數(shù)學(xué)建模答案1

1、一、解釋下列詞語，并舉例說明(每小題滿分5分，共15分)1模型 模型指為了某種特定目的將原型的某一部分信息簡化、壓縮、提煉而構(gòu)造成的原型替代物。如地圖、苯分子圖。2數(shù)學(xué)模型 由數(shù)字、字母、或其他數(shù)學(xué)符號組成的，描述現(xiàn)實對象（原型）數(shù)量規(guī)律的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。具體地說，數(shù)學(xué)模型也可以描述為：對于現(xiàn)實世界的一個特定對象，為了一個特定的目的，根據(jù)特有的內(nèi)在規(guī)律，做出一些簡化假設(shè)后，運用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，得到的一個數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)稱之為數(shù)學(xué)模型。如概率的功利化定義。3抽象模型 抽象模型是為了便于研究而建立的一種高度抽象的理想客體實際的物體都是具有多種屬性的，例如固體具有一定的形狀、體積和內(nèi)部結(jié)構(gòu)，具有一定的質(zhì)量等但是，

2、當(dāng)我們針對某種目的，從某種角度對某一物體進(jìn)行研究時，有許多對研究問題沒有直接關(guān)系的屬性和作用卻可以忽略.二、簡答題（每小題滿分8分，共24分）1模型的分類 按照模型替代原型的方式，模型可以簡單分為形象模型和抽象模型兩類。形象模型：直觀模型，物理模型，分子結(jié)構(gòu)模型等；抽象模型：思維模型，符號模型，數(shù)學(xué)模型等。2數(shù)學(xué)建模的基本步驟1.建模準(zhǔn)備：確立建模課題的過程建模假設(shè)： 根據(jù)建模的目的對原型進(jìn)行抽象、簡化有目的性原則、簡明性原則、真實性原則和全面性原則構(gòu)造模型：在建模假設(shè)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步分析建模假設(shè)的各條款，選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具和構(gòu)造模型的方法對其進(jìn)行表征，構(gòu)造出根據(jù)已知條件和數(shù)據(jù)，分析模型的特征

3、和模型的結(jié)構(gòu)特點，設(shè)計或選擇求解模型的數(shù)學(xué)刻化實際問題的數(shù)學(xué)模型模型求解：構(gòu)造數(shù)學(xué)模型之后，方法和算法，并借助計算機(jī)完成對模型的求解模型分析：根據(jù)建模的目的要求，對模型求解的數(shù)字結(jié)果，或進(jìn)行穩(wěn)定性分析，或進(jìn)行系統(tǒng)參數(shù)的靈敏度分析，或進(jìn)行誤差分析等模型檢驗：模型分析符合要求之后，還必須回到客觀實際中去對模型進(jìn)行檢驗，看它是否符合客觀實際模型應(yīng)用：模型應(yīng)用是數(shù)學(xué)建模的宗旨，將其用于分析、研究和解決實際問題，充分發(fā)揮數(shù)學(xué)模型在生產(chǎn)和科研中的特殊作用3數(shù)學(xué)模型的作用數(shù)學(xué)模型的根本作用在于他將客觀原型化繁為簡、化難為易，便于人們采用定量的方法去分析和解決實際問題。正因為如此，數(shù)學(xué)模型在科學(xué)發(fā)展、科學(xué)預(yù)見

4、、科學(xué)預(yù)測、科學(xué)管理、科學(xué)決策、駕控市場經(jīng)濟(jì)乃至個人高效工作和生活等眾多方面發(fā)揮著特殊的重要作用，數(shù)學(xué)不僅是人們認(rèn)識世界的有力工具，而且對于人的素質(zhì)培養(yǎng)，無論是在自然科學(xué)，還是社會科學(xué)中都隨時發(fā)生著作用，使其終生受益。特別是，當(dāng)代計算機(jī)科學(xué)的發(fā)展和廣泛應(yīng)用，使得數(shù)學(xué)模型的方法如虎添翼，加速了數(shù)學(xué)向各個學(xué)科的滲透，產(chǎn)生了眾多的邊緣學(xué)科。數(shù)學(xué)建模還物化于各中高新科技之中，從家用電器到天氣預(yù)報，從通信到廣播電視，從核電站到衛(wèi)星，從新材料到生物工程，高科技的高精度、高速度、高安全、高質(zhì)量、高效率等特點無一不是通過數(shù)學(xué)模型和數(shù)學(xué)方法并借助計算機(jī)的計算控制來實現(xiàn)的。3、 解答題（滿分20分）I 雜交育種的

