四邊形復習提綱(經(jīng)典題型解析)匯總

1、.四邊形復習提綱【知識要點】1、四邊形的內角和等于1800， n邊形的內角和等于(n-2)1800，任意多邊形的外角和等于3600，n邊形的對角線條數(shù)為n(n-3)/2.2、平行四邊形性質：（1）平行四邊形的對邊平行且相等、對角相等、對角線互相平分；（2）平行四邊形是中心對稱圖形.判定：（1）定義判定； （2）兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形； （3）兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；（4）對角線互相平分的四邊形是平行四邊形； （5）一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.3、矩形性質：（1）具有平行四邊形的所有性質； （2）四個角都是直角； （3）對角線相等（推論：直角三角斜邊上的中

2、線等于斜邊的一半）； （4）既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形； （5）其面積等于兩條鄰邊的乘積.判定：（1）定義判定； （2）有三個角是直角的四邊形； （3）對角線相等的平行四邊形.4、菱形性質：（1）具有平行四邊形的所有性質；（2）四條邊相等；（3）對角線互相垂直平分，且每一條對角線平分一組對角；（4）既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形；（5）其面積等于兩條對角線長乘積的一半（適用于所有對角線互相垂直的四邊形）. 判定：（1）定義判定；（2）四條邊相等的四邊形；（3）對角線互相垂直的平行四邊形.5、正方形性質：具有矩形、菱形的一切性質.判定：（1）定義判定； （2）先判定四邊形為矩形，再判定它

3、也是菱形； （3）先判定四邊形為菱形，再判定它也是矩形.6、等腰梯形性質：（1）兩腰相等； （2）兩條對角線相等； （3）同一底上的兩個底角相等； （4）是軸對稱圖形.判定：（1）在同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形； （2）對角線相等的梯形是等腰梯形.7、平行線等分線段定理：如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在其他直線上截得的線段也相等.推論1：經(jīng)過梯形一腰的中點與底平行的直線，必平分另一腰。推論2：經(jīng)過三角形一邊的中點與另一邊平行的直線，必平分第三邊。8、兩個中位線定理三角形的中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它的一半.梯形的中位線定理：梯形的中位線平行于兩底，

4、并且等于兩底和的一半（推論：梯形面積等于中位線長與高的乘積）.9、中心對稱定義：強調必須旋轉180 重合。定理：（1）關于中心對稱的兩個圖形是全等形.（2）關于中心對稱的兩個圖形，對稱點連線都經(jīng)過對稱中心，并且被對稱中心平分（存在逆定理）.10、各種四邊形之間的相互關系?！痉椒偨Y】與多邊形的角度、邊數(shù)、對角線數(shù)有關的問題，一般運用公式列方程解決。2、分清各種四邊形的聯(lián)系與區(qū)別，明白定義、性質與判定方法的正確使用（可以根據(jù)條件與結論的前后順序確定）。3、對角線是研究四邊形的常用輔助線，它既可以把四邊形轉化為三角形，又可以充分體現(xiàn)四邊形的所有特征。4、梯形中常添加輔助線，將其轉化為平行四邊形或者

5、三角形：（1）過較短底的頂點作梯形的高；（2）過一個頂點作腰的平行線；（3）過一個頂點作一條對角線的平行線；（4）延長兩腰相交； （5）連結上底的一個頂點與另一腰的中點，并延長與下底的延長線相交.梯形常用的輔助線如下圖:5、遇到有關中點的問題，常考慮構造中位線，或者使用“倍長中線法”.6、解決折疊問題，抓住“折疊前后重合的圖形關于折痕所在直線對稱”這一關鍵。7、“雙重對稱圖形”判斷妙著：一個軸對稱圖形，畫出一條對稱軸后，如果能畫出與它垂直的另一條對稱軸，那么這個軸對稱圖形同時也是中心對稱圖形，垂足即為對稱中心；如果能畫不出與它垂直的另一條對稱軸，那么這個軸對稱圖形一定不是中心對稱圖形.8、求特

