一階系統(tǒng)與二階系統(tǒng)

1、3.1 典型輸入作用和時(shí)域性能指標(biāo) 3.1.0 3.1.1 典型輸入作用及其拉氏變換 3.1.2 瞬態(tài)過(guò)程和穩(wěn)態(tài)過(guò)程 3.1.3 瞬態(tài)過(guò)程的性能指標(biāo) 3.1.4 穩(wěn)態(tài)過(guò)程的性能指標(biāo),時(shí)域分析是指控制系統(tǒng)在一定的輸入信號(hào)作用下，根據(jù)輸出量的時(shí)域表達(dá)式，分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性、瞬態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能。 時(shí)域分析是一種在時(shí)間域中對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析的方法，具有直觀和準(zhǔn)確的優(yōu)點(diǎn)。由于系統(tǒng)的輸出量的時(shí)域表達(dá)式是時(shí)間的函數(shù)，所以系統(tǒng)的輸出量的時(shí)域表達(dá)式又稱為系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)。 系統(tǒng)輸出量的時(shí)域表示可由微分方程得到，也可由傳遞函數(shù)得到。在初值為零時(shí)，可利用傳遞函數(shù)進(jìn)行研究，用傳遞函數(shù)間接的評(píng)價(jià)系統(tǒng)的性能指標(biāo)。 控制系統(tǒng)的性能

2、指標(biāo)，可以通過(guò)在輸入信號(hào)作用下系統(tǒng)的瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)過(guò)程來(lái)評(píng)價(jià)。系統(tǒng)的瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)過(guò)程不僅取決于系統(tǒng)本身的特性，還與外加輸入信號(hào)的形式有關(guān)。,3.1.0 時(shí)域分析,這表明，在外作用加入系統(tǒng)之前系統(tǒng)是相對(duì)靜止的，被控制量及其各階導(dǎo)數(shù)相對(duì)于平衡工作點(diǎn)的增量為零。,典型初始狀態(tài): 規(guī)定控制系統(tǒng)的初始狀態(tài)均為零狀態(tài)，即在 時(shí),在分析和設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)時(shí)，需要確定一個(gè)對(duì)各種控制系統(tǒng)的性能進(jìn)行比較的基礎(chǔ)，這個(gè)基礎(chǔ)就是預(yù)先規(guī)定一些具有特殊形式的測(cè)試信號(hào)作為系統(tǒng)的輸入信號(hào)，然后比較各種系統(tǒng)對(duì)這些輸入信號(hào)的響應(yīng)。,選取測(cè)試信號(hào)時(shí)必須考慮的原則： 選取的輸入信號(hào)的典型形式應(yīng)反映系統(tǒng)工作時(shí)的大部分實(shí)際情況。 選取外加輸入信號(hào)的

3、形式應(yīng)盡可能簡(jiǎn)單，易于在實(shí)驗(yàn)室獲得，以便于數(shù)學(xué)分析和實(shí)驗(yàn)研究。 應(yīng)選取那些能使系統(tǒng)工作在最不利情況下的輸入信號(hào)作為典型的測(cè)試信號(hào)。,在控制工程中采用下列五種信號(hào)作為典型輸入信號(hào),3.1.1 典型輸入作用及其拉氏變換,脈沖函數(shù)：,提示：上述幾種典型輸入信號(hào)的關(guān)系如下：,分析系統(tǒng)特性究竟采用何種典型輸入信號(hào)，取決于實(shí)際系統(tǒng)在正常工作情況下最常見的輸入信號(hào)形式。 當(dāng)系統(tǒng)的輸入具有突變性質(zhì)時(shí)，可選擇階躍函數(shù)為典型輸入信號(hào)；當(dāng)系統(tǒng)的輸入是隨時(shí)間增長(zhǎng)變化時(shí)，可選擇斜坡函數(shù)為典型輸入信號(hào)。 討論系統(tǒng)的時(shí)域性能指標(biāo)時(shí)，通常選擇單位階躍信號(hào)作為典型輸入信號(hào)。,典型響應(yīng)：, 單位脈沖函數(shù)響應(yīng)：, 單位階躍函數(shù)響應(yīng)

