《概率論復(fù)習(xí)與補(bǔ)充》PPT課件.ppt

1、第一章 概率論復(fù)習(xí)與補(bǔ)充,概率空間 隨機(jī)變量及其分布 隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布 隨機(jī)變量的數(shù)字特征 大數(shù)定律與中心極限定理 特征函數(shù),1.1 概率空間,一、樣本空間與事件域,基本事件 ：,設(shè) 是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn),的每一個(gè)不能再分或無(wú)需再分的可 能結(jié)果,樣本空間 ：,全體基本事件所組成的集合,定義1：,設(shè) 是樣本空間， 是由 的一些子集為 元素所組成的集合，如果滿足下列條件,(1),(2),(3),則稱 為事件域， 中的元素稱為事件， 稱為 必然事件,二、概率的定義與性質(zhì),定義2：,設(shè) 是隨機(jī)試驗(yàn)的基本空間， 為隨機(jī)事件， 為定義在事件域 上的實(shí)函數(shù)，若 滿足,（1）有界性：,（2）正則性或規(guī)范性：,

2、（3）可列可加性：,對(duì)可列多個(gè)事件 , 如,果 ，則有,則稱函數(shù) 為事件 的概率。,0,1,概率空間：,概率的性質(zhì)：,有限可加性,加法公式的推廣,三、條件概率與事件的獨(dú)立性,1. 條件概率,定義3：,設(shè)A、B是某隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，且,則,稱為在事件A已發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的條 件概率，簡(jiǎn)稱為B在A之下的條件概率。,三個(gè)重要的公式,兩個(gè)事件的乘法公式,（一）乘法公式,多個(gè)事件的乘法公式,則有,（二）全概率公式,設(shè)隨機(jī)事件,滿足：,（三）Bayes公式,設(shè)隨機(jī)事件,滿足,則,返回主目錄,2.事件的獨(dú)立性,1. 兩事件獨(dú)立的定義,設(shè) A、B 是兩個(gè)隨機(jī)事件，如果,則稱 A 與 B 是相互獨(dú)立的

3、隨機(jī)事件,兩事件獨(dú)立性的性質(zhì)：,則事件A 與 B 相互獨(dú)立的,返回主目錄,充分必要條件為：,1）如果,2）必然事件 與任意隨機(jī)事件A相互獨(dú)立； 不可能事件與任意隨機(jī)事件A相互獨(dú)立,3) 若隨機(jī)事件 A 與 B 相互獨(dú)立，則,也相互獨(dú)立.,注意: 兩事件相互獨(dú)立與互不相容的區(qū)別： “A與B互不相容”，指兩事件不能同時(shí)發(fā)生，即 P（AB）=0。 “A與B相互獨(dú)立”，指A是否發(fā)生不影響B(tài) 發(fā)生的概率，即P（AB）=P（A）P（B）或,2. n個(gè)事件的相互獨(dú)立性,返回主目錄,獨(dú)立隨機(jī)事件的性質(zhì)：,1.2 隨機(jī)變量及其分布,一、一維隨機(jī)變量的分布,定義1：,設(shè) 是一個(gè)概率空間，而 是定義在基本空間 上的

4、單值實(shí)函數(shù)，若對(duì)任一實(shí)數(shù) ,基本事件 的集合 都是一隨機(jī)事件, 即 ，則稱 為一個(gè)隨機(jī)變量。,1.分布函數(shù)及其性質(zhì)：,定義2：,設(shè) 是一個(gè)隨機(jī)變量， 是任意實(shí)數(shù)，,稱為 的分布函數(shù),返回主目錄,函數(shù),分 布 函 數(shù) 的 性 質(zhì),1. 是一個(gè)不減的函數(shù) ,2.,3.,這三條性質(zhì)不但是分布函數(shù)的必要條件,還可以證明， 它們一起構(gòu)成函數(shù) 成為某一隨機(jī)變量的分布函數(shù) 的充要條件。,2.離散型隨機(jī)變量及其分布列,若隨機(jī)變量的所有可能取的值是有限多個(gè)或可列多 個(gè),則稱該隨機(jī)變量為離散型隨機(jī)變量, 它的概率分布 規(guī)律通常用分布列表示.,設(shè)離散型隨機(jī)變量 的所有可能取值為 并且,分布列的性質(zhì)為:,分布函數(shù)為,