6、殊圖形的面積，通常需要添加輔助線把它轉化為規(guī)范圖形，轉化的方法主要有“割”、“補”兩種.9、在眾多的定理中，要嚴格區(qū)分有無逆定理，比如平行線等分線段定理就不存在逆定理?！镜湫屠}剖析】【例1】若一凸多邊形的內角和等于它的外角和，則它的邊數(shù)是_.剖析：設此凸多邊形的邊數(shù)為n，根據(jù)多邊形的內角和公式，以及“外角和等于3600”的推論，列方程，得(n - 2)1800 =3600.解得 n=4.【例2】下列圖案既是中心對稱，又是軸對稱的是 （ ） A. B. C. D.剖析：由“方法總結”第7條，易知選A.【例3】下列命題中，真命題是( )A.有兩邊相等的平行四邊形是菱形 B.有一個角是直角的四邊形

7、是矩形C.四個角相等的菱形是正方形 D.兩條對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形剖析：由各類平行四邊形的判定方法可知，A、B、D都不對，它們分別缺少了 “兩鄰邊”、“平行四邊形”、“對角線互相平分”等條件；C中四邊形的四個角相等，均為900，必是矩形，既是矩形又是菱形的四邊形當然是正方形。故選C.【例4】如圖，ABCD的周長為16cm，AC、BD相交于點O，OEAC交AD于E，則DCE的周長為（ ） A4 cm B6cm C8cm D10cm剖析：由題意知，AD+CD=8cm。ABCD中，AC、BD互相平分，則OE為AC的垂直平分線，所以EC=EA。因此，DCE的周長=DE+EC+CD=DE+

8、EA+CD=AD+CD=8cm。故選C.【例5】如圖，在ABCD中，O是對角線AC的中點，過點O作AC的垂線與邊AC、BD分別交于E、F，求證：四邊形AFCE是菱形.剖析：解題時，注意區(qū)分判定定理與性質定理的不同使用.ABCD中，AECF，1=2. 又AOE=COF，AO=CO.AOECOF，EO=FO. 四邊形AFCE是平行四邊形 . 又EFAC，AFCE是菱形.【例6】如圖，已知四邊形ABCD是正方形，對角線AC、BD相交于O，四邊形AEFC是菱形，EHAC，垂足為H求證：EHFC剖析：容易證得，四邊形HOBE是矩形，則EH = BO = BD = AC = FC.【例7】探究規(guī)律：如圖1

9、，已知直線，A、B為直線上的兩點，C、P為直線上的兩點。（1）請寫出圖中面積相等的各對三角形： 。（2）如果A、B、C為三個定點，點P在上移動，那么無論P點移動到任何位置總有： 與ABC的面積相等； 理由是： 。圖1 圖2 圖3如圖2，五邊形ABCDE是張大爺十年前承包的一塊土地的示意圖，經(jīng)過多年開墾荒地，現(xiàn)已變成如圖3所示的形狀，但承包土地與開墾荒地的分界小路（圖3中折線CDE）還保留著，張大爺想過E點修一條直路，直路修好后，要保持直路左邊的土地面積與承包時的一樣多。請你用有關的幾何知識，按張大爺?shù)囊笤O計出修路方案。（不計分界小路與直路的占地面積）（1）寫出設計方案，并在圖3中畫出相應的圖

10、形；（2）說明方案設計理由。剖析：本題從一個簡單幾何原理入手，逐步深入探究，并用它解決實際問題，較好地體現(xiàn)了新時期的教學理念“創(chuàng)新”與“應用”兩大主旋律。（1）ABC和ABP, AOC和BOP, CPA和CPB分別面積相等。（2）因為平行線間的距離相等，所以無論點P在m上移動到任何位置，總有ABP與ABC同底等高，因此，它們的面積總相等. ABCDEFMN解決問題：（1）畫法如圖.連結EC, 過點D作DF/EC, 交CM于點F, 連結EF, EF即為所求直路的位置. （2）設EF交CD于點H,由上面得到的結論，可知：SECF=SECD, SHCF=SEDH.S五邊形ABCDE=S五邊形ABCF

