等差數(shù)列的前n項(xiàng)和性質(zhì)及應(yīng)用

1、1,等差數(shù)列的前n項(xiàng)和 的性質(zhì)及應(yīng)用,2,若a8=5，你能求出S15嗎？,結(jié)論：等差數(shù)列an的前2n-1項(xiàng)和公式：,性質(zhì)6:若數(shù)列an與bn都是等差數(shù)列,且前n項(xiàng)的和分別為Sn和Tn,則,學(xué)案76 達(dá)標(biāo)7,3,3： 在a、b之間插入10個(gè)數(shù)，使它們同這兩個(gè)數(shù)成等 差數(shù)列，求這10個(gè)數(shù)的和。,4,4： 已知等差數(shù)列an中a2+a5+a12+a15=36. 求前16項(xiàng)的和?,解: 由等差數(shù)列的性質(zhì)可得: a1+a16=a2+a15=a5+a12=36/2=18 Sn=（16/2 ） 18=144 答:前16項(xiàng)的和為144。,分析：可以由等差數(shù)列性質(zhì)，直接代入前n 項(xiàng)和公式,例1 已知數(shù)列an中Sn

2、=2n2+3n， 求證：an是等差數(shù)列.,變式訓(xùn)練2若數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn32n，求an.,題型(二)已知Sn，求通項(xiàng)公式an：,課本P45 ex2,7,等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式:,形式1:,形式2:,復(fù)習(xí)回顧,8,1.將等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式 看作是一個(gè)關(guān)于n的函數(shù)，這個(gè)函數(shù) 有什么特點(diǎn)？,當(dāng)d0時(shí),Sn是常數(shù)項(xiàng)為零的二次函數(shù),則 Sn=An2+Bn,令,9,等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值 (1)若a10，d0，則數(shù)列的前面若干項(xiàng)為_項(xiàng)(或0)，所以將這些項(xiàng)相加即得Sn的最_值； (2)若a10，d0，則數(shù)列的前面若干項(xiàng)為_項(xiàng)(或0)，所以將這些項(xiàng)相加即得Sn的最_值 特別地，若a10，d0，則_是S

3、n的最_值；若a10，d0，則_是Sn的最_值,負(fù)數(shù),小,正數(shù),大,S1,小,S1,大,題型(三)等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn的最值問題：,10,11,等差數(shù)列的前n項(xiàng)的最值問題,例1.已知等差數(shù)列an中,a1=13且S3=S11,求n取何值時(shí),Sn取最大值.,解法1,由S3=S11得, d=2,當(dāng)n=7時(shí),Sn取最大值49.,12,等差數(shù)列的前n項(xiàng)的最值問題,例1.已知等差數(shù)列an中,a1=13且S3=S11,求n取何值時(shí),Sn取最大值.,解法2,由S3=S11得,d=20,當(dāng)n=7時(shí),Sn取最大值49.,則Sn的圖象如圖所示,又S3=S11,所以圖象的對稱軸為,13,等差數(shù)列的前n項(xiàng)的最值問題,例

4、1.已知等差數(shù)列an中,a1=13且S3=S11,求n取何值時(shí),Sn取最大值.,解法3,由S3=S11得,d=2,當(dāng)n=7時(shí),Sn取最大值49., an=13+(n-1) (-2)=2n+15,由,得,14,a7+a8=0,等差數(shù)列的前n項(xiàng)的最值問題,例1.已知等差數(shù)列an中,a1=13且S3=S11,求n取何值時(shí),Sn取最大值.,解法4,由S3=S11得,當(dāng)n=7時(shí),Sn取最大值49.,a4+a5+a6+a11=0,而 a4+a11=a5+a10=a6+a9=a7+a8,又d=20,a70,a80,15,求等差數(shù)列前n項(xiàng)的最大(小)的方法,方法1:由 利用二次函數(shù)的對稱軸求得最值及取得最值時(shí)