5、3.連續(xù)型隨機(jī)變量的概念與性質(zhì),如果對(duì)于隨機(jī)變量X 的分布函數(shù) ，存在 非負(fù)實(shí)函數(shù) ，使得對(duì)于任意 實(shí)數(shù) ， 有,則稱 X 為連續(xù)型隨機(jī)變量，其中函數(shù) 稱為X 的概率密度函數(shù),簡(jiǎn)稱密度函數(shù).,連續(xù)型隨機(jī)變量 X 由其密度函數(shù)唯一確定,定義3:,密度函數(shù)的性質(zhì):,4. 一些常用的概率分布,離散型,連續(xù)型:,二、多維隨機(jī)變量及其分布,1. n維隨機(jī)變量及其分布,設(shè) 都是定義在同一概率空間 上的n個(gè)隨機(jī)變量,把 看成一個(gè)整體, 稱為一個(gè)n維隨機(jī)變量(隨機(jī)向量),記為,定義4:,設(shè) 是n維隨機(jī)變量, 是 任意n個(gè)實(shí)數(shù),則n元函數(shù),稱為 的n維聯(lián)合分布函數(shù).,定義5:,若 的n維聯(lián)合分布函數(shù)可以表示為,

6、其中 是非負(fù)可積函數(shù),則稱 為n維連續(xù)型隨機(jī)變量, 稱為n維聯(lián)合 概率密度函數(shù).,2.二維分布函數(shù)及其性質(zhì),定義6:,性質(zhì):,單調(diào)性：F(x , y )是變量x,y的不減函數(shù)，即 當(dāng) x1 x2時(shí)， 當(dāng) y1 y2時(shí)，,（1）,（2）,對(duì)于任意固定的 Y , 對(duì)于任意固定的 X ,且,有界性：,（3）右連續(xù)性：,對(duì)每個(gè)變量都是右連續(xù)的，即,（4）,非負(fù)性：,這四個(gè)條件一起構(gòu)成二元函數(shù) 為二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)的充分必要條件。,3.二維概率函數(shù)及其性質(zhì),性質(zhì):,定義7:,對(duì)于二維隨機(jī)變量 ( X,Y ) 的分布函數(shù) 如果存在非負(fù)實(shí)函數(shù) 使得對(duì)于任意的實(shí)數(shù) 有：,則稱 ( X,Y ) 是連續(xù)型的二

7、維隨機(jī)變量，函數(shù) 稱為二維隨機(jī)變量 ( X,Y )的概率密度，或稱為 X 和 Y 的聯(lián)合概率密度。,40 設(shè) G 是平面上的一個(gè)區(qū)域，點(diǎn) ( X,Y )落在 G 內(nèi) 的概率為：,返回主目錄,性質(zhì):,4.邊緣分布,若 是二維隨機(jī)變量 的分布函數(shù)，,分別稱為 關(guān)于 的邊緣分布函數(shù)。,（1）離散型,設(shè) 為二維離散型隨機(jī)變量，聯(lián)合分布律為,則,分別稱為二維離散型隨機(jī)變量 關(guān)于 的邊 緣分布律。,（2）連續(xù)型,設(shè) 為二維連續(xù)型隨機(jī)變量，聯(lián)合密度函數(shù)為,則,分別稱為二維連續(xù)型隨機(jī)變量 關(guān)于 的邊緣分布律。,注：聯(lián)合分布唯一的確定邊緣分布，但邊緣分布一般 不能確定聯(lián)合分布。,5.隨機(jī)變量的獨(dú)立性,定義8：,

8、設(shè) 是二維隨機(jī)變量，若對(duì)任意實(shí)數(shù) 有,則稱隨機(jī)變量 相互獨(dú)立，簡(jiǎn)稱獨(dú)立。,若 是二維離散型隨機(jī)變量，則 相互獨(dú),立的充分必要條件為,若 是二維連續(xù)型隨機(jī)變量，則 相互獨(dú),立的充分必要條件為,定義9：,設(shè) 是n維隨機(jī)變量，若對(duì)任意實(shí)數(shù) 有,則稱隨機(jī)變量 相互獨(dú)立,對(duì)于定義在同一概率空間上的隨機(jī)變量序列,如果其中任何有限個(gè)隨機(jī)變量都是獨(dú)立的，則稱,這個(gè)隨機(jī)變量序列獨(dú)立。,注：,若 獨(dú)立，則其中任意m個(gè)隨機(jī)變量 也獨(dú)立。,6.條件分布,定義10：,設(shè) 是二維離散型隨機(jī)變量，對(duì)固定 ，若 ，則稱,為在條件 下 的條件分布律，稱,為在條件 下 的條件分布函數(shù)，記為,定義11：,設(shè) 是二維連續(xù)型隨機(jī)變量，其聯(lián)合概,率密度 ，且,則稱,為在條件 下 的條件分布函數(shù)，記為,稱,為在條件 下 的條件密度函數(shù)。,1.3 隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布,一、一維隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布,1.離散型,2.連續(xù)型,(1),則 Y =g(X ) 是一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量 ，其概率密度為,其中 h(y) 是 g(x) 的反函數(shù)， 即,(2),若 是分段嚴(yán)格單調(diào)、可導(dǎo)函數(shù)，即存在有 限個(gè)或可列個(gè)區(qū)間,使得在 上 單調(diào)增或減， 且將此,區(qū)間內(nèi)函數(shù) 的反函數(shù)記為,相應(yīng),其