4、：, 單位斜坡函數(shù)響應(yīng)：, 單位拋物線函數(shù)響應(yīng)：,提示：上述幾種典型響應(yīng)有如下關(guān)系：,單位脈沖函數(shù)響應(yīng),單位階躍函數(shù)響應(yīng),單位斜坡函數(shù)響應(yīng),單位拋物線函數(shù)響應(yīng),在典型輸入信號(hào)的作用下，任何一個(gè)控制系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)都由瞬態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)兩部分組成 。,1瞬態(tài)響應(yīng)：又稱為瞬態(tài)過(guò)程或過(guò)渡過(guò)程。是指系統(tǒng)在典型輸入信號(hào)的作用下，系統(tǒng)的輸出量從初始狀態(tài)到最終狀態(tài)的響應(yīng)過(guò)程。 由于實(shí)際的控制系統(tǒng)存在慣性、阻尼及其它一些因素，系統(tǒng)的輸出量不可能完全復(fù)現(xiàn)輸入量的變化，瞬態(tài)過(guò)程曲線形態(tài)可表現(xiàn)為衰減振蕩、等幅振蕩和發(fā)散等形式。 瞬態(tài)過(guò)程包含了輸出響應(yīng)的各種運(yùn)動(dòng)特性，這些特性稱為系統(tǒng)的瞬態(tài)性能。 一個(gè)可以實(shí)際運(yùn)行的控制

5、系統(tǒng)，瞬態(tài)過(guò)程必須是衰減的。即系統(tǒng)必須是穩(wěn)定的。,3.1.2 瞬態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng),2穩(wěn)態(tài)響應(yīng)：又稱為穩(wěn)態(tài)過(guò)程。是指系統(tǒng)在典型輸入信號(hào)的作用下，當(dāng)時(shí)間趨近于無(wú)窮大時(shí)，系統(tǒng)的輸出響應(yīng)狀態(tài)。 穩(wěn)態(tài)過(guò)程反映了系統(tǒng)輸出量最終復(fù)現(xiàn)輸入量的程度，包含了輸出響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)性能。 從理論上說(shuō)，只有當(dāng)時(shí)間趨于無(wú)窮大時(shí)，才進(jìn)入穩(wěn)態(tài)過(guò)程，但這在工程應(yīng)用中是無(wú)法實(shí)現(xiàn)的。因此在工程上只討論典型輸入信號(hào)加入后一段時(shí)間里的瞬態(tài)過(guò)程，在這段時(shí)間里，反映了系統(tǒng)主要的瞬態(tài)性能指標(biāo)。而在這段時(shí)間之后，認(rèn)為進(jìn)入了穩(wěn)態(tài)過(guò)程。,控制系統(tǒng)在典型輸入信號(hào)的作用下的性能指標(biāo)，由瞬態(tài)性能指標(biāo)和穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)兩部分組成。 由于穩(wěn)定是控制系統(tǒng)能夠正常運(yùn)行的

6、首要條件，因此只有當(dāng)瞬態(tài)過(guò)程收斂（衰減）時(shí)，研究系統(tǒng)的瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能才有意義。 在工程應(yīng)用上，通常使用單位階躍信號(hào)作為測(cè)試信號(hào)，來(lái)計(jì)算系統(tǒng)時(shí)間域的瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能。,3.1.3 瞬態(tài)過(guò)程的性能指標(biāo),描述穩(wěn)定的系統(tǒng)在單位階躍信號(hào)作用下，瞬態(tài)過(guò)程隨時(shí)間t的變化狀況的性能指標(biāo)，稱為瞬態(tài)性能指標(biāo)，或稱為動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)。 為了便于分析和比較，假定系統(tǒng)在單位階躍輸入信號(hào)作用前處于靜止?fàn)顟B(tài)，而且輸出量及其各階導(dǎo)數(shù)均等于零。,穩(wěn)定控制系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線有衰減振蕩和單調(diào)上升兩種類型。,（一）衰減振蕩：,具有衰減振蕩的瞬態(tài)過(guò)程如圖所示：, 延遲時(shí)間 ：,輸出響應(yīng)第一次達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的50%所需的時(shí)間。, 上升時(shí)間 ：

