判別式與韋達定理的應(yīng)用

1、【學(xué)習(xí)課題】 九上 補充內(nèi)容 綜合應(yīng)用根的判別式和韋達定理【學(xué)習(xí)目標】 1、掌握一元二次方程根與系數(shù)的符號關(guān)系2、利用韋達定理并結(jié)合判別式，求參數(shù)的值【學(xué)習(xí)重點】一元二次方程根與系數(shù)的符號關(guān)系【學(xué)習(xí)難點】利用韋達定理并結(jié)合判別式，求參數(shù)的值【學(xué)習(xí)過程】 學(xué)習(xí)準備：（1）一元二次方程ax2+bx+c=0 (a0) 的判別式=_0_=0 _0 _（2）一元二次方程ax2+bx+c=0 (a0)的兩根分別為x1和x2 x1+x2=_, x1x2=_ 解讀教材：由根的判別式及韋達定理可得如下結(jié)論：（1）若a、c異號 ax2+bx+c=0 (a0)必有兩個不相等的實數(shù)根；（2）有一個根為1 a+b+c=

2、0 ； （3） 有一個根為1 ab+c=0；（4）有一個根為0 c=0（5）有兩個正根 （6）有兩個負根 (7) 有一正根一負根 （8）兩根同號 （9）兩根互為相反數(shù)（10）兩根互為倒數(shù) （11）一根為正，一根為0 （12）一根為負，一根為0 （13）兩根均為0b=c=0 (14) 一根比a大，一根比a小例1 已知方程（k+1）x24kx+3k1=0 的兩個實數(shù)根均為正，求k的值。思路點撥：因為原方程兩個實數(shù)根均為正，有上述結(jié)論（5）可得不等式組，解這個不等式組即可求出k的值。解：由題意得： 即時練習(xí)： K為何值時，方程4x2(k1)x+k7=0 的兩個根具有下列關(guān)系： （1）兩根互為相反數(shù)

3、（2）兩根互為倒數(shù) （3）有一根為0挖掘教材：應(yīng)用韋達定理的前提條件是一元二次方程有實數(shù)根，即應(yīng)首先滿足0這一條件。例2、已知方程x2+kx+k=0有兩個實數(shù)根，且兩根的平方和為3，求k的值。解：由題意得： _,_當K1=_時，_;當K2=_時，_故K的值為_歸納小結(jié)：二次項系數(shù)a0和0是實系數(shù)一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的前提。因此，在做題時，應(yīng)優(yōu)先考慮這兩點。即二次項系數(shù)與優(yōu)先的原則。即時練習(xí)：若方程2x2-mx-4=0的兩個實數(shù)根x1,x2滿足+=2，求m的值。例2、已知關(guān)于x的方程x2-(2k-3)+k2+1=0的兩個實數(shù)根x1、x2滿足：,求k的值。解：原方程有兩個實數(shù)根，則0 即-(2

4、k-3)2-4(k2+1)0 解之得：k_ 又x1x2=k2+10,x1與x2同號；由：可得：x1+x2=3 即 2k-3=3 ,解之得:k1=_,k2=_ 由可得：K=_即時練習(xí)：已知方程x2-4x+6k=0兩個實數(shù)根的平方差為8，求k的值。反思拓展： 1、 韋達定理：充滿活力，它與代數(shù)、幾何中許多知識可有機結(jié)合，生成豐富多彩的數(shù)學(xué)問題，而解這類問題常用到對稱分析、構(gòu)造等數(shù)學(xué)思想方法。 2、應(yīng)用韋達定理的前提條件是這個方程是一元二次方程且有兩個實數(shù)根，即應(yīng)用韋達定理解題時，須首先滿足二次項系數(shù)a0和判別式0這兩個條件，轉(zhuǎn)化是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，但要注意轉(zhuǎn)化前后問題的等價性。3、應(yīng)用韋達定

5、理求根的代數(shù)式的值，一般是關(guān)于x1,x2的對稱式，這類問題可通過變形X1+x2和x1x2表示求解，而非對稱式的求值常用到以下技巧： （1）恰當組合 （2）根據(jù)根的定義降次 （3）構(gòu)造對稱式【達標檢測】1、（廣州）關(guān)于x的一元二次方程x2-x+a(1-a)=0有兩個不相等的正根，則a可取的值為_ (只要填寫一個可能的值即可)2、（2005年.淮安）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+4x+a=0有兩個實數(shù)根，且2x1-x2=7,則a=_3、（2005年.荊州）若、是方程x2+2x-2005=0的兩個實數(shù)根，則2+3+的值為_4、在等腰三角形ABC中，A、B、C的對邊分別為a、b、c，已知a=3,b和c是關(guān)于x的方程x2+mx+2-m=0的兩個實數(shù)根，求ABC的周長。5、（鹽城） 已知關(guān)于x的方程x2+2（2-m）x+3-6m=0 (1) 求證：無論m取什么實數(shù)，方程總有實數(shù)根。 （2）如果方程的兩實數(shù)根分別為x1、x2，滿足x1=3x2，求實數(shù)m的值。6、（2005年.南通）已知關(guān)于x的方程x2-kx+k2+n=0有兩個不相等的實數(shù)根x1、x2，且（2x1+x2）2-8 (2x1+x2)+15=0 求證：（1）n0 (