5、穩(wěn)定性(9n+8, 9n+7)假設(shè)某一農(nóng)業(yè)研究所植物園中某植物的基因型為AA、Aa 和aa ，三種基因型各占1/3. 已知AA型基因?qū)儆趦?yōu)良品種，試分析下列三種方案中哪一個方案有利于培養(yǎng)出優(yōu)良品種？ 方案1：采用AA型的植物與每種基因型相結(jié)合的方法培育植物后代； 方案2：采用Aa型的植物與每種基因型相結(jié)合的方法培育植物后代；方案3：將具有相同基因型植物相設(shè) 第n代植物的基因AA 型、 Aa型和aa型所占的比例，n =1,2, .(1) 對于AA型基因授粉情況，第n代的基因型分布可由第n-1代的基因型分布來確定，即 如果一直使用方案1,培育出植物AA型基因所占比例在不斷增加，在極限狀態(tài)下所有植物

6、的基因都會是AA型. 對于方案2與方案3可做類似討論 記與M1對應(yīng)于方案2和方案3的矩陣分別為M2與M3,則 對應(yīng)于方案2, 所以不可能得到純種的AA型植物.對應(yīng)于方案3, 則所以同理不可能得到純種的AA型植物. 四、綜合題（21分）K. 養(yǎng)魚問題(7n+1, 7n, 7n+2)我國為支持農(nóng)村經(jīng)濟(jì)發(fā)展, 免費提某種魚苗用以支持某地區(qū)養(yǎng)殖業(yè)的發(fā)展。設(shè)某地區(qū)有一池塘，其水面面積100100平方米，根據(jù)當(dāng)?shù)丨h(huán)境測出每平方米養(yǎng)魚不超過1公斤，每公斤魚苗大約有500條，魚可四季生長，每天的生長重量與魚自重成正比，360天可長成成魚，其重量為2公斤，每公斤魚每天需要飼料0.005公斤,給魚池內(nèi)只投放魚苗，

7、池內(nèi)魚的繁殖與死亡均可忽略不計，市場上魚飼料價格0.2元/公斤,此種魚的銷售價格為：每條魚重量（公斤）0.2-0.750.75-1.51.5-20.2每公斤的售價（元）68100請你為一承包戶設(shè)計一下最優(yōu)方案. 1. 此承包護(hù)承包期為一年；2.此承包護(hù)承包期為三年；此承包護(hù)承包期為三十年.假設(shè)：研究獲得三年養(yǎng)魚利潤最優(yōu)模型摘要在我們?nèi)粘Ｉ钪?，都有這么些相關(guān)的例子。那么這里我們將基于求利潤最優(yōu)化的養(yǎng)魚規(guī)劃問題，根據(jù)魚的存活空間有限，以及魚本身的生長情況，可以假設(shè)魚在長成成魚后生長非常緩慢，近似為不生長，未成年魚的生長模型為指數(shù)增長模型,得出魚的增長函數(shù)，對于的價格進(jìn)行預(yù)知，將利潤的最大化問題著

8、手于研究養(yǎng)魚周期、捕魚次數(shù)及每次捕魚的重量，結(jié)合魚的生長模型充分利用池塘空間，在合理假設(shè)條件下建立數(shù)學(xué)模型，并借助MATLAB軟件編程計算，通過比較分析各模型的最優(yōu)解，確定出三年獲得較大利潤的最優(yōu)養(yǎng)魚方案，為養(yǎng)殖戶提供有用的參考。關(guān)鍵字： Matlab 指數(shù)增長模型 養(yǎng)魚周期 捕魚次數(shù) 捕魚重量 較大利潤一、 問題重述 設(shè)某地有一池塘，其水面面積約為100100，用來養(yǎng)殖某種魚類。在如下的假設(shè)下，設(shè)計能獲取較大利潤的三年的養(yǎng)魚方案。 魚的存活空間為1kg /； 每1kg魚每天需要的飼料為0.05kg，市場上魚飼料的價格為0.2元/kg； 魚苗的價格忽略不計，每1kg魚苗大約有500條魚； 魚可

