北師大版初二數(shù)學(xué)下冊(cè)3.線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)

1、1.3線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)鄭州市第七十三中學(xué)李志蘋(píng)第一章三角形的證明鄭州市第七十三中學(xué)李志蘋(píng)教學(xué)課題： 1.3線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)教學(xué)目標(biāo)：（一）教學(xué)知識(shí)點(diǎn)1.證明線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)定理，能運(yùn)用定理進(jìn)行有關(guān)計(jì)算和證明.2.探索并證明線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的逆定理, 能用逆定理進(jìn)行有關(guān)計(jì)算和證明.3.能運(yùn)用線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的定理及逆定理解決實(shí)際問(wèn)題.（二）能力訓(xùn)練要求經(jīng)歷探索、發(fā)現(xiàn)、猜測(cè)、證明的過(guò)程，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的推理證明能力.（三）情感價(jià)值觀要求1.通過(guò)小組活動(dòng)，學(xué)會(huì)與人合作，并能與他人交流思維的過(guò)程和結(jié)果.2. 通過(guò)探究活動(dòng)，引起學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，并在今后的學(xué)習(xí)中，學(xué)會(huì)利用數(shù)學(xué)來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題。教學(xué)重點(diǎn)：線(xiàn)

2、段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)定理的證明及應(yīng)用教學(xué)難點(diǎn)：線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)性質(zhì)定理的逆定理的證明及應(yīng)用教學(xué)方法：自學(xué)、討論、引導(dǎo)法 .教學(xué)過(guò)程： . 巧設(shè)情境，引入新課師“數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，又服務(wù)于生活”，今天早上花花牛站長(zhǎng)請(qǐng)教老師一個(gè)問(wèn)題. 用題，對(duì)學(xué)生提出目標(biāo)，相信學(xué)完本節(jié)課的內(nèi)容之后我們就可以幫花花牛站長(zhǎng)解決她的困惑。引出本節(jié)課的課題， 1.3 線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)（1）（板書(shū)）師我們先來(lái)了解本節(jié)課的學(xué)習(xí)目標(biāo). 老師展示學(xué)習(xí)目標(biāo).生齊讀：學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.證明線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)定理，能運(yùn)用定理進(jìn)行有關(guān)計(jì)算和證明.2.探索并證明線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的逆定理,能用逆定理進(jìn)行有關(guān)計(jì)算和證明.3.能運(yùn)用線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的定理

3、及逆定理解決實(shí)際問(wèn)題.ppt 展示問(wèn) . 講授新課師帶著我們的學(xué)習(xí)目標(biāo)讓我們開(kāi)啟今天的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)之旅吧！一、復(fù)習(xí)回顧師其實(shí)我們?cè)谄吣昙?jí)下冊(cè)的時(shí)候已經(jīng)對(duì)線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)有了一些了解，讓我們先來(lái)完成下面的兩道題 .(ppt展示 )1. 折一折：請(qǐng)同學(xué)們畫(huà)線(xiàn)段 ab，并動(dòng)手折出 ab的對(duì)稱(chēng)軸 .2. 線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的定義 :_師怎樣用折紙的方法找出線(xiàn)段ab 的對(duì)稱(chēng)軸呢？生用圓規(guī)的尖或用筆尖扎線(xiàn)段的兩個(gè)端點(diǎn)，然后對(duì)折讓兩個(gè)端點(diǎn)對(duì)齊，則折痕即為線(xiàn)段ab的對(duì)稱(chēng)軸。師我們找出的這條對(duì)稱(chēng)軸其實(shí)就是線(xiàn)段的什么？生線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)師哪位同學(xué)可以想起線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的定義？生垂直且平分一條線(xiàn)段的直線(xiàn).師老師補(bǔ)充并板書(shū)

4、，線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的定義. 并讓學(xué)生從定義中發(fā)現(xiàn)線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì).生垂直，平分這條線(xiàn)段.師線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)除了這兩個(gè)性質(zhì)之后還有其他的性質(zhì)嗎？（激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，為下面的探究做好鋪墊）.【收獲】線(xiàn)段的兩個(gè)基本性質(zhì)：1. 垂直于一條線(xiàn)段.2. 平分這條線(xiàn)段 .下面讓我們繼續(xù)我們的數(shù)學(xué)之旅吧！進(jìn)行我們的第二個(gè)學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)：二、合作探究探究一：線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)在線(xiàn)段 ab的垂直平分線(xiàn)mn上任取一點(diǎn)p，連接 pa,pb, 量一量 pa,pb 的長(zhǎng)，能發(fā)現(xiàn)什么？再任取一點(diǎn)連接 qa和 qb,結(jié)論一樣嗎？ 生 動(dòng)手操作，直尺或三角板測(cè)量發(fā)現(xiàn)pa=pb,qa=qb. 師 能否得到線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)呢？