5、的n的值.,方法2:利用an的符號當(dāng)a10,d0時(shí),數(shù)列前面有若干項(xiàng)為負(fù),此時(shí)所有負(fù)項(xiàng)的和為Sn的最小值,其n的值由an 0且an+1 0求得.,16,練習(xí):已知數(shù)列an的通項(xiàng)為an=26-2n,要使此數(shù)列的前n項(xiàng)和最大,則n的值為( ) A.12 B.13 C.12或13 D.14,C,17,例6：已知數(shù)列an是等差數(shù)列，且a1= 21，公差d=2，求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn的最大值。,18,【點(diǎn)評】綜合上面的解法我們可以得到求數(shù)列前n項(xiàng)和的最值問題的解法： (1)二次函數(shù)法：運(yùn)用配方法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，借助函數(shù)的單調(diào)性及數(shù)形結(jié)合，從而使問題得解； (2)通項(xiàng)公式法： 當(dāng)a10,d0時(shí),數(shù)列前面

6、有若干項(xiàng)為負(fù),此時(shí)所有負(fù)項(xiàng)的和為Sn的最小值,其n的值由an 0且an+1 0求得.,求Sn的最值問題的方法：,19,變式訓(xùn)練3數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn33nn2. (1)求證：an是等差數(shù)列； (2)問an的前多少項(xiàng)和最大,解：(1)證明：當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1342n， 又當(dāng)n1時(shí)，a1S1323421滿足an342n. 故an的通項(xiàng)為an342n.,所以an1an342(n1)(342n)2. 故數(shù)列an是以32為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列,20,變式訓(xùn)練3數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn33nn2. (1)求證：an是等差數(shù)列； (2)問an的前多少項(xiàng)和最大,(2)令an0，得342n0，所以n1

7、7， 故數(shù)列an的前17項(xiàng)大于或等于零 又a170，故數(shù)列an的前16項(xiàng)或前17項(xiàng)的和最大,學(xué)案P74 ex10,21,練習(xí):已知數(shù)列an的通項(xiàng)為an=26-2n,要使此數(shù)列的前n項(xiàng)和最大,則n的值為( ) A.12 B.13 C.12或13 D.14,C,22,1、數(shù)列前n項(xiàng)和,五、小結(jié),2、等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式,題型(一)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的有關(guān)計(jì)算,3、三種題型,題型(二)已知Sn，求通項(xiàng)公式an,題型(三)等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn的最值問題,(A,B為常數(shù)，nN*),注意 的整體代換,知三求二,23,4求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值方法 (1)二次函數(shù)法：用求二次函數(shù)的最值方法來求其前n項(xiàng)和的最值

8、，但要注意nN*，結(jié)合二次函數(shù)圖象的對稱性來確定n的值，更加直觀,24,裂項(xiàng)求和法,3.等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)：,性質(zhì)1:Sn,S2nSn,S3nS2n, 也是等差數(shù)列,公差為,在等差數(shù)列an中,其前n項(xiàng)的和為Sn,則有,性質(zhì)2:若Sm=p,Sp=m(mp),則Sm+p=,性質(zhì)3:若Sm=Sp (mp),則 Sp+m=,性質(zhì)4:(1)若項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2n,則 S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1) (an,an+1為中間兩項(xiàng)), 此時(shí)有:S偶S奇= ,n2d,0,nd, (m+p),性質(zhì)4:(1)若項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)2n1,則 S2n-1=(2n 1)an (an為中間項(xiàng)), 此時(shí)有:S偶S奇=

9、 ,兩等差數(shù)列前n項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系,性質(zhì)6:若數(shù)列an與bn都是等差數(shù)列,且前n項(xiàng)的和分別為Sn和Tn,則,性質(zhì)5: 為等差數(shù)列.,an,4.等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)的應(yīng)用：,例1.設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,若S3=9,S6=36,則a7+a8+a9=( ) A.63 B.45 C.36 D.27,例2.在等差數(shù)列an中,已知公差d=1/2,且a1+a3+a5+a99=60,a2+a4+a6+a100=( ) A.85 B.145 C.110 D.90,B,A,例3.一個(gè)等差數(shù)列的前10項(xiàng)的和為100,前100項(xiàng)的和為10,則它的前110項(xiàng)的和為 .,110,4.等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)的應(yīng)用：,4.等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)的應(yīng)用：,例5.一個(gè)等差數(shù)列的前12項(xiàng)的和為354,其中項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)的項(xiàng)的和與項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)的項(xiàng)的和之比為32:27,則公差為 .,例6.(09寧夏)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)的和為Sn,已知am-1+am+1-am2=0,S2m-1=38,則m= .,例7.設(shè)數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=2n-7,則|a1|+|a2|+|a3|+|a15|= .,5,10,153,1.