高中數(shù)學 第二章 數(shù)列 2.3.2 等比數(shù)列的前n項和（一）學案 新人教B版必修5

1、2.3.2等比數(shù)列的前n項和(一)學習目標1.掌握等比數(shù)列的前n項和公式及公式推導思路.2.會用等比數(shù)列的前n項和公式解決有關(guān)等比數(shù)列的一些簡單問題知識鏈接1求等差數(shù)列前n項和用的是倒序相加法，對于等比數(shù)列an，當q1，Sna1a1qa1q2a1qn1a1q(a1a1qa1qn1a1qn1)a1q(Sna1qn1)，至此，你能用a1和q表示出Sn嗎？答由Sna1q(Sna1qn1)，得(1q)Sna1a1qn.所以Sn.2在等比數(shù)列an中，若q1，則有q.由等比性質(zhì)，得q，至此你能用a1和q表示出Sn嗎？答由q，得 q，于是Sn.預習導引1等比數(shù)列前n項和公式：(1)公式：Sn(2)注意：應用

2、該公式時，一定不要忽略q1的情況2等比數(shù)列前n項和公式的變式若an是等比數(shù)列，且公比q1，則前n項和Sn(1qn)A(qn1)其中A.3錯位相減法推導等比數(shù)列前n項和的方法叫錯位相減法一般適用于求一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列對應項積的前n項和.要點一前n項和公式基本量的運算例1在等比數(shù)列an中，(1)若q2，S41，求S8；(2)若a1a310，a4a6，求a4和S5.解(1)方法一設首項為a1，q2，S41，1，即a1，S817.方法二S41，且q2，S8(1q4)S4(1q4)1(124)17.(2)設公比為q，由通項公式及已知條件得即a10,1q20，得，q3，即q，a18.a4a1q38

3、()31，S5.規(guī)律方法(1)在等比數(shù)列an的五個量a1，q，an，n，Sn中，已知其中的三個量，通過列方程組求解，就能求出另兩個量，這是方程思想與整體思想在數(shù)列中的具體應用(2)在解決與前n項和有關(guān)的問題時，首先要對公比q1或q1進行判斷，若兩種情況都有可能，則要分類討論跟蹤演練1若等比數(shù)列an滿足a2a420，a3a540，則公比q_；前n項和Sn_.答案22n12解析設等比數(shù)列an的公比為q，因為a2a420，a3a540，所以 解得 所以Sn2n12. 要點二錯位相減法求和例2求和：Snx2x23x3nxn (x0)解分x1和x1兩種情況當x1時，Sn123n.當x1時，Snx2x23

4、x3nxn，xSnx22x33x4(n1)xnnxn1，(1x)Snxx2x3xnnxn1nxn1.Sn.綜上可得Sn規(guī)律方法一般地，如果數(shù)列an是等差數(shù)列，bn是等比數(shù)列，求數(shù)列anbn的前n項和時，可采用錯位相減法跟蹤演練2求數(shù)列1,3a,5a2,7a3，(2n1)an1的前n項和解(1)當a0時，Sn1.(2)當a1時，數(shù)列變?yōu)?,3,5,7，(2n1)，則Snn2.(3)當a1且a0時，有Sn13a5a27a3(2n1)an1.aSna3a25a37a4(2n1)an.得SnaSn12a2a22a32an1(2n1)an，(1a)Sn1(2n1)an2(aa2a3a4an1)1(2n1

5、)an21(2n1)an，又1a0，Sn.綜上，Sn要點三等比數(shù)列前n項和的綜合應用例3借貸10 000元，月利率為1%，每月以復利計息，王老師從借貸后第二個月開始等額還貸，分6個月付清，試問每月應支付多少元(1.0161.061,1.0151.051)?解方法一設每個月還貸a元，第1個月后欠款為a0元，以后第n個月還貸a元后，還剩下欠款an元(1n6)，則a010 000，a11.01a0a，a21.01a1a1.012a0(11.01)a，a61.01a5a1.016a011.011.015a.由題意，可知a60，即1.016a011.011.015a0，a.因為1.0161.061，所以