7、,輸出響應(yīng)第一次達(dá)到穩(wěn)態(tài)值y()所需的時(shí)間。(或指由穩(wěn)態(tài)值的10%上升到穩(wěn)態(tài)值的90%所需的時(shí)間)。,3.1.3 瞬態(tài)過(guò)程的性能指標(biāo)（衰減振蕩）, 最大超調(diào)量(簡(jiǎn)稱超調(diào)量)：,輸出響應(yīng)超過(guò)穩(wěn)態(tài)值達(dá)到第一個(gè)峰值ymax所需要的時(shí)間。, 峰值時(shí)間 ：,瞬態(tài)過(guò)程中輸出響應(yīng)的最大值超過(guò)穩(wěn)態(tài)值的百分?jǐn)?shù)。, 調(diào)節(jié)時(shí)間或過(guò)渡過(guò)程時(shí)間 ：,當(dāng) 和 之間的誤差達(dá)到規(guī)定的范圍之內(nèi)一般取 的5%或2%，稱允許誤差范圍，用D表示且以后不再超出此范圍的最小時(shí)間。即當(dāng) ，有：, 振蕩次數(shù)N：,在上述幾種性能指標(biāo)中， 表示瞬態(tài)過(guò)程進(jìn)行的快慢，是快速性指標(biāo)；而 反映瞬態(tài)過(guò)程的振蕩程度，是振蕩性指標(biāo)。其中 和 是兩種最常用的性

8、能指標(biāo)。,在調(diào)節(jié)時(shí)間內(nèi)，y(t)偏離 的振蕩次數(shù)?；蛟?tts時(shí)間內(nèi)，單位階躍響應(yīng)穿越其穩(wěn)態(tài)值次數(shù)的一半，定義為振蕩次數(shù)。,（二）單調(diào)變化的響應(yīng),單調(diào)變化響應(yīng)曲線如圖所示：,這種響應(yīng)沒(méi)有超調(diào)量，只用調(diào)整時(shí)間ts表示瞬態(tài)過(guò)程的快速性，調(diào)整時(shí)間的定義同上所述。有時(shí)也采用上升時(shí)間tr這一指標(biāo)。上升時(shí)間的定義應(yīng)修改為由穩(wěn)態(tài)值的10%上升到90%所需的時(shí)間。,3.1.3 瞬態(tài)過(guò)程的性能指標(biāo)（單調(diào)變化）,當(dāng)響應(yīng)時(shí)間tts時(shí)，系統(tǒng)的輸出響應(yīng)進(jìn)入穩(wěn)態(tài)過(guò)程。穩(wěn)態(tài)過(guò)程的性能指標(biāo)主要是穩(wěn)態(tài)誤差。當(dāng)時(shí)間趨于無(wú)窮大時(shí)，若系統(tǒng)的輸出量不等于輸入量，則系統(tǒng)存在穩(wěn)態(tài)誤差，穩(wěn)態(tài)誤差是控制系統(tǒng)精度或抗干擾能力的一種度量。,穩(wěn)態(tài)過(guò)

9、程的性能指標(biāo),式中：e(t)=給定輸入值-實(shí)際輸出值（單位反饋）；E(s)是系統(tǒng)的誤差。,3.1.4 穩(wěn)態(tài)過(guò)程的性能指標(biāo),系統(tǒng)應(yīng)該是穩(wěn)定的； 系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)，應(yīng)滿足給定的穩(wěn)態(tài)誤差的要求； 系統(tǒng)在瞬態(tài)過(guò)程中應(yīng)有好的快速性。 簡(jiǎn)稱為：穩(wěn)、準(zhǔn)、快,3.1.5 對(duì)一個(gè)控制系統(tǒng)的要求,3.2 一階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng) 3.2.1 一階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 3.2.2 一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng) 3.2.3 一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng) 3.2.4 一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng) 3.2.5 一階系統(tǒng)的單位加速度響應(yīng) 3.2.6 一階系統(tǒng)的瞬態(tài)性能指標(biāo),3.2.1 一階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,當(dāng)一階系統(tǒng)的輸入信號(hào)為單位脈沖信號(hào)r(t)=d(t

