5.3 真空中靜電場的高斯定理

1、1,一、電場線 電場強度通量,為了形象直觀地描述電場強度在空間的分布，在電場中畫一系列曲線，這些曲線稱為電場線。,1 電場線,2,(1) 電場線上各點的切線方向表示該點場強的方向；,(2) 疏密表示電場強度的大小,電場線規(guī)定,垂直于電場線的單位面積上電場線條數(shù)等于該點的電場強度的大小。,3,典型電場的電場線分布圖形,正點電荷與負點電荷的電場線,一對等量正點電荷的電場線,一對等量異號點電荷的電場線,一對不等量異號點電荷的電場線,帶電平行板電容器的電場線,4,5,6,7,8,帶電平行板電容器的電場線,9,（1）電場線總是起始于正電荷，終止于負電荷，電場線不會形成閉合線。,（2）在沒有電荷的地方電場

2、線不中斷，任意兩條電場線不會相交。,（3）電場線密集的地方，電場強度較大；電場線疏稀的地方，電場強度較小。,電場線性質,電場線的這些性質反映了靜電場的特征。,10,電場中通過任一曲面的電場線的的條數(shù)，稱作通過該曲面的電場強度通量，,2 電場強度通量,簡稱 通量。,用符號 表示.,11,勻強電場， 與 成夾角 。,12,非勻強電場，通過任意曲面S的電場強度通量.,將曲面分割為無限多個面元，稱為面積元矢量。,電場穿過該面元的電通量為,電場穿過某曲面的電通量為,13,非勻強電場，通過任意閉合曲面S的電場強度通量.,面元的法向單位矢量可有兩種相反取向，電通量可正也可負；,不閉合曲面,14,規(guī)定面元的法

3、向單位矢量取向外為正。,閉合曲面,電場線穿出，電通量為正，反之則為負。,15,1. 三棱柱體放置在如圖所示的勻強電場中.求通過此三棱柱體的電場強度通量.,解,練習,16,17,2. 求均勻電場中一半球面的電通量。,18,二、高斯定理,高斯 (C.F.Gauss 17771855）,德國數(shù)學家、天文學家和物理學家，有“數(shù)學王子”美稱，他與韋伯制成了第一臺有線電報機和建立了地磁觀測臺，高斯還創(chuàng)立了電磁量的絕對單位制.,既然電場是由電荷所激發(fā)的，那么，通過電場空間某一給定閉合曲面的電場強度通量與激發(fā)電場的場源電荷必有確定的關系。高斯通過縝密運算論證了這個關系,這就是著名的高斯定理。,下面以點電荷為例

4、，得出相關結論，而后導出高斯定理。,例 求下列情況中通過曲面S、S及 S的電場強度通量： (1) 點電荷+q位于半徑為r 的球面S 的球心處； (2) 若q 位于任意曲面S 內(nèi)； (3) q位于任意閉合曲面S 以外。,20,(1)點電荷位于球面中心,通過球面的電場強度通量等于球面所包圍的電荷除以真空電容率。,21,(2)點電荷在閉合曲面內(nèi),將包圍點電荷q的球面換成任意閉合曲面,顯然，穿過閉合曲面 和穿過球面 的電力線條數(shù)相等。,通過任意閉合曲面的電場強度通量等于閉合曲面所包圍的電荷除以真空電容率。,22,(3)點電荷在閉合曲面外,只有在與閉合曲面相切的錐體范圍內(nèi)的電場線，才能通過閉合曲面，而且

5、每一條電場線從閉合曲面某處穿入，必從閉合曲面上的另一處穿出。,結論：,通過任一閉合曲面的電場強度通量，與閉合曲面外的電荷無關，僅僅取決于閉合曲面內(nèi)的電荷量。,23,高斯定理的導出,設空間電場是由點電荷q1、q2、 、qN 共同激發(fā)的。作任一閉合曲面S，其中q1、q2、 、qn 在曲面S內(nèi)，qn+1、qn+2、 、qN 在曲面S外。,24,根據(jù)電場疊加原理,（因 1 n 電荷在曲面內(nèi)，n +1 N 電荷在曲面外）,25,在真空靜電場中，穿過任一閉合曲面的電場強度通量，等于該曲面所包圍的所有電荷的代數(shù)和除以 .,連續(xù)分布帶電體,26,對高斯定理的說明,(1) 高斯面：閉合曲面.,(2) 電場強度：

6、面內(nèi)、外所有電荷的總場強.,(3) 電通量：穿出為正，穿進為負.,(4) 僅面內(nèi)電荷對電通量有貢獻.,(5) 靜電場：有源場.,27,三、高斯定理應用,高斯定理從理論上闡述了電場和電荷的關系，并且提供了一種由源電荷分布計算電場強度的方法。,一般情況下，由高斯定理只能求出通過某一閉合曲面的電場強度通量，并不能求出電場中各點的場強。,但是當電荷的分布具有某些對稱性時，其電場的分布也具有一定的對稱性，在這種情況下，應用高斯定理計算場強就比用疊加法計算場強要簡單的多。,28,q,例5-6 有一半徑為R 的均勻帶電球，帶電量q. (1)帶電球為均勻帶電球面時，求其電場分布； (2)帶電球為均勻帶電球體時