9、四季生長，每天的生長重量與魚的自重成正比，365天長為成魚，成魚的重量為2kg；池內(nèi)魚的繁殖與死亡均忽略；若q為魚重，則此種魚的售價為：該池內(nèi)只能投放魚苗。二、 模型假設(shè) （1）、養(yǎng)魚者的經(jīng)營模式為“放魚苗喂飼料捕撈，銷售全部捕撈”周期循環(huán)，每個周期只投放一次魚苗。（2）、在飼養(yǎng)過程中，不考慮意外災(zāi)害，如洪災(zāi)、旱災(zāi)，臺風(fēng)等等。（3）、魚可以一年四季生長，未成年魚每天生長的重量與魚的自重成正比。（4）、魚的繁殖和死亡均可以忽略。（5）、捕撈魚時采取承包不放水的方式。（6）、每個周期分n次捕撈銷售，每相隔兩次捕撈時間間隔相同，n=2；且在捕撈時，部分魚對其它魚的生長不造成影響，捕出的魚能全部按預(yù)定

10、價格銷售。三、 符號及說明 S：池塘水面面積（平方米）；u：池塘單位面積魚的最大存活量重（公斤/平方米）；N：每次放養(yǎng)魚苗的尾數(shù)（萬尾）；r:魚每天生長的重量與魚自重成正比的比例系數(shù)；y：每條魚的重量（公斤）；t：魚的生長天數(shù)（天）；p:銷售魚的價格（元/公斤）；a：每公斤魚每天要喂的飼料重量（公斤）；b：市場上飼料的價格（元/公斤）；p0：每次捕撈魚的費用（元/次）；h0：購買魚苗時的價格（元/萬尾）；x0：每條魚苗的重量（公斤）；n：每個養(yǎng)魚周期的捕撈次數(shù)（次）；ts：在每個周期的第s次捕撈魚的時間（天）；：池塘飽和時魚的總重量（公斤）；：在每個周期的第s次捕撈魚的重量（公斤）；Y：三年養(yǎng)

11、魚獲得的較大利潤（元）。四、 問題分析名詞解釋1)、池塘飽和：魚的生存空間達(dá)到最小時2）、未成年魚：體重沒達(dá)到成魚重量的魚3）、養(yǎng)魚周期：每次放養(yǎng)魚苗后飼養(yǎng)的時間問題的數(shù)據(jù)分析在池塘第一次達(dá)到飽和時魚剛好能夠上市的前提下，考慮充分利用池塘空間，容易知道每個周期放養(yǎng)魚苗數(shù)為萬尾。由假設(shè)3可得魚的生長函數(shù)為: 由條件3、4可求得：由條件6可得銷售魚時的價格函數(shù)為：將其轉(zhuǎn)化為時間的函數(shù)：由銷售魚的價格函數(shù)可知，每次放養(yǎng)魚苗后，第一次捕撈的時間是在第240天，為獲得較大利潤，在三年時間可進(jìn)行4個周期的循環(huán)或3個周期循環(huán)。且最后一次捕撈應(yīng)在第274天和第360天將魚全部捕撈并銷售。五、 模型建立與求解模

12、型1：三年中4次放養(yǎng)魚苗用表示三年中4次放養(yǎng)魚苗，每個養(yǎng)魚周期分n次捕撈銷售后獲得的利潤。由前面問題分析可得，4次放養(yǎng)魚苗獲得的較大利潤函數(shù)為：約束條件： 模型2：三年中3次放養(yǎng)魚苗 用表示三年中3次放養(yǎng)魚苗，每個養(yǎng)魚周期分n次捕撈銷售后獲得的利潤。由前面問題分析可得，3次放養(yǎng)魚苗獲得的較大利潤函數(shù)為：約束條件： 模型求解經(jīng)過調(diào)查多家養(yǎng)魚專業(yè)戶及網(wǎng)上查詢，可獲知常見家常魚的價格為10元/萬尾。捕魚采取承包不放水方式，費用一般為每次12001500元不等，這里，我們研究的是如何獲得較大利潤，不妨取元/次。利用matlab軟件編程計算并作圖，在同一坐標(biāo)系中回話出及與n的關(guān)系圖像，如下圖：05101