6、a1 739(元)故每月應支付1 739元方法二一方面，借款10 000元，將此借款以相同的條件存儲6個月，則它的本利和為S1104(10.01)6104(1.01)6(元)另一方面，設每個月還貸a元，分6個月還清，到貸款還清時，其本利和為S2a(10.01)5a(10.01)4aa1.0161102(元)由S1S2，得a1 739(元)故每月應支付1 739元規(guī)律方法解決此類問題的關(guān)鍵是建立等比數(shù)列模型及弄清數(shù)列的項數(shù)，所謂復利計息，即把上期的本利和作為下一期本金，在計算時每一期本金的數(shù)額是不同的，復利的計算公式為SP(1r)n，其中P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本利和跟蹤演練3

7、一個熱氣球在第一分鐘上升了25 m的高度，在以后的每一分鐘里，它上升的高度都是它在前一分鐘里上升高度的80%.這個熱氣球上升的高度能超過125 m嗎？解用an表示熱氣球在第n分鐘上升的高度，由題意，得an1an，因此，數(shù)列an是首項a125，公比q的等比數(shù)列熱氣球在前n分鐘內(nèi)上升的總高度為：Sna1a2an1251()n125.故這個熱氣球上升的高度不可能超過125 m.例4設an是公比大于1的等比數(shù)列，Sn為數(shù)列an的前n項和已知S37，且a13,3a2，a34構(gòu)成等差數(shù)列(1)求數(shù)列an的通項；(2)令bnln a3n1，n1,2，求數(shù)列bn的前n項和Tn.解(1)由已知得解得a22.設數(shù)

8、列an的公比為q，由a22，可得a1，a32q，又S37，可知22q7，即2q25q20.解得q12，q2.由題意得q1，q2，a11.故數(shù)列an的通項為an2n1.(2)由于bnln a3n1，n1,2，由(1)得a3n123n，bnln 23n3nln 2.又bn1bn3ln 2，bn是等差數(shù)列，Tnb1b2bnln 2.故Tnln 2.規(guī)律方法利用等比數(shù)列前n項和公式時注意公比q的取值，同時對兩種數(shù)列的性質(zhì)，要熟悉它們的推導過程，利用好性質(zhì)，可降低題目的難度，解題時有時還需利用條件聯(lián)立方程組求解跟蹤演練4已知Sn是無窮等比數(shù)列an的前n項和，且公比q1，已知1是S2和S3的等差中項，6是

9、2S2和3S3的等比中項(1)求S2和S3；(2)求此數(shù)列an的前n項和；(3)求數(shù)列Sn的前n項和解(1)根據(jù)已知條件整理得解得3S22S36，即S22，S33.(2)q1，則可解得q，a14.Sn()n.(3)由(2)得S1S2Snnn1()n1等比數(shù)列1，x，x2，x3，的前n項和Sn為()A. B.C. D.答案C解析當x1時，Snn；當x1時，Sn.2設等比數(shù)列an的公比q2，前n項和為Sn，則等于()A2 B4 C. D.答案C解析S4，a2a1q，.3等比數(shù)列an的各項都是正數(shù)，若a181，a516，則它的前5項的和是()A179 B211 C243 D275答案B解析q4()4，q，S5211.4某廠去年產(chǎn)值為a，計劃在5年內(nèi)每年比上一年產(chǎn)值增長10%，從今年起5年內(nèi)，該廠的總產(chǎn)值為_答案11a(1.151)解析注意去年產(chǎn)值為a，今年起5年內(nèi)各年的產(chǎn)值分別為1.1a,1.12a,1.13a,1.14a,1.15a.1.1a1.12a1.13a1.14a1.15a11a(1.151)1在等比數(shù)列的通項公式和前n項和公式