7、，求其電場分布.,對稱性分析：球對稱,解,高斯面：閉合球面,R,29,均勻帶電球面在球面外激發(fā)的電場強度與把所帶電量集中在球心的一個點電荷所激發(fā)的電場強度一樣。,q,方向沿徑向向外.,30,均勻帶電球面上任意一點場強？,在球面處（ ）電場強度不連續(xù)，其量值在球面處發(fā)生了突變。,31,方向沿徑向向外.,32,均勻帶電球體在球面外激發(fā)的電場強度與把所帶電量集中在球心的一個點電荷所激發(fā)的電場強度一樣。,均勻帶電球面與均勻帶電球體在球外任一點的電場強度完全相同！,方向沿徑向向外.,33,在球面處（ ）電場強度是連續(xù)的，其量值,34,例5-7 有一半徑為R的無限長均勻帶電圓柱，其單位長度上所帶電荷量為

8、.(1) 帶電圓柱為均勻帶電圓柱面時，求其電場分布；(2) 帶電圓柱為均勻帶電圓柱體時，求其電場分布.,解 因為無限長均勻帶電圓柱上的電荷呈軸對稱分布，所以其電場分布也具有軸對稱性，即離開圓柱軸線距離相等的各點（同一柱面上）電場強度大小相等，方向沿著半徑方向.,設所求場點P到圓柱軸線的距離為r，不論P點是在圓柱外還是在圓柱內(nèi)，過P點作半徑為r、高為h的同軸圓柱面作為高斯面，如圖.,35,同一高斯柱面上各點的電場強度大小處處相等，方向沿著半徑方向，即與各相應點處面積元dS上的法線方向一致.,通過高斯柱面的電通量為,36,(1) 均勻帶電圓柱面,如果P點在帶電圓柱面內(nèi)（r R），高斯球面包圍的電荷

9、代數(shù)和 .,根據(jù)高斯定理有,如果P點在帶電圓柱面外（r R），高斯球面包圍的電荷代數(shù)和 .,根據(jù)高斯定理有,方向沿徑向向外.,37,均勻帶電圓柱面在柱面外激發(fā)的電場強度，與把所帶電荷集中在軸線上的一個無限長的均勻帶電直線所激發(fā)的電場強度一樣.,由E - r曲線可看出，在柱面處（r = R）電場強度不連續(xù)，其量值在柱面處發(fā)生突變.,38,(2) 均勻帶電圓柱體,如果P點在帶電圓柱體內(nèi)（r R），高斯球面包圍的電荷代數(shù)和,根據(jù)高斯定理有,方向沿徑向向外.,如果P點在帶電圓柱體外（r R），高斯球面包圍的電荷代數(shù)和,39,其結果與均勻帶電圓柱面外任一點P的電場強度完全相同.,根據(jù)高斯定理有,方向沿徑

10、向向外.,由E - r曲線可看出，在柱面處（r = R）電場強度是連續(xù)的，其量值為,40,設有一無限長均勻帶電直線，單位長度上的電荷，即電荷線密度為，求距直線為r 處的電場強度.,解,+ + + + +,對稱性分析與高斯面的選取,課堂練習,方向沿徑向向外.,41,例5-8 設有一無限大均勻帶電平面，電荷面密度為 ，求距平面為r處某點的電場強度.,解,對稱性分析：,電荷均勻分布在一無限大帶電平面上，所以電場分布具有面對稱性。,作圓柱形高斯面,42,1. 高斯面可否選球面？,雖然 大小處處相等，但面元 與 的夾角 不同，此時無法用高斯定理求。,不可,43,2. 高斯面可否選長方體封閉面？,可以,4

11、4,45,無限大帶電平面的電場疊加問題,46,選擇合適的高斯面（欲求的場點在高斯面上），所謂的合適是指高斯面上各點的場強大小相等、方向與各點處的面元的法線方向一致;,或者是閉合面的一部分上場強處處與該面垂直，且大小相等，另一部分上場強與該面平行，因而通過該面的 通量為零。,從而使公式中的被積函數(shù) 中 ，且 可作為常數(shù)從積分號中提出，于是只需對高斯面的面積求積分；若所取高斯面具有簡單的幾何形狀，則對面積的積分就很容易求出。,47,注意,通過閉合曲面的電通量只與封閉曲面內(nèi)的電荷有關，與曲面外的電荷無關。但閉合曲面上的各點的場強卻與空間所有的電荷有關；,高斯定理對于任何閉合曲面都成立；,高斯定理對任意靜電場都成立，但是要利用高斯定理求電場，卻只限于具有高度對稱性的電場。,48,關于高斯定理的理解有下面幾種說法，其中正確的是：,（A）如果高斯面上E處處為零，則該面內(nèi)必無電荷。,（B）如果高斯面內(nèi)無電荷 ,則高斯面上E處處為零。,（