5、 生 線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)到線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等. 師 這是我們猜想，且測(cè)量的結(jié)果有時(shí)難免有誤差，你能給出更有力的方法驗(yàn)證這個(gè)命題的正確性嗎？q，先分析猜想的命題的條件和結(jié)論. 生 條件是：線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)；結(jié)論是：到線(xiàn)段的額兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.通過(guò)討論和思考，引導(dǎo)學(xué)生分析并寫(xiě)出已知、求證的內(nèi)容。 師 哪位同學(xué)來(lái)證明這個(gè)命題呢？ 生 已知：如圖：直線(xiàn)mn垂直平分線(xiàn)段ab,p 是 mn上任一點(diǎn)，求證pa=pb.證明：mn ab pca= pcb=90 ac=bc pc=pc apc bpc(sas) pa=pb(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等) 師 這位同學(xué)用我們學(xué)過(guò)的三角形全等的知識(shí)解決了問(wèn)題。

6、證明了我們猜想的命題是一個(gè)真命題，這就是我們學(xué)習(xí)的 - 線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)定理 . 師 用的時(shí)候怎么用呢？性質(zhì)定理點(diǎn) p 在線(xiàn)段 abpa=pb的垂直平分線(xiàn)上符號(hào)語(yǔ)言：點(diǎn)p 在線(xiàn)段 ab的垂直平分線(xiàn)上 pa=pb 師 你學(xué)會(huì)了嗎？ 生 學(xué)會(huì)了 . 師 讓我們來(lái)檢測(cè)下，完成學(xué)以致用一.學(xué)以致用一：1. 如圖 2, 在 abc中,ab=ac,mn垂直平分 ab.(1) 若 bn=10,則 an=_(2)(2) 若 a=40 , 則 1=_ 2=_ 3=_(3) 若 ab=14, bcn的周長(zhǎng)是 26, 則 bc=_圖 22. 如圖 3，在 abc中， bac=120 ,ab=ac, bc=12,

7、ab 的垂直平分線(xiàn)交bc邊于點(diǎn) e,ac 的垂直平分線(xiàn)交bc邊于點(diǎn) n.(1) 求 aen的周長(zhǎng) .(2) 求 ean的度數(shù) .(3)判斷 aen的形狀 .變式 1. 在 abc中， bac=130 ,ab=ac, bc=12,ab 的垂直平分線(xiàn)交bc邊于點(diǎn) e,ac 的垂直平分線(xiàn)交bc邊于點(diǎn) n.(1) 求 aen的周長(zhǎng) .(2) 求 ean的度數(shù) .(3) 判斷 aen的形狀 .變式 2. 在 abc中， bac=130 ,bc=12,ab 的垂直平分線(xiàn)交 bc邊于點(diǎn) e,ac 的垂直平分線(xiàn)交bc邊于點(diǎn)n.(1) 求 aen的周長(zhǎng) .(2) 求 ean的度數(shù) .admbenc圖 3 師 點(diǎn)

8、評(píng)：第2 題和它的兩道變式題中發(fā)現(xiàn)：三道題由特殊到一般，從頂角是120的等腰三角形到頂角是鈍角的一般的等腰三角形到一般鈍角三角形，aen的形狀也不斷的變化，ean的度數(shù)也變化，但aen的周長(zhǎng)不變，因此得出結(jié)論：1） aen的周長(zhǎng) =bc長(zhǎng) .2 ） aen的形狀變化規(guī)律是由等邊三角形到等腰三角形到一般三角形，與abc的形狀有關(guān).3 ） ean的度數(shù)與bac的度數(shù)有關(guān) . 因?yàn)?ean=180 -2 b-2 c=180 -2 （ b+ c） =180 -2 （ 180 - bac） =2 bac -180 . 從等式中也得出bac必須大于90 . 師 總評(píng)：從上述兩道例題中得出無(wú)論是圖形變化還是

9、題目條件變化，都和基本圖形及由基本圖形得出的結(jié)論有關(guān) . 因此同學(xué)們?cè)谝院蟮膶W(xué)習(xí)或解題中，善于在復(fù)雜圖形中找出基本圖形，這樣就會(huì)將圖形簡(jiǎn)單化 . 應(yīng)用由基本圖形得出的相關(guān)結(jié)論，就會(huì)找出解題思路.探究二：線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的逆定理 師 我們經(jīng)歷了學(xué)以致用環(huán)節(jié)之后，我們對(duì)線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)定理有了進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)，讓我們?cè)倩剡^(guò)頭來(lái)看這個(gè)定理：線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)到線(xiàn)段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.問(wèn)題：如果交換定理的條件和結(jié)論，會(huì)得到一個(gè)什么樣的命題？它是真命題嗎？ 生 原命題的條件是線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)，結(jié)論是到線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等. 交換條件和結(jié)論之后的命題就是：到線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在線(xiàn)段的垂直平分

