橢圓的第二定義、參數(shù)方程、直線與橢圓的位置關(guān)系知識精講

1、高二數(shù)學橢圓的第二定義、參數(shù)方程、直線與橢圓的位置關(guān)系知識精講一. 本周教學內(nèi)容： 橢圓的第二定義、參數(shù)方程、直線與橢圓的位置關(guān)系知識點 1. 第二定義：平面內(nèi)與一個定點的距離和它到一條定直線的距離之比是常數(shù)橢圓的準線，常數(shù)e是橢圓的離心率。 注意： e的幾何意義：橢圓上一點到焦點的距離與到相應(yīng)準線的距離的比。 2. 焦半徑及焦半徑公式： 橢圓上一個點到焦點的距離叫做橢圓上這個點的焦半徑。 3. 橢圓參數(shù)方程 問題：如圖以原點為圓心，分別以a、b（ab0）為半徑作兩個圓，點B是大圓半徑OA與小圓的交點，過點A作ANOx，垂足為N，過點B作BNAN，垂足為M，求當半徑OA繞O旋轉(zhuǎn)時點M的軌跡的參

2、數(shù)方程。 解：參數(shù)。 說明： 對上述方程（1）消參即 由以上消參過程可知將橢圓的普通方程進行三角變形即得參數(shù)方程。 4. 補充 5. 直線與橢圓位置關(guān)系： （1）相離 求橢圓上動點P（x，y）到直線距離的最大值和最小值，（法一，參數(shù)方程法；法二，數(shù)形結(jié)合，求平行線間距離，作ll且l與橢圓相切） 關(guān)于直線的對稱橢圓。 （2）相切 弦長公式： 例1. |MA|2|MF|取最小值時，求點M的坐標。 分析： 這里|MP|、|AP|分別表示點A到準線的距離和點M到準線的距離。 解： 例2. 時，點P橫坐標的取值范圍是_。（2000年全國高考題） 分析：可先求F1PF290時，P點的橫坐標。 解：法一 法

3、二 小結(jié)：本題考查橢圓的方程、焦半徑公式，三角函數(shù)，解不等式知識及推理、計算能力。 例3. 弦所在的直線方程。 分析：本例的實質(zhì)是求出直線的斜率，在所給已知條件下求直線的斜率方法較多，故本例解法較多，可作進一步的研究。 解：法一 法二 法三：設(shè)所求直線與橢圓的一個交點為A（x，y），由于中點為M（2，1）， 法四 例4. 的距離最小并求出距離的最小值（或最大值）？ 解：法一 法二 例5. （2）若四邊形ABCD內(nèi)接于橢圓E，點A的橫坐標為5，點C的縱坐標為4，求四邊形ABCD的最大面積。 分析：題（1）解題思路比較多。法一：可從橢圓方程中求出y2代入x2+y2，轉(zhuǎn)化為值，解題時可結(jié)合圖形思考。

4、得最大值為25，最小值為16。 題（2）可將四邊形ABCD的面積分為兩個三角形的面積求解，由于AC是定線段，故長度已定，則當點B、點D到AC所在直線距離最大時，兩個三角形的面積最大，此時 解： （2）由題意得A（5，0），C（0，4），則直線AC方程為：4x5y20 例6. 分線與x軸相交于點P（x0，0）。 （1992年全國高考題） 分析： 證明：法一 法二 法三 這種解題方法通常叫做“端點參數(shù)法”或叫做“設(shè)而不求”。 例7. 解法一：設(shè)橢圓的參數(shù)方程為 解法二： 小結(jié)：橢圓的參數(shù)方程是解決橢圓問題的一個工具，但不是所有與橢圓有關(guān)的問題必須用參數(shù)方程來解決?！灸M試題】 1. 已知橢圓的焦點

5、坐標是是橢圓上的任一點，求證：率。 2. 在橢圓上求一點P，使它到左焦點的距離是它到右焦點距離的兩倍。 3. 橢圓的長軸長是_。 4. 橢圓，離心率，焦點到橢圓上點的最短距離為，求橢圓的方程。 5. 已知橢圓的一個焦點是F（1，1），與它相對應(yīng)的準線是，離心率為，求橢圓的方程。 6. 已知點P在橢圓上，為橢圓的兩個焦點，求的取值范圍。 7. 在橢圓內(nèi)有一點A（2，1），過點A的直線l的斜率為1，且與橢圓交于B、C兩點，線段BC的中點恰好是A，試求橢圓方程。 8. 已知橢圓，在橢圓上求一點M，使它到兩焦點距離之積為16。 9. 如圖，已知曲線，點A在曲線上移動，點C（6，4），以AC為對角線作矩

6、形ABCD，使ABx軸，ADy軸，求矩形ABCD的面積最小時點A坐標。參考答案 1. 證明：的兩焦點，相應(yīng)的準線方程分別是。 橢圓上任一點到焦點的距離與它到相應(yīng)準線的距離的比等于這個橢圓的離心率， 。 化簡得。 點評：都是橢圓上的點到焦點的距離，習慣稱作焦半徑，稱作焦半徑公式，結(jié)合這兩個公式，顯然到焦點距離最遠（近）點為長軸端點。 2. 解：設(shè)P點的坐標為（x，y），F(xiàn)1、F2分別為橢圓的左、右焦點。 橢圓的準線方程為， 因此，P點的坐標為。 點評：解決橢圓上的點到兩焦點的距離（焦半徑）問題，常利用橢圓的第二定義或焦半徑公式。如果利用焦半徑公式，應(yīng)先利用第二定義證明焦半徑公式。 3. 解析：橢圓的方程可寫成 ， 一個焦點是（1，1），相對應(yīng)的準線方程是， 由、得。 4. 解：橢圓的長軸的一個端點到焦點的距離最短， 又， 橢圓的方程為 5. 解：設(shè)P（x，y）為橢圓上任意一點， 橢圓的一個焦點是F（1，1）， 與它相對應(yīng)的準線是，離心率為， ， 即為所求。 6. 解：設(shè)P，橢圓的準線方程為，不妨設(shè)F1、F2分別為下焦點、上焦點 則 ， 當時， 當 因此，