11、E,S五邊形EDCMN= S四邊形EFMN.【例8】采用如圖所示的方法，可以把梯形ABCD折疊成一個矩形EFNM(圖中EF,FN,EM為折痕)，使得點A與B、C與D分別重合于一點.請問，線段EF的位置如何確定;通過這種圖形變化，你能看出哪些定理或公式(至少三個)？證明你的所有結論.提示：EF為梯形ABCD的中位線，可以看出梯形的中位線定理、面積公式、等腰三角形的性質定理、平行線的性質定理等等。基礎題型1如圖在平行四邊形中，求這個平行四邊形各內角的度數(shù)解：四邊形是平行四邊形，由于故設，則即解得因此，平行四邊形各內角度數(shù)分別是，已知平行四邊形的周長為，相交于，且的周長比的周長小于，如圖，求平行四邊

12、形各邊的長解：四邊形為平行四邊形，的周長的周長且的周長比的周長小于又平行四邊形的周長為，如圖，已知：在平行四邊形中，是對角線，于，于求證：證明：方法一：四邊形是平行四邊形，方法二：連接，交于四邊形是平行四邊形，又，而（）如圖所示，在平行四邊形中，分別是，延長線上的點，且，則與具有怎么樣的位置關系？試說明理由解：證明：方法一：在平行四邊形中，又方法二連接，交于在平行四邊形中，（）方法三連接，交于，連接，由方法二知，四邊形為平行四邊形如圖，已知是平行四邊形對角線的交點，那么的周長為解：根據(jù)平行四邊形對角線互相平分以及對邊相等的性質可知，的周長為 如圖平行四邊形中，與交于，則該圖形中的平行四邊形的個

13、數(shù)共有（） 由題意可知圖中的平行四邊形分別是：，所以共有個.如圖，平行四邊形中，平分交于，交的延長線于，交于，交延長線于，垂足為，試證明：證明：四邊形為平行四邊形，平分，（），如圖，已知：，分別在的各邊上，延長到，使求證：與互相平分證明：連接，四邊形是平行四邊形，又，而四邊形為平行四邊形與互相平分如圖，已知是的邊的中點，是上的一點，試說明：與互相平分 證明：連接，四邊形為平行四邊形，是中點，四邊形為平行四邊形與互相平分如圖，點，分別在平行四邊形的邊，上，且，垂足分別為，求證：與互相平分證明：連接，四邊形是平行四邊形，四邊形是平行四邊形（一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）與互相平分如圖，與

14、互相平分，交點為，與互相平分，交點為，那么，四邊形是平行四邊形么？你是怎么判定的？解：四邊形是平行四邊形證明：連接，與互相平分四邊形是平行四邊形，與互相平分四邊形是平行四邊形，四邊形是平行四邊形.如圖，已知,是的高，是的中點求證：證明：，是的高，均為直角三角形 是的中點是斜邊上的中線，是斜邊上的中線，.如圖，先將矩形紙片對折一次折痕為，展開后又將紙片折疊使點落在上，此時折痕為，求度數(shù)的大小提示：根據(jù)題意得過點作，垂足為則，（直角三角形中角所對的直角邊等于斜邊的一半，反過來也成立）.過矩形對角線的中點作分別交，于,，點為的中點，若，求證：證明：連接四邊形是矩形是線段的垂直平分線，是中點.在矩形，

