上的圖像為連續(xù)曲線，判斷下列命題是否正確.(請?jiān)诶ㄌ?hào)中填寫“”或“”) 若f(a)f(b)0，則不存在實(shí)數(shù)c(a,b)使得f(c)=0; ( ) 若f(a)f(b)0,則存在且只

3、存在一個(gè)實(shí)數(shù)c(a,b)使得f(c)=0; ( ),若f(a)f(b)0，則有可能存在實(shí)數(shù)c(a,b)使得f(c)=0; ( ) 若f(a)f(b)0,則有可能不存在實(shí)數(shù)c(a,b)使得f(c)=0. ( ),(2)在函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理的條件下，當(dāng)f(x)是_時(shí)，在區(qū)間(a,b)內(nèi)f(x)有唯一的一個(gè)零點(diǎn). (3)已知函數(shù)f(x)=x3-x-1僅有一個(gè)正零點(diǎn)，則此零點(diǎn)所在的最短區(qū)間為_.(區(qū)間端點(diǎn)為整數(shù)) (4)函數(shù)f(x)=mx-1在(0，1)內(nèi)有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_.,【解析】(1)如圖甲的情況可判斷錯(cuò)正確，如圖乙的情況可判斷不正確，由零點(diǎn)存在性定理可知不正確.,(2)由零點(diǎn)存在

4、性定理容易判斷f(x)是單調(diào)函數(shù)即可. (3)由于f(0)=-10,f(3)=230, f(4)=590,故只有區(qū)間(1，2)滿足. (4)由f(0)f(1)1. 答案：(1) (2)單調(diào)函數(shù) (3)(1，2) (4)m1,確定函數(shù)零點(diǎn)所在的區(qū)間 【方法點(diǎn)睛】確定函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在區(qū)間的方法 (1)解方程法：當(dāng)對應(yīng)方程f(x)=0易解時(shí)，可先解方程,然后再看求得的根是否落在給定區(qū)間上； (2)利用函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理：首先看函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a,b上的圖像是否連續(xù)，再看是否有f(a)f(b)0.若有，則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)必有零點(diǎn).,(3)數(shù)形結(jié)合法：通過畫函數(shù)圖像，觀察

5、圖像與x軸在給定區(qū)間上是否有交點(diǎn)來判斷.,【例1】(1)(2012豫南九校聯(lián)考)函數(shù) 的零點(diǎn) 所在的區(qū)間為( ) (A)(0，1)(B)(1，2) (C)(2，3)(D)(3，4) (2)(2012九江模擬)函數(shù)f(x)=ln(x-2)- 的零點(diǎn)所在的大致 區(qū)間是( ) (A)(1，2)(B)(2，3) (C)(3，4)(D)(4，5),【解題指南】(1)根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理，只需驗(yàn)證各選項(xiàng)中區(qū)間的端點(diǎn)值是否異號(hào)即可作出判斷. (2)根據(jù)題意先把不在定義域中的區(qū)間排除掉，然后通過求所給區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)的函數(shù)值進(jìn)行判斷.,【規(guī)范解答】(1)選B.f(0)=( )0-2-0=40， f(1)=(

6、 )1-2-13=10， f(2)=( )2-2-23=-70, f(3)=( )3-2-33= 0, f(4)=( )4-2-43= 0, f(1)f(2)0, 故函數(shù)f(x)=( )x-2-x3的零點(diǎn)所在的區(qū)間為(1，2).,(2)選C.由題意知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閤|x2, 排除A. f(3)= 0, f(5)=ln3- 0， f(3)f(4)0， 函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間是(3，4).,【互動(dòng)探究】把本例(1)中的函數(shù)改為方程log3x+x=3,判斷其 解所在的區(qū)間. 【解析】構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間.令 f(x)=log3x+x-3,則f(2)=log32+2

7、-3=log3 0,又因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在(0，+)上是連續(xù)且單調(diào)的函數(shù)， 所以方程log3x+x=3的解所在的區(qū)間為(2，3).,【反思感悟】1.判斷函數(shù)零點(diǎn)所在的區(qū)間，當(dāng)方程f(x)=0無法解出或函數(shù)y=f(x)的圖像不易作出時(shí)，常用函數(shù)零點(diǎn)存在性定理判斷. 2.判斷方程的解所在的區(qū)間常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點(diǎn)問題.,【變式備選】函數(shù)f(x)=ex+x-2的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間是( ) (A)(-2，-1)(B)(-1，0) (C)(0，1)(D)(1，2) 【解析】選C.因?yàn)閒(0)=-10,所以零點(diǎn)在區(qū)間(0，1)上，故選C.,判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù) 【方法點(diǎn)睛】判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的方法 (1)解方程法：

