離散型隨機(jī)變量的期望值和方差

1、12.2 離散型隨機(jī)變量的期望值和方差一、知識(shí)梳理1.期望：若離散型隨機(jī)變量，當(dāng)=xi的概率為P（=xi）=Pi（i=1，2，n，），則稱(chēng)E=xi pi為的數(shù)學(xué)期望，反映了的平均值.期望是算術(shù)平均值概念的推廣，是概率意義下的平均.E由的分布列唯一確定.2.方差：稱(chēng)D=（xiE）2pi為隨機(jī)變量的均方差，簡(jiǎn)稱(chēng)方差.叫標(biāo)準(zhǔn)差，反映了的離散程度.3.性質(zhì)：（1）E（a+b）=aE+b，D（a+b）=a2D（a、b為常數(shù)）.（2）二項(xiàng)分布的期望與方差：若B（n，p），則E=np，D=npq（q=1p）.D表示對(duì)E的平均偏離程度，D越大表示平均偏離程度越大，說(shuō)明的取值越分散.二、例題剖析【例1】 設(shè)是一

2、個(gè)離散型隨機(jī)變量，其分布列如下表，試求E、D.101P12qq2拓展提高既要會(huì)由分布列求E、D，也要會(huì)由E、D求分布列，進(jìn)行逆向思維.如：若是離散型隨機(jī)變量，P（=x1）=，P（=x2）=，且x1x2，又知E=，D=.求的分布列.解：依題意只取2個(gè)值x1與x2，于是有E=x1+x2=，D=x12+x22E2=.從而得方程組【例2】 人壽保險(xiǎn)中（某一年齡段），在一年的保險(xiǎn)期內(nèi)，每個(gè)被保險(xiǎn)人需交納保費(fèi)a元，被保險(xiǎn)人意外死亡則保險(xiǎn)公司賠付3萬(wàn)元，出現(xiàn)非意外死亡則賠付1萬(wàn)元.經(jīng)統(tǒng)計(jì)此年齡段一年內(nèi)意外死亡的概率是p1，非意外死亡的概率為p2，則a需滿(mǎn)足什么條件，保險(xiǎn)公司才可能盈利?【例3】 把4個(gè)球隨機(jī)

3、地投入4個(gè)盒子中去，設(shè)表示空盒子的個(gè)數(shù)，求E、D.特別提示求投球的方法數(shù)時(shí)，要把每個(gè)球看成不一樣的.=2時(shí)，此時(shí)有兩種情況：有2個(gè)空盒子，每個(gè)盒子投2個(gè)球；1個(gè)盒子投3個(gè)球，另1個(gè)盒子投1個(gè)球.【例4】 若隨機(jī)變量A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為p（0p1），用隨機(jī)變量表示A在1次試驗(yàn)中發(fā)生的次數(shù).（1）求方差D的最大值；（2）求的最大值.【例5】 袋中裝有一些大小相同的球，其中有號(hào)數(shù)為1的球1個(gè)，號(hào)數(shù)為2的球2個(gè)，號(hào)數(shù)為3的球3個(gè)，號(hào)數(shù)為n的球n個(gè).從袋中任取一球，其號(hào)數(shù)作為隨機(jī)變量，求的概率分布和期望.【例6】（湖北卷）某地最近出臺(tái)一項(xiàng)機(jī)動(dòng)車(chē)駕照考試規(guī)定；每位考試者一年之內(nèi)最多有4次參加考試的機(jī)

4、會(huì)，一旦某次考試通過(guò)，使可領(lǐng)取駕照，不再參加以后的考試，否則就一直考到第4次為止。如果李明決定參加駕照考試，設(shè)他每次參加考試通過(guò)的概率依次為0.6，0.7，0.8，0.9，求在一年內(nèi)李明參加駕照考試次數(shù)的分布列和的期望，并求李明在一年內(nèi)領(lǐng)到駕照的概率.三、同步練習(xí) g3.1098 離散型隨機(jī)變量的期望值和方差1.設(shè)服從二項(xiàng)分布B（n，p）的隨機(jī)變量的期望和方差分別是2.4與1.44，則二項(xiàng)分布的參數(shù)n、p的值為BA.n=4，p=0.6B.n=6，p=0.4C.n=8，p=0.3D.n=24，p=0.12.一射手對(duì)靶射擊，直到第一次命中為止每次命中的概率為0.6，現(xiàn)有4顆子彈，命中后的剩余子彈數(shù)