13、5202530354045505560657012345678模型結(jié)論 由圖1可獲知為獲得三年養(yǎng)魚的較大利潤應(yīng)采用模型2，再由計算結(jié)果知，當(dāng)n=13時，取得最大利潤元。當(dāng)n=13帶入方程（6）、（7）可得在輪個養(yǎng)魚中前12次每次大撈魚的重量為1745公斤，從第240天開始，每10天打撈一次，最后一次將魚全部捕撈完。這即是三年獲得較大利潤的最優(yōu)方案。六、模型評價及改進(jìn)方向優(yōu)點：1、 通過兩種模型的求解、分析、對比獲得最優(yōu)養(yǎng)魚方案，使最優(yōu)設(shè)計方案的結(jié)果更具有實際性、可行性、合理性，在進(jìn)行設(shè)計變量的過程中具體分析關(guān)系量，所假設(shè)的變量清晰、全面、合理、不混淆，使得建立的模型簡單易懂，可行性高。2、 采

14、用matlab軟件編程求解并作圖，對結(jié)果分析有很大幫助。圖示中可觀察出相應(yīng)變量對目標(biāo)函數(shù)的影響，通過對兩種模型的比較，獲得三年養(yǎng)魚中獲得較大利潤的最優(yōu)方案，為養(yǎng)殖戶提供了有價值的參考。缺點：忽略了魚在生長過程中的繁殖和死亡，同時沒有考慮魚生長時的種族斗爭與生存競爭，因此可能與實際的情況出現(xiàn)一定的誤差。改進(jìn)方向： 針對魚的生長機(jī)能、生長環(huán)境以及自然資源，可在本文的基礎(chǔ)之上，進(jìn)一步考慮種族斗爭、種內(nèi)斗爭、環(huán)境條件等阻滯魚生長的因素，作出更精確地養(yǎng)魚利潤評估。五、復(fù)述題（21分）Q .三級火箭發(fā)射衛(wèi)星模型.(3n+1)1.衛(wèi)星能進(jìn)入600km高空軌道,火箭必須的最低速度.設(shè)地衛(wèi)星軌道，C的半徑為r，

15、衛(wèi)星的質(zhì)量為m。球半徑為R， 中心為O，質(zhì)量為M，曲線C表示地球表面， C表示2）建模與求解 根據(jù)假設(shè)1.2、1.3，衛(wèi)星只受地球引力，由牛頓萬有引力定律可知其引力大小為(1)如果把衛(wèi)星放在地球表面，則由（1）式，得1.衛(wèi)星能進(jìn)入600km高空軌道,火箭必須的最低速度.2.火箭推進(jìn)力及升空速度 火箭的簡單模型是由一臺發(fā)動機(jī)和一個燃料倉組成。燃料燃燒產(chǎn)生大量氣體從火箭末端噴出，給火箭一個向前的推力?；鸺w行要受地球引力、空氣阻力、地球自轉(zhuǎn)與公轉(zhuǎn)等的影響，使火箭升空后作曲線運動。 1）模型假設(shè) 為使問題簡化，假設(shè)： 2.1 火箭在噴氣推動下作直線運動，火箭所受的重力和空氣阻力忽略不計； 2.2 在

16、t時刻火箭質(zhì)量為m(t)，速度為v(t)，且均為時間t的連續(xù)可微函數(shù)； 2.3 從火箭末端噴出氣體相對火箭本身的速度u為常數(shù),即氣體相對于地球的速度為v(t)-u2）建模與分析 由于火箭在運動過程中不斷噴出氣體，使其質(zhì)量不斷減少，在t, t+t 內(nèi)的減少量可由微分公式表示為因為噴出氣體相對地球的速度為v(t)-u，則由動量守恒定律有表明火箭所受推力等于燃料消耗速度與噴氣速度(相對火箭)的乘積。表明，在一定的條件下，火箭升空速度由噴氣速度(相對火箭)及質(zhì)量比決定。這為提高火箭速度找到了正確途徑：盡可能提高火箭燃燒室產(chǎn)生的氣體噴出的速度，這需要從燃料上想辦法；盡可能減少在時刻火箭的質(zhì)量，這要從結(jié)構(gòu)