8、令f(x)=0，如果能求出解，則有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn)； (2)零點(diǎn)存在性定理法：利用定理不僅要求函數(shù)在區(qū)間a,b上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)f(b)0,還必須結(jié)合函數(shù)的圖像與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性)才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn)或零點(diǎn)值所具有的性質(zhì)；,(3)數(shù)形結(jié)合法：轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題；先畫出兩個(gè)函數(shù)的圖像，看其交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，其中交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個(gè)不同的值，就有幾個(gè)不同的零點(diǎn).,【例2】(2011陜西高考)函數(shù)f(x)= -cosx在0，+)內(nèi) ( ) (A)沒有零點(diǎn)(B)有且僅有一個(gè)零點(diǎn) (C)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)(D)有無窮多個(gè)零點(diǎn) 【解題指南】解決本題可轉(zhuǎn)化為兩函

9、數(shù)y= 和y=cosx在0，+)內(nèi)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)或根據(jù)零點(diǎn)存在性定理及函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷.,【規(guī)范解答】選B.方法一：數(shù)形結(jié)合法，令f(x)= -cosx=0, 則 =cosx,設(shè)函數(shù)y= 和y=cosx,它們在0，+)內(nèi)的圖像 如圖所示，顯然兩函數(shù)的圖像的交點(diǎn)有且只有一個(gè)，所以函數(shù) f(x)= -cosx在0，+)內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；,方法二：當(dāng)x ,+)時(shí)， 1,cosx1,所以f(x)= - cosx0;當(dāng)x(0, 時(shí),f(x)= +sinx0,所以函數(shù) f(x)= -cosx是增函數(shù)，又因?yàn)閒(0)=-1,f( )= 0,所以 f(x)= -cosx在x(0, )上有且只有一個(gè)零點(diǎn).,【反

10、思感悟】在判斷函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)或方程f(x)=0根的個(gè)數(shù)時(shí)，若方程f(x)=0易解，則用解方程法求解；若可轉(zhuǎn)化為兩熟悉的函數(shù)圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，則用圖像法求解，此時(shí)應(yīng)注意畫圖要盡量精確，若圖像畫得太粗糙則易出現(xiàn)失誤；若圖像不易畫則可利用零點(diǎn)存在性定理及函數(shù)的性質(zhì)綜合求解.,【變式訓(xùn)練】函數(shù)y=sinx-lgx的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為( ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 【解析】選D.令函數(shù)y=sinx-lgx=0, 即sinx=lgx,設(shè)y1=sinx,y2=lgx, 這兩個(gè)函數(shù)的圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)就是所給函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，y2=lgx過(1，0)點(diǎn)和(10，1)點(diǎn)，與y1=sinx的交點(diǎn)

11、個(gè)數(shù)是3，函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是3，故選D.,【變式備選】(1)判斷函數(shù)f(x)=log2(x+2)-x(-1x3)是否存在零點(diǎn). 【解析】方法一：在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y= log2(x+2)與函數(shù)y=x的圖像，觀察知：兩函數(shù)在-1，3上有一個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)f(x)=log2(x+2)-x(-1x3)存在零點(diǎn). 方法二：顯然函數(shù)f(x)=log2(x+2)-x在-1,3上是連續(xù)不斷的，f(-1)=log2(-1+2)+1=10,f(3)=log2(3+2)-3=log25-30,f(x)=log2(x+2)-x(-1x3)存在零點(diǎn).,(2)判斷函數(shù) 在-1，1上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)， 并說明理由.,

12、【解析】顯然函數(shù) 在-1，1上是連續(xù) 不斷的，f(-1)= (-1)3+(-1)2+4(-1)= 0, 又 當(dāng)-1x1時(shí)，0f(x) 在-1，1上是單調(diào)遞增函數(shù)， f(x)在-1,1上只有一個(gè)零點(diǎn).,由函數(shù)零點(diǎn)的存在情況求參數(shù)的取值 【方法點(diǎn)睛】已知函數(shù)有零點(diǎn)(方程有根)求參數(shù)取值常用的方法和思路: (1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍； (2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題解決； (3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖像，然后觀察求解.,【例3】(2012濟(jì)南模擬)已知函數(shù) (1)若g(x)=k有零點(diǎn)，求k的取值范