10、線(xiàn)上.p 師 它是真命題嗎？能不能用所學(xué)的知識(shí)來(lái)證明它呢？小組合作探究.經(jīng)激烈的談?wù)撝螅?生 已知，如圖，線(xiàn)段 ab,pa=pb,求證：點(diǎn) p 在線(xiàn)段 ab的垂直平分線(xiàn)上 .ab證明：過(guò)點(diǎn)p 作 ab邊上的高pc在 rt pca和 rt pcb中：pc=pc,pa=pb rt pca rt pcb(hl) ac=bc(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等 )點(diǎn) p 在線(xiàn)段 ab 的垂直平分線(xiàn)上 生 補(bǔ)充：作輔助線(xiàn)的方法一樣：過(guò)點(diǎn) p 作 ab 邊上的高pc， pa=pb pc平分 ab（等腰三角形“三線(xiàn)合一”）pacb點(diǎn) p在線(xiàn)段 ab的垂直平分線(xiàn)上 師 第一位同學(xué)用全等方法得ac=bc,而第二位同學(xué)直接

11、根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到ac=bc，方法上更巧妙，就如我們今天學(xué)習(xí)的性質(zhì)定理一樣，在以后的應(yīng)用上就可以直接用了. 師 這道題還有沒(méi)有其他的證明方法呢？輔助線(xiàn)的作法唯一嗎？作為一個(gè)思考題，大家課后探究下. 師 我們已經(jīng)證明了該命題的正確性，它就是性質(zhì)定理的逆定理，用的時(shí)候怎么用呢？逆定理點(diǎn) p 在線(xiàn)段 abpa=pb的垂直平分線(xiàn)上符號(hào)語(yǔ)言： pa=pb點(diǎn) p 在線(xiàn)段 ab的垂直平分線(xiàn)上 師 你掌握住了嗎？ 生 掌握了 . 師 讓我們來(lái)檢測(cè)下，完成學(xué)以致用二.學(xué)以致用二：1.(1)用尺規(guī)作出線(xiàn)段ab的垂直平分線(xiàn)(2) 用所學(xué)的知識(shí)解釋做出的直線(xiàn)為什么是線(xiàn)段ab的垂直平分線(xiàn)?2. 已知 : 如圖 5

12、, 在 abc 中 ,ab = ac,o是 abc 內(nèi)一點(diǎn) , 且 ob = oc. 求證：直線(xiàn)ao 垂直平分線(xiàn)段bc.圖 5 師 學(xué)完兩個(gè)定理的證明及兩個(gè)定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用之后，你能解決花花牛站長(zhǎng)的困惑嗎？ 生 把我們學(xué)校和領(lǐng)航學(xué)校分別看作兩個(gè)點(diǎn)a,b 連接 ab, 作線(xiàn)段 ab 的垂直平分線(xiàn)，垂直平分線(xiàn)與航海路的交點(diǎn)就是奶站應(yīng)建的位置. 師 我們用線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)定理解決了生活中的實(shí)際問(wèn)題，幫了花花牛站長(zhǎng)一個(gè)大忙，給自己這個(gè)偉大的設(shè)計(jì)師一個(gè)掌聲鼓勵(lì)吧！ 師 現(xiàn)在讓我們?cè)賻突ɑㄅＵ鹃L(zhǎng)一個(gè)問(wèn)題吧！三、延伸遷移花花牛公司除了要向中原領(lǐng)航實(shí)驗(yàn)學(xué)校a 、七十三中學(xué)b 提供牛奶外，為了擴(kuò)大業(yè)務(wù)，還要向

13、閆垌小學(xué)c 提供牛奶，奶站應(yīng)建在什么地方,才能使它到三個(gè)學(xué)校的距離相等？cba四、學(xué)習(xí)小結(jié)：同學(xué)們，經(jīng)歷了課上的探究活動(dòng)，你有哪些收獲？今后你會(huì)選擇什么樣的方法解決數(shù)學(xué)和生活中的問(wèn)題呢？（學(xué)生暢所欲言）師在完成性質(zhì)定理和判定定理的證明及簡(jiǎn)單的應(yīng)用后，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行總結(jié)：（1）線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)可以看成是到線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的所有點(diǎn)的集合。（ 2）到一條線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等個(gè)點(diǎn)在這條線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上因此只需作出這樣的兩個(gè)點(diǎn)即可做出線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)。同學(xué)們通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，不僅學(xué)會(huì)了線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)定理和逆定理的證明過(guò)程，還要會(huì)用用數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題。下面我們檢查一下大家這節(jié)課的收獲，請(qǐng)