15、,，將矩形折疊，使點與點重合，折痕為，在展開，求折痕的長解：,由勾股定理可得根據(jù)題意有，設，由勾股定理，即解得，（提示：對角線互相垂直的四邊形面積等于對角線乘積的一半）已知：如圖，是矩形對角線的交點，平分，求的度數(shù)答案：提示為等腰直角三角形，為等邊三角形，為等腰三角形 ，.如圖，為過的直角頂點的直線，且于，于點，為的中點，求證：證明：連接為直角三角形，為斜邊的中點，又（），為的中點，即又，（）總結：在直角三角形中，出現(xiàn)中點時，常見的輔助線是斜邊上的中線以及中位線如圖是菱形邊的中點，于，交的延長線于，交于，求證：與互相平分證明：四邊形是菱形，（）（），即與互相平分方法二：連接，由，得，則且四邊形

16、為平行四邊形與互相平分如圖，在中，是的平分線，交于點，是邊上的高，交于，于求證：四邊形是菱形證明：是的平分線，是的平分線，四邊形是平行四邊形平行四邊形是菱形菱形中，如果它的一條對角線長為，求菱形的邊長解：若對角線，如圖四邊形為菱形，且則為等邊三角形菱形的邊長為若對角線，如圖四邊形為菱形，且則為等邊三角形又設，由勾股定理可得，解得，綜上所述：菱形的邊長為或如圖，四邊形是正方形，是的中點，是上的一點，且求證：證明：連接，設，則四邊形是正方形，為中點在中，在中，在中，則，是直角三角形（到初三的時候此題還有額外的證明方法）如圖，過正方形對角線上一點，作于，作于，連接，求證：， 證明：連接，延長交于點四

17、邊形是正方形，（），四邊形為矩形（有三個角為直角的四邊形為矩形），（），如圖正方形中，是的中點，平分，交于求證： 證明：取線段的中點，連接四邊形為正方形，為中點，為中點平分在與中思考：若點是線段上一個動點，其他條件不變，則上面的結論還成立么？請參考上面的解題思路，本題還有額外的證明方法，但是需要初三學習的知識，現(xiàn)在就不列舉了如圖，在梯形中，分別是，的中點，且，求證：梯形為等腰梯形證明：過分別作，的平行線交于，易知四邊形和四邊形都是平行四邊形，分別是，的中點，是線段的垂直平分線故梯形是等腰梯形已知等腰梯形中，求它的腰長 解：方法一：過點作，交于點四邊形為平行四邊形，四邊形為等邊三角形，方法二過點

18、作，垂足為，過點作，垂足為四邊形為等腰梯形，（）四邊形為矩形，如圖，在中，平分，點是的中點求證： 證明：延長交于點，平分（）（又是高，又是角平分線，很容易聯(lián)想到“三線合一”），點是的中點是三角形的中位線，如圖，在梯形中，是中點求證： 證明：取中點，連接由梯形中位線性質可知且與平行四邊形有關的常用輔助線作法歸類解析第一類：連結對角線，把平行四邊形轉化成兩個全等三角形。例1如左下圖1，在平行四邊形中，點在對角線上，且,請你以為一個端點，和圖中已標明字母的某一點連成一條新線段，猜想并證明它和圖中已有的某一條線段相等（只需證明一條線段即可）連結 證明：連結,設交于點O四邊形為平行四邊形 即四邊形為平行四邊形 第二類：平移對角線，把平行四邊形轉化為梯形。例2如右圖2，在平行四邊形中，對角線和相交于點O，如果，那么的取值范圍是（ ）A B C D解：將線段沿方向平移，使得,則有四邊形為平行四邊形,在中, ,，即 解得 故選A第三類：過一邊兩端點作對邊的垂線，把平行四邊形轉化為矩形和直角三角形問題。例3已知：如左下圖3，四邊形為平行四邊形 求證： 證明：過分別作于點，的延長線于點F 則四邊形為平行四邊形 且, 第四類：延長一邊中點與頂點連線，把平行四邊形轉化為三角形。例4：已知：如右上圖4，在正方形中，分別是、的中點，與交于