10、)，其拉氏變換為R(s)=1，則系統(tǒng)的輸出為:,上式的拉氏反變換稱為一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng) ：,一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)曲線 ：一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)曲線為單調(diào)下降的指數(shù)曲線，時(shí)間常數(shù)T越大，響應(yīng)曲線下降越慢，表明系統(tǒng)受到脈沖輸入信號(hào)后，恢復(fù)到初始狀態(tài)的時(shí)間越長(zhǎng)。單位脈沖響應(yīng)的終值均為零 。,3.2.2 一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng),顯然一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)是一條由零開始按指數(shù)規(guī)律單調(diào)上升并最終趨于1的曲線。,當(dāng) 時(shí),一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線 ：,3.2.3 一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng),單位階躍響應(yīng)曲線是單調(diào)上升的指數(shù)曲線，為非周期響應(yīng)； 時(shí)間常數(shù)T反映了系統(tǒng)的慣性，時(shí)間常數(shù)T越大，表示系統(tǒng)的慣性越大

11、，響應(yīng)速度越慢，系統(tǒng)跟蹤單位階躍信號(hào)越慢，單位階躍響應(yīng)曲線上升越平緩。反之，慣性越小，響應(yīng)速度越快，系統(tǒng)跟蹤單位階躍信號(hào)越快，單位階躍響應(yīng)曲線上升越陡峭。由于一階系統(tǒng)具有這個(gè)特點(diǎn)，工程上常稱一階系統(tǒng)為慣性環(huán)節(jié)或非周期環(huán)節(jié)。,3.2.3 一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)-特點(diǎn),單位階躍響應(yīng)曲線的斜率為：,顯然在t=0處的斜率為1/T，并且隨時(shí)間的增加斜率變小。下表表示了單位階躍響應(yīng)曲線上各點(diǎn)的值、斜率與時(shí)間常數(shù)T之間的關(guān)系。,根據(jù)這一特點(diǎn)，可用實(shí)驗(yàn)的方法測(cè)定一階系統(tǒng)的時(shí)間常數(shù)，或測(cè)定系統(tǒng)是否屬于一階系統(tǒng)。,一階系統(tǒng)跟蹤單位階躍信號(hào)時(shí)，輸出量和輸入量之間的位置誤差隨時(shí)間減小，最后趨于零。,輸出量和輸入量之間

12、的位置誤差：,穩(wěn)態(tài)位置誤差 ：,一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)曲線 ：曲線1表示輸入單位斜坡信號(hào)r(t)=t，曲線2和曲線3分別表示系統(tǒng)時(shí)間常數(shù)等于T和2T時(shí)的單位斜坡響應(yīng)曲線。,3.2.4 一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng),一階系統(tǒng)在跟蹤單位斜坡信號(hào)時(shí)，總是存在位置誤差，并且位置誤差的大小隨時(shí)間而增大，最后趨于常值T。位置誤差的大小與系統(tǒng)的時(shí)間常數(shù)T也有關(guān)，T越大，位置誤差越大，跟蹤精度越低。反之，位置誤差越小，跟蹤精度越高。,3.2.4 一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)特點(diǎn),一階系統(tǒng)的單位加速度響應(yīng)曲線 ：曲線1表示輸入單位加速度信號(hào)r(t)=t2/2 ，曲線2和曲線3分別表示系統(tǒng)時(shí)間常數(shù)等于T和2T時(shí)的單位加速度響

13、應(yīng)曲線。,3.2.5 一階系統(tǒng)的單位加速度響應(yīng),一階系統(tǒng)在跟蹤單位加速度信號(hào)時(shí)，總是存在位置誤差，而且位置誤差的大小隨時(shí)間而增大，最后趨于無(wú)窮大。因此，一階系統(tǒng)不能實(shí)現(xiàn)對(duì)單位加速度信號(hào)的跟蹤。,3.2.5 一階系統(tǒng)的單位加速度響應(yīng)特點(diǎn),單位脈沖信號(hào)與單位階躍信號(hào)的一階導(dǎo)數(shù)、單位斜坡信號(hào)的二階導(dǎo)數(shù)和單位加速度信號(hào)的三階導(dǎo)數(shù)相等。 單位脈沖響應(yīng)與單位階躍響應(yīng)的一階導(dǎo)數(shù)、單位斜坡響應(yīng)的二階導(dǎo)數(shù)和單位加速度響應(yīng)的三階導(dǎo)數(shù)也相等。,3.2.5 一階系統(tǒng)的單位加速度響應(yīng)線性系統(tǒng)的特點(diǎn),結(jié)論一：一階系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)導(dǎo)數(shù)的響應(yīng)，等于一階系統(tǒng)對(duì)該輸入信號(hào)響應(yīng)的導(dǎo)數(shù)。 結(jié)論二：這個(gè)性質(zhì)是線性定常系統(tǒng)的一個(gè)重要特性，