14、完成當(dāng)堂檢測(cè)?！臼斋@】探索- 發(fā)現(xiàn) - 猜想 - 證明是一種重要的數(shù)學(xué)方法. 線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)定理和逆定理的證明及應(yīng)用 .五、當(dāng)堂檢測(cè)1. 已知，如圖 6， abc的周長(zhǎng)為 19cm， ac的垂直平分線(xiàn) de交 bc于 d， e 為垂足， ae=3cm，則 abd的周長(zhǎng)為 _cm圖 62. 已知，如圖7，已知：在abc中，邊上的垂直平分線(xiàn)相交于點(diǎn). 求證：點(diǎn)p在的垂直平ab、bcpac分線(xiàn)上 .圖 73. 已知，如圖 8， a、 b 表示兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)，要在 a、 b 一側(cè)的河岸邊建造一個(gè)碼頭，使它到兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)的距離相等，碼頭應(yīng)建在什么位置 ?圖 8 師 哪位同學(xué)分享一下你的答案？ 生 學(xué)生的分

15、享 . 師 同學(xué)們?cè)谝陨系膶W(xué)習(xí)環(huán)節(jié)表現(xiàn)的非常棒！用我們所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)解決了實(shí)際問(wèn)題. 希望把這種學(xué)習(xí)勁頭發(fā)揚(yáng)下去，接下來(lái)是老師送給學(xué)生們的話(huà).同學(xué)們：在學(xué)習(xí)本節(jié)課的過(guò)程中，我們用“探索- 發(fā)現(xiàn) - 猜想 - 證明”的方法共同經(jīng)歷了線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)定理和逆定理的探究過(guò)程，享受了探索數(shù)學(xué)幾何問(wèn)題的成就感。生活中還有許多數(shù)學(xué)奧秘等著我們?nèi)ヌ剿鳎グl(fā)現(xiàn)。同學(xué)們, 努力吧 , 相信自己！“我是最棒的 ! ”六、板書(shū)設(shè)計(jì)1.3 線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)一 . 定義二性質(zhì)定理逆定理性質(zhì)定理點(diǎn) p 在線(xiàn)段 abpa=pb的垂直平分線(xiàn)上逆定理符號(hào)語(yǔ)言：三、談?wù)勀愕氖斋@！四、當(dāng)堂檢測(cè)七、課后反思本節(jié)課是建立在“以學(xué)

16、生的發(fā)展為本，為學(xué)生的終身學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)”的教育理念上，融入了新課標(biāo)的思想內(nèi)涵，尊重學(xué)生的直觀感覺(jué)，并從學(xué)生的直觀感覺(jué)出發(fā)逐步將學(xué)生的思維引向嚴(yán)密性、邏輯證明等方面，因此在設(shè)計(jì)中突出體現(xiàn)了學(xué)生的主體地位.在學(xué)習(xí)過(guò)程中，力求讓學(xué)生學(xué)會(huì)將生活問(wèn)題數(shù)學(xué)化，首先用一個(gè)生活實(shí)例，引起學(xué)生的興趣，調(diào)動(dòng)起學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。在復(fù)習(xí)回顧中，先讓學(xué)生回顧七年級(jí)線(xiàn)段的對(duì)稱(chēng)軸，由對(duì)稱(chēng)軸引出線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的定義，由線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的定義得線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的兩個(gè)性質(zhì)：垂直和平分. 繼續(xù)追問(wèn)學(xué)生，除了這兩個(gè)性質(zhì)之外還有其他的性質(zhì)嗎？引出合作探究一：線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)定理.在合作探究活動(dòng)中，首先讓學(xué)生自己動(dòng)手，在自己折的線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上任選一點(diǎn)p，連接 pa和pb,用直尺測(cè)量?jī)蓷l線(xiàn)段的長(zhǎng)度，由測(cè)量可得pa=pb,由于測(cè)量是有誤差的，讓學(xué)生意識(shí)到證明的必要性，從而使學(xué)生意識(shí)到推理論證的必要性；同時(shí)也培養(yǎng)了學(xué)生“用數(shù)學(xué)”的意識(shí)，并使得學(xué)生有一種感受：數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，服務(wù)于生活。接著在探究二中讓學(xué)生學(xué)會(huì)提出問(wèn)題，若交換性質(zhì)定理的條件和結(jié)論，先得到一個(gè)命題，然后再證明命題的正確性，得到性質(zhì)定理的逆定理. 接著用我