5、目的期望為CA.2.44B.3.376C.2.376D.2.43.設(shè)投擲1顆骰子的點(diǎn)數(shù)為，則BA.E=3.5，D=3.52B.E=3.5，D=C.E=3.5，D=3.5D.E=3.5，D=4.設(shè)導(dǎo)彈發(fā)射的事故率為0.01，若發(fā)射10次，其出事故的次數(shù)為，則下列結(jié)論正確的是AA.E=0.1B.D=0.1C.P（=k）=0.01k0.9910kD.P（=k）=C0.99k0.0110k5.已知B（n，p），且E=7，D=6，則p等于AA.B.C.D.6.一牧場(chǎng)有10頭牛，因誤食含有病毒的飼料而被感染，已知該病的發(fā)病率為0.02.設(shè)發(fā)病的牛的頭數(shù)為，則D等于CA.0.2 B.0.8 C.0.196

6、D.0.8047.有兩臺(tái)自動(dòng)包裝機(jī)甲與乙，包裝重量分別為隨機(jī)變量1、2，已知E1=E2，D1D2，則自動(dòng)包裝機(jī)_乙_的質(zhì)量較好.8.設(shè)一次試驗(yàn)成功的概率為p，進(jìn)行100次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，當(dāng)p=_時(shí)，成功次數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差的值最大，其最大值為_(kāi) 5_.9.甲從學(xué)校乘車(chē)回家，途中有3個(gè)交通崗，假設(shè)在各交通崗遇紅燈的事件是相互獨(dú)立的，并且概率都是，則甲回家途中遇紅燈次數(shù)的期望為_(kāi)1.2_.10.一次單元測(cè)試由50個(gè)選擇題構(gòu)成，每個(gè)選擇題有4個(gè)選項(xiàng)，其中恰有1個(gè)是正確答案.每題選擇正確得2分，不選或錯(cuò)選得0分，滿(mǎn)分是100分.學(xué)生甲選對(duì)任一題的概率為0.8，求他在這次測(cè)試中成績(jī)的期望和標(biāo)準(zhǔn)差.11.袋中有4只

7、紅球，3只黑球，今從袋中隨機(jī)取出4只球.設(shè)取到一只紅球得2分，取到一只黑球得1分，試求得分的概率分布和數(shù)學(xué)期望.12.一臺(tái)設(shè)備由三大部件組成，在設(shè)備運(yùn)轉(zhuǎn)中，各部件需要調(diào)整的概率相應(yīng)為0.10，0.20和0.30.假設(shè)各部件的狀態(tài)相互獨(dú)立，以表示同時(shí)需要調(diào)整的部件數(shù)，試求的數(shù)學(xué)期望E和方差D.13.將數(shù)字1，2，3，4任意排成一列，如果數(shù)字k恰好出現(xiàn)在第k個(gè)位置上，則稱(chēng)之為一個(gè)巧合，求巧合數(shù)的數(shù)學(xué)期望.14.（遼寧卷）某工廠(chǎng)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，每種產(chǎn)品都是經(jīng)過(guò)第一和第二工序加工而成，兩道工序的加工結(jié)果相互獨(dú)立，每道工序的加工結(jié)果均有A、B兩個(gè)等級(jí).對(duì)每種產(chǎn)品，兩道工序的加工結(jié)果都為A級(jí)時(shí)，產(chǎn)品為一等品，其余均為二等品. （）已知甲、乙兩種產(chǎn)品每一道工序的加工結(jié)果為A級(jí)的概率如表一所示，分別求生產(chǎn)出的甲、乙產(chǎn)品為一等品的概率P甲、P乙；（）已知一件產(chǎn)品的利潤(rùn)如表二所示，用、分別表示一件甲、乙產(chǎn)品的利潤(rùn)，在（I）的條