14、適用于任何階的線性定常系統(tǒng)，而線性時(shí)變系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)則不具有這個(gè)特性。,3.2.6 一階系統(tǒng)的瞬態(tài)性能指標(biāo),峰值時(shí)間tp 和超調(diào)量d%： 一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線為單調(diào)上升的指數(shù)曲線，沒(méi)有振蕩，所以峰值時(shí)間和超調(diào)量不存在。,例1：已知一階系統(tǒng)的方塊圖如圖所示。試求該系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的調(diào)整時(shí)間ts；若要求ts0.1秒，求此時(shí)的反饋系數(shù)。,解：由系統(tǒng)方塊圖求出閉環(huán)傳遞函數(shù)：,由閉環(huán)傳遞函數(shù)知時(shí)間常數(shù)T=0.1秒,所以：ts=3T=0.3秒（D=5）,若要求ts0.1秒，求此時(shí)的反饋系數(shù)。 可設(shè)反饋系數(shù)為k,當(dāng) ，則 ，即 時(shí)ts0.1秒,由此可知：對(duì)一階系統(tǒng)而言反饋加深可使調(diào)節(jié)時(shí)間減小。,反饋

15、加深對(duì)系統(tǒng)的響應(yīng)還有什么影響？,由此可知：反饋加深還將使輸出幅值減小。,3.3 典型二階系統(tǒng)的瞬態(tài)性能 3.3.1 典型二階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 3.3.2 典型二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng) 3.3.3 典型二階系統(tǒng)的瞬態(tài)性能指標(biāo) 3.3.4 二階系統(tǒng)瞬態(tài)性能的改善,開環(huán)傳遞函數(shù)為:,閉環(huán)傳遞函數(shù)為:,由二階微分方程描述的系統(tǒng)稱為二階系統(tǒng)。它在控制工程中的應(yīng)用極為廣泛。許多高階系統(tǒng)在一定的條件下，也可簡(jiǎn)化為二階系統(tǒng)來(lái)研究。,典型二階系統(tǒng)的微分方程 ：,3.3.1 典型二階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,稱為典型二階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)， 稱為阻尼系數(shù)， 稱為無(wú)阻尼振蕩圓頻率或自然頻率。這兩個(gè)參數(shù)稱為二階系統(tǒng)特征參數(shù)。T稱為二階

16、系統(tǒng)的時(shí)間常數(shù)。,注意：當(dāng) 不同時(shí)，特征根有不同的形式，系統(tǒng)的階躍響應(yīng)形式也不同。它的階躍響應(yīng)有振蕩和非振蕩兩種情況。, 當(dāng) 時(shí)，特征方程有一對(duì)共軛的虛根，稱為零(無(wú))阻尼系統(tǒng)，系統(tǒng)的階躍響應(yīng)為持續(xù)的等幅振蕩。, 當(dāng) 時(shí)，特征方程有一對(duì)實(shí)部為負(fù)的共軛復(fù)根，稱為欠阻尼系統(tǒng)，系統(tǒng)的階躍響應(yīng)為衰減的振蕩過(guò)程。, 當(dāng) 時(shí)，特征方程有一對(duì)相等的實(shí)根，稱為臨界阻尼系統(tǒng)，系統(tǒng)的階躍響應(yīng)為非振蕩過(guò)程。, 當(dāng) 時(shí)，特征方程有一對(duì)不等的實(shí)根，稱為過(guò)阻尼系統(tǒng)，系統(tǒng)的階躍響應(yīng)為非振蕩過(guò)程。,當(dāng)輸入為單位階躍函數(shù)時(shí)， ，有：,當(dāng) 時(shí)，極點(diǎn)為：,此時(shí)輸出將以頻率 做等幅振蕩，所以, 稱為無(wú)阻尼振蕩圓頻率。,3.3.2 典