13、圍； (2)確定m的取值范圍，使得g(x)-f(x)=0有兩個(gè)相異實(shí)根. 【解題指南】(1)可用基本不等式求出最值或數(shù)形結(jié)合法求解. (2)轉(zhuǎn)化為函數(shù)f(x)與g(x)有兩個(gè)交點(diǎn)，從而數(shù)形結(jié)合求解.,【規(guī)范解答】(1)方法一： 等號(hào) 成立的條件是x=e,故g(x)的值域是2e,+)，因此，只需 k2e,則g(x)=k就有零點(diǎn). 方法二：作出 的大致圖像如圖： 可知若使g(x)=k有零點(diǎn)，則只需k2e.,e,(2)若g(x)-f(x)=0有兩個(gè)相異的實(shí)根，即g(x)與f(x)的圖像有 兩個(gè)不同的交點(diǎn)，作出 的大致圖像.,2e,e,f(x)=-x2+2ex+m-1=-(x-e)2+m-1+e2.

14、其圖像的對稱軸為x=e,開口向下，最大值為m-1+e2.故當(dāng) m-1+e22e,即m-e2+2e+1時(shí)，g(x)與f(x)有兩個(gè)交點(diǎn)，即 g(x)-f(x)=0有兩個(gè)相異實(shí)根. m的取值范圍是(-e2+2e+1,+).,【反思感悟】有些二次、高次、分式、指數(shù)、對數(shù)及三角式、含絕對值方程根的存在問題，常轉(zhuǎn)化為求函數(shù)值域或兩熟悉函數(shù)圖像的交點(diǎn)問題求解.,【變式訓(xùn)練】(2012長沙模擬)已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2+ (c-3a-2b)x+d(a0)的圖像如圖所示. (1)求c,d的值； (2)若x0=5,方程f(x)=8a有三個(gè)不同的根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.,【解析】函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f(

15、x)=3ax2+2bx+c-3a-2b. (1)由題干圖可知，函數(shù)f(x)的圖像過點(diǎn)(0，3)，且,(2)依題意f(x)=ax3+bx2-(3a+2b)x+3(a0), f(x)=3ax2+2bx-3a-2b,由圖知f(5)=0，得b=-9a 若方程f(x)=8a有三個(gè)不同的根，當(dāng)且僅當(dāng)滿足f(5)8af(1) 由得-25a+38a7a+3, 解得 a3, 所以，當(dāng) a3時(shí)，方程f(x)=8a有三個(gè)不同的根.,【創(chuàng)新探究】函數(shù)零點(diǎn)命題的新動(dòng)向 【典例】(2011山東高考)已知函數(shù)f(x)=logax+x-b(a0,且a1).當(dāng)2a3b4時(shí)，函數(shù)f(x)的零點(diǎn)x0(n,n+1),nN+，則n=_

16、.,【解題指南】由條件易知函數(shù)f(x)在(0，+)上為增函數(shù),然后根據(jù)a,b滿足的條件及對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)探究出f(x)零點(diǎn)所在的區(qū)間，從而對照x0(n,n+1),nN+,確定出n的值.,【規(guī)范解答】23,-b0,f(3)0,即f(2)f(3)0 由x0(n,n+1),nN+，知n=2. 答案：2,【閱卷人點(diǎn)撥】通過對本題的深入研究，可以得到以下創(chuàng)新點(diǎn)撥及備考建議：,1.(2011新課標(biāo)全國卷)在下列區(qū)間中，函數(shù)f(x)=ex+4x-3的零點(diǎn)所在的區(qū)間為( ),【解析】選C.f(x)是R上的增函數(shù)且圖像是連續(xù)的，又 f(x)在 內(nèi)存在唯一零點(diǎn).,2.(2011浙江高考)設(shè)函數(shù) 若f(a)=4,則實(shí)

17、數(shù) a=( ) (A)-4或-2(B)-4或2 (C)-2或4(D)-2或2 【解析】選B.當(dāng)a0時(shí)，f(a)=-a=4,a=-4; 當(dāng)a0時(shí)，f(a)=a2=4,a=2.綜上，a=-4或2.,3.(2012長安模擬）函數(shù)y=f(x)滿足f(x+2)=-f(x),當(dāng)x(-2,2時(shí)，f(x)=|x|-1,則f(x)在0,2 010上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為( ) （A）1 004 （B）1 005 （C）2 009 （D）2 010 【解析】選B.由f(x+2)=-f(x),f(x+4)=f(x+2)+2= -f(x+2)=f(x), 周期T=4,由題意得f(x)在0,4上的圖像如圖，由圖知函數(shù)f(x)在一個(gè)周期0,4上有兩個(gè)零點(diǎn)， 2 010=502