17、上想辦法。3. 一級火箭末速度上限火箭衛(wèi)星系統(tǒng)的質(zhì)量可分為三部分：凈載質(zhì)量(有效負(fù)載，如衛(wèi)星)mp, ， 燃料質(zhì)量mF ，結(jié)構(gòu)質(zhì)量(如外殼、燃料容器及推進(jìn)器) mS。一級火箭末速度上限主要是受目前技術(shù)條件的限制。1) 模型假設(shè) 3.1 一般來說，結(jié)構(gòu)質(zhì)量mS在mS+ mF中占有一定的比例，在現(xiàn)有技術(shù)條件下，要使燃料與發(fā)動機(jī)的質(zhì)量和小于所載燃料的1/9是很難做到的。 目前技術(shù)條件下不妨設(shè)相對火箭的噴氣速度u=3km/s. 3.2 初速度v0忽略不計，即v0 =0.2）建模與求解 因為升空火箭的最終(燃料已耗盡)質(zhì)量為mp+ms。然后將燃料倉和發(fā)動機(jī)丟棄，只剩下凈載體，由式(1)及假設(shè)3.2得到其

18、末速度為 由此可見，對于給定u值，當(dāng)有效負(fù)荷mp=0時，火箭末速度達(dá)到最大，即火箭末速度上限的數(shù)學(xué)模型由假設(shè)3.1，取u =3km, ，便得火箭末速度上限而衛(wèi)星能進(jìn)入 600km 高空軌道, 火箭末速度最低為 7.6km/s. 即便忽略空氣阻力、重力、不攜帶任何東西的情況下，火箭末速度最大才6.6km/s。因此，用一級火箭發(fā)射衛(wèi)星，在目前技術(shù)條件下無法達(dá)到在相應(yīng)高度所需的速度，也就是說單級火箭不能用于發(fā)射衛(wèi)星。3) 模型分析單級火箭一直將將燃料倉和發(fā)動機(jī)帶到了末端，而未將這些丟棄,火箭發(fā)動機(jī)作了許多無用功。也就是說發(fā)動機(jī)必須把整個沉重的火箭加速到最后,但是當(dāng)燃料耗盡時,發(fā)動機(jī)加速的僅僅是一個空

19、的燃料倉. 這就是單級火箭設(shè)計方面的最大缺點，因此我們必須反思，有必要改進(jìn)火箭的設(shè)計。 理想火箭設(shè)想就是把無用的結(jié)構(gòu)質(zhì)量連續(xù)拋棄以達(dá)到最佳的升空速度,雖然在目前的技術(shù)條件下難以辦到,但它確為發(fā)展火箭技術(shù)指明了奮斗目標(biāo)。目前已商業(yè)化的多級火箭衛(wèi)星系統(tǒng)便是朝著這種目標(biāo)邁出的第一步。多級火箭是從末級開始，逐級燃燒,當(dāng)?shù)趇級燃料燒盡時,第i+1級火箭立即自動點火,并拋棄已經(jīng)無用的第i 級。1. 多級火箭的速度為了簡單起見，先作如下假設(shè)： (1)mi 用表示第i級火箭質(zhì)量，mp表示有效負(fù)載。 (2)設(shè)各級火箭具有相同的b，b mi表示第i級結(jié)構(gòu)質(zhì)量, (1- b) mi表示第i級的燃料質(zhì)量。 (3)噴氣相對火箭的速度u 相同。2）模型建立與求解火箭的初始質(zhì)量為第一級火箭燃料消耗完畢時，火箭的質(zhì)量為此時第一級火箭的速度為將第一級火箭的結(jié)構(gòu)拋去，點燃第二級火箭，此時火箭的質(zhì)量為并且具有初速度v1 . 類似可求得第二級火箭燃料消耗完畢時，火箭的速度為那么