§6實(shí)對(duì)稱矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形.ppt

1、6 實(shí)對(duì)稱矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形,在第五章我們得到，任意一個(gè)對(duì)稱矩陣都合同,于一個(gè)對(duì)角矩陣，即存在可逆矩陣C使,成對(duì)角形.,現(xiàn)在利用歐氏空間和特征值與特征向量,理論，第五章中關(guān)于實(shí)對(duì)稱矩陣的結(jié)果可以加強(qiáng)為：,對(duì)于任意一個(gè)n級(jí)實(shí)對(duì)稱矩陣A，,都存在一個(gè) n,即正交矩陣T，使,成對(duì)角形，顯然這個(gè)對(duì)角形不僅與A是合同的，而且,與A是相似的.,引理1,設(shè)A是實(shí)對(duì)稱矩陣，則A的特征值全為實(shí)數(shù).,證明：設(shè),是 A的特征值，于是有非零向量,使得,令,其中,為,的共軛復(fù)數(shù)，則,考察等式,A對(duì)稱,A是實(shí)的,又因?yàn)?是非零向量，,故,從而,即,是一個(gè)實(shí)數(shù).,對(duì)應(yīng)于實(shí)對(duì)稱矩陣A，在n維歐氏空間Rn上定義,一個(gè)線性變換A 如下

2、：,顯然A 在標(biāo)準(zhǔn)正交基,下的矩陣就是 A.,引理2,設(shè)A 是實(shí)對(duì)稱矩陣，A 的定義如上，則對(duì)任意的,有,或,證明：,A對(duì)稱,是一個(gè)實(shí)數(shù)，視為一個(gè)11的矩陣,設(shè)A為歐氏空間V上的線性變換，若對(duì)于任意,都有,則稱為A為對(duì)稱變換，或自伴隨變換.,定義12,引理3,設(shè)A 是對(duì)稱變換，V1是A的不變子空間，則,也是A 的不變子空間.,證明：,任取,要證,即要證,對(duì)于任意的,都有,故,因此，,即,也是A 的不變子空間.,引理3,設(shè)A是實(shí)對(duì)稱矩陣，則Rn中屬于A的不同特征值,的特征向量必正交.,證明：,設(shè),是A的兩個(gè)不同的特征值，,分,別是屬于,的特征向量，即,定義Rn中線性變換 A：A xAx，xRn.

3、,于是,由于,有,因?yàn)?所以,即,正交.,定理7,對(duì)于任意一個(gè)n級(jí)實(shí)對(duì)稱矩陣A，都存在一個(gè)n級(jí),正交矩陣T，使得,成對(duì)角形.,證明：由實(shí)對(duì)稱陣和對(duì)稱變換的關(guān)系，只要證明,明對(duì)稱變換A有n個(gè)特征向量做成的標(biāo)準(zhǔn)正交基即可.,對(duì)空間的維數(shù)n作歸納法.,n = 1時(shí)，顯然定理的結(jié)論成立.,設(shè) n1時(shí)定理的結(jié)論成立.對(duì)n維歐氏空間Rn，,線性變換A有一特征向量,其特征值為實(shí)數(shù),將,單位化，還用,代表它.,作,的正交,補(bǔ)，設(shè)為V1.,由引理3，V1是A 的不變子空間，其維數(shù)為n1.,又 A |V1顯然也是對(duì)稱變換，,由歸納假設(shè)，,A |V1有n1,個(gè)特征向量,作為V1的標(biāo)準(zhǔn)正交基.,從而,是Rn的標(biāo)準(zhǔn)正交

4、基，又是A的n,個(gè)特征向量.,定理得證.,定理7中正交矩陣T 的求法,在定理的證明過(guò)程中我們利用矩陣A在Rn中定義,了一個(gè)線性變換 A，求正交變換T的問(wèn)題就相當(dāng)于在,Rn中求一組由A 的特征向量構(gòu)成的標(biāo)準(zhǔn)正交基.,事實(shí)上，設(shè),是Rn的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，它們都是A的特征向量.,顯然，由,到,的過(guò)渡矩陣就,是,T 就是一個(gè)正交矩陣，且,成對(duì)角形.,正交矩陣T 的計(jì)算步驟,1.求出A的特征值.,設(shè),是A的全部不同,的特征值.,2.對(duì)于每個(gè),解齊次線性方程組,求出一個(gè)基礎(chǔ)解系，這就是A 的特征子空間,的一,組基：,再作Schimidt正交化得,它就是,一組標(biāo)準(zhǔn)正交基.,3.因?yàn)?兩兩不同，所以將它們各自

5、的標(biāo),準(zhǔn)正交基合并起來(lái),即得Rn的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基.,也是A的特征向量.,4.最后按順序?qū)?中所求的特征向量排成正交矩,陣T，則,例 已知,求一正交矩陣T使得,成對(duì)角形.,解：先求A的特征值.由,即得A的特征值為1（三重），3.,其次，求屬于特征值1的特征向量.,為此考慮線,性方程組,即,求得基礎(chǔ)解系為,把它正交化，得,再單位化，得,這就是屬于三重特征,值 1 的三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交,的特征向量.,再求屬于3的特征向量.,為此考慮齊次線性方,程組,即,求得基礎(chǔ)解系為,將它單位化得,特征向量,構(gòu)成R4的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，所求,的正交矩陣為,而,注 上例中可進(jìn)一步要求| T |=1，基即要求正交矩,陣T是第一類的.,事實(shí)上，如果求得的正交矩陣T的行列式為1，,則取,于是T1TS是正交矩陣，且,注2 如果線性替換,的矩陣C=(cij)是正交的，則它就稱為正交的線性替換.,正交的線性替換顯然是非退化的.,定理7的二次型語(yǔ)言描述,定理8,任意一個(gè)實(shí)二次型,都可以經(jīng)過(guò)正交的線性替換變成平方和,其中平方項(xiàng)的系數(shù),就是矩陣A的特征多項(xiàng),式全部的根.,正交變換（正交矩陣）的幾何應(yīng)用,二次曲面的分類,在直角坐標(biāo)系下，二次曲面的一般方程是,令,則上述方程可寫成,經(jīng)過(guò)轉(zhuǎn)軸，坐標(biāo)變換公式,或者,其中C為正交矩陣且| C |=1.,在新坐標(biāo)系中，曲面的方,程就是,由定理7及注可知，存在行列式為1的正交矩陣C使