17、型二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng),輸入階躍信號(hào)和階躍響應(yīng)之間的誤差 ：,誤差曲線呈現(xiàn)等幅振蕩形式。即系統(tǒng)在無(wú)阻尼情況下，不能跟蹤輸入的單位階躍信號(hào)。,在欠阻尼(0z1)情況下，二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線是振蕩且隨時(shí)間推移而衰減的，其振蕩頻率為阻尼振蕩頻率 ，其幅值隨z和wn而發(fā)生變化。 二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的振蕩頻率等于系統(tǒng)特征根虛部的大小，而幅值與系統(tǒng)特征根負(fù)實(shí)部的大小有關(guān)。 當(dāng)z減小時(shí)，系統(tǒng)特征根接近虛軸，遠(yuǎn)離實(shí)軸，即系統(tǒng)特征根的負(fù)實(shí)部和虛部都增加了，這表明系統(tǒng)階躍響應(yīng)振蕩的幅值和頻率都增大了，階躍響應(yīng)振蕩得更激烈。因此，系統(tǒng)特征根的負(fù)實(shí)部決定了系統(tǒng)階躍響應(yīng)衰減的快慢，而其虛部決定了階躍響應(yīng)的振蕩

18、頻率。,輸入階躍信號(hào)和階躍響應(yīng)之間的誤差 ：,誤差也呈阻尼正弦振蕩。當(dāng)穩(wěn)態(tài)時(shí)，即當(dāng) 時(shí)，有 ，表示欠阻尼二階系統(tǒng)能夠完全跟蹤輸入單位階躍信號(hào)，沒(méi)有穩(wěn)態(tài)誤差。,階躍響應(yīng)函數(shù)為：,當(dāng) 時(shí)，極點(diǎn)為：,臨界阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為按指數(shù)規(guī)律單調(diào)上升的過(guò)程。,輸入階躍信號(hào)和階躍響應(yīng)之間的誤差 ：,隨著時(shí)間的增加，誤差越來(lái)越小，到穩(wěn)態(tài)時(shí)誤差變?yōu)榱?。通常，在臨界阻尼情況下，二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)稱為臨界阻尼響應(yīng)。,當(dāng) 時(shí)，極點(diǎn)為：,即特征方程為：,特征方程還可為：,因此過(guò)阻尼二階系統(tǒng)可以看作兩個(gè)時(shí)間常數(shù)不同的慣性環(huán)節(jié)的串聯(lián)，其單位階躍響應(yīng)為:,式中,由于-p1和-p2均為負(fù)實(shí)數(shù)，所以過(guò)阻尼二階系統(tǒng)的單位

19、階躍響應(yīng)由兩個(gè)衰減的指數(shù)項(xiàng)組成。因而過(guò)阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線是非振蕩的單調(diào)上升曲線。,當(dāng)阻尼系數(shù) z遠(yuǎn)大于1，即 p1-p2時(shí)，在兩個(gè)衰減的指數(shù)項(xiàng)中，后者衰減的速度遠(yuǎn)遠(yuǎn)快于前者，即此時(shí)二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)主要由前者來(lái)決定，或者說(shuō)主要由極點(diǎn)p1決定，因而過(guò)阻尼二階系統(tǒng)可以由具有極點(diǎn)-p1的一階系統(tǒng)來(lái)近似表示。,上述四種情況分別稱為二階無(wú)阻尼、欠阻尼、臨界阻尼和過(guò)阻尼系統(tǒng)。其阻尼系數(shù)、特征根、極點(diǎn)分布和單位階躍響應(yīng)形式如下表所示：,可以看出：隨著 的增加，y(t)將從無(wú)衰減的周期運(yùn)動(dòng)變?yōu)橛兴p的正弦運(yùn)動(dòng)，當(dāng) 時(shí)y(t)呈現(xiàn)單調(diào)上升運(yùn)動(dòng)(無(wú)振蕩)?？梢?反映實(shí)際系統(tǒng)的阻尼情況，故稱為阻尼系數(shù)。

20、,（一）衰減振蕩瞬態(tài)過(guò)程 ：, 上升時(shí)間 ：根據(jù)定義，當(dāng) 時(shí)， 。,3.3.3 典型二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)（衰減振蕩瞬態(tài)過(guò)程）,取 k=0，得：,稱為阻尼角，這是由于 。, 峰值時(shí)間 ：當(dāng) 時(shí)，,整理得：,由于 出現(xiàn)在第一次峰值時(shí)間，取n=1，有：,其中,0,0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9,1,0,5,10,15,20,25, 最大超調(diào)量 ：,將峰值時(shí)間 代入,故：,最大超調(diào)量?jī)H與阻尼系數(shù)有關(guān)。, 調(diào)節(jié)時(shí)間 ：,可見，寫出調(diào)節(jié)時(shí)間的表達(dá)式是困難的。由右圖可知響應(yīng)曲線總在一對(duì)包絡(luò)線之內(nèi)。包絡(luò)線為：,根據(jù)調(diào)節(jié)時(shí)間的定義，當(dāng)tts時(shí) |y(t) - y()| y(

21、) %。,當(dāng)t=ts時(shí)，有：,由于實(shí)際響應(yīng)曲線的收斂速度比包絡(luò)線的收斂速度要快，因此可用包絡(luò)線代替實(shí)際響應(yīng)來(lái)估算調(diào)節(jié)時(shí)間。即認(rèn)為響應(yīng)曲線的包絡(luò)線進(jìn)入誤差帶時(shí)，調(diào)整過(guò)程結(jié)束。,當(dāng) 較小時(shí)，近似?。?，且,所以,說(shuō)明： 調(diào)整時(shí)間與系統(tǒng)特征根的實(shí)部數(shù)值成反比。系統(tǒng)特征根距虛軸的距離越遠(yuǎn)，系統(tǒng)的調(diào)整時(shí)間越短。 由于阻尼系數(shù)z的選取主要是根據(jù)對(duì)系統(tǒng)超調(diào)量的要求來(lái)確定的，所以調(diào)整時(shí)間主要由無(wú)阻尼振蕩頻率wn決定。 若能保持阻尼系數(shù)不變而增加無(wú)阻尼振蕩頻率wn值，則可以在不改變超調(diào)量的情況下縮短調(diào)整時(shí)間。,5. 振蕩次數(shù)N：振蕩次數(shù)定義為在0tts時(shí)間內(nèi)，單位階躍響應(yīng)y(t)穿越其穩(wěn)態(tài)值次數(shù)的一半。振蕩次數(shù)

22、的計(jì)算公式為：,通常希望系統(tǒng)的輸出響應(yīng)既有充分的快速性，又有足夠的阻尼。因此，為了獲得滿意的二階系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)特性，阻尼系數(shù)應(yīng)選擇在0.4和0.8之間。,工程上常取阻尼系數(shù) 作為系統(tǒng)設(shè)計(jì)的依據(jù)，該阻尼系數(shù)稱為最佳阻尼系數(shù)。在這種情況下，典型二階系統(tǒng)的超調(diào)量為：,上升時(shí)間tr為：,峰值時(shí)間tp為：,調(diào)整時(shí)間ts為：,當(dāng)阻尼系數(shù)z一定時(shí)，無(wú)阻尼振蕩頻率wn越大，上升時(shí)間、峰值時(shí)間和調(diào)整時(shí)間越短，響應(yīng)速度越快。,阻尼系數(shù) 是二階系統(tǒng)的一個(gè)重要參數(shù)，用它可以間接地判斷一個(gè)二階系統(tǒng)的瞬態(tài)品質(zhì)。在 的情況下瞬態(tài)特性為單調(diào)變化曲線，無(wú)超調(diào)和振蕩，但 長(zhǎng)。當(dāng) 時(shí)，輸出量作等幅振蕩或發(fā)散振蕩，系統(tǒng)不能穩(wěn)定工作。,

23、為了限制超調(diào)量，并使 較小，一般取0.40.8，則超調(diào)量在25%1.5%之間。,例1：,設(shè)典型二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線如圖所示，試確定系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。,例2如圖所示的二階系統(tǒng)，開環(huán)傳遞函數(shù)包括三個(gè)典型環(huán)節(jié)：比例、積分和一階慣性環(huán)節(jié)。圖中 K為開環(huán)放大系數(shù)，T為一階慣性環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)，通常稱 K和T為系統(tǒng)的實(shí)際參數(shù)。由實(shí)際參數(shù)表示的系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為：,系統(tǒng)的特征參數(shù) z和wn與實(shí)際參數(shù)K和T之間的關(guān)系為：,由上式可以看出瞬態(tài)性能指標(biāo)與系統(tǒng)實(shí)際參數(shù)之間的關(guān)系。討論如下：,當(dāng)K增大， T一定時(shí)，阻尼系數(shù)z值減小，超調(diào)量d上升，調(diào)整時(shí)間ts基本不變，振蕩次數(shù)增加。即K越大，二階系統(tǒng)振蕩越嚴(yán)重。 當(dāng)

24、 K一定， T增大時(shí)，阻尼系數(shù)z值減小，超調(diào)量d%上升，振蕩次數(shù)增加。T增大又引起無(wú)阻尼振蕩頻率的減小，z，wn的減小均引起調(diào)整時(shí)間ts的增加，所以增大時(shí)將使調(diào)整時(shí)間ts增加。由此可見，T增大對(duì)系統(tǒng)瞬態(tài)性能是不利的。,例3,圖示系統(tǒng)，要求單位階躍響應(yīng)無(wú)超調(diào)，調(diào)節(jié)時(shí)間不大于1秒，求開環(huán)增益K。,例4 有一位置隨動(dòng)系統(tǒng)，其方塊圖如圖所示。其中K=4，T=1。試求： (1) 該系統(tǒng)的無(wú)阻尼振蕩頻率 wn；(2)系統(tǒng)的阻尼系數(shù)z；(3)系統(tǒng)超調(diào)量d%和和調(diào)整時(shí)間ts；（4）如果要求z0.707，在不改變時(shí)間常數(shù)T的情況下，應(yīng)怎樣改變系統(tǒng)開環(huán)放大系數(shù)K。,解： 系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為:,（4）當(dāng)要求在z0

25、.707時(shí)，wn=1/2z= 0.707，則Kwn2=0.5?？梢娨獫M足二階工程最佳參數(shù)的要求（該例中為增加阻尼系數(shù)），必須降低開環(huán)放大系數(shù) K的值。,（二）過(guò)阻尼（包括臨界阻尼）二階系統(tǒng)的瞬態(tài)性能指標(biāo) ：,當(dāng)二階系統(tǒng)的阻尼系數(shù) z時(shí)，其單位階躍響應(yīng)曲線呈現(xiàn)單調(diào)上升形式,單位階躍響應(yīng)沒(méi)有振蕩，因此系統(tǒng)沒(méi)有超調(diào)量。瞬態(tài)性能指標(biāo)主要考慮上升時(shí)間 tr和調(diào)整時(shí)間ts。,（1）上升時(shí)間tr：過(guò)阻尼（包括臨界阻尼）二階系統(tǒng)的上升時(shí)間定義為由系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)值的10%上升到90%所需的時(shí)間。其經(jīng)驗(yàn)公式為：,3.3.3 典型二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)（單調(diào)上升瞬態(tài)過(guò)程）,（2）調(diào)整時(shí)間ts:,臨界阻尼二階系統(tǒng)：阻尼系數(shù)z=

26、1，其單位階躍響應(yīng)為：,當(dāng)t=ts時(shí)，臨界阻尼二階系統(tǒng)的輸出值為：,可以利用牛頓迭代法求解上述非線性方程的根。 求解過(guò)程如下：對(duì)于方程f(x)=0，其根可由迭代式： xk+1=xk-f(xk)/f(xk) 迭代求出。如果f(x)是連續(xù)的，并且待求的根x是孤立的，那么在根x周圍存在一個(gè)區(qū)域，只要迭代初始值x0位于這個(gè)區(qū)域內(nèi)，牛頓迭代一定是收斂的。,則牛頓迭代式為:,由上述迭代式可以解得臨界阻尼二階系統(tǒng)的調(diào)整時(shí)間ts為：,過(guò)阻尼二階系統(tǒng)：阻尼系數(shù)z1，其單位階躍響應(yīng)為：,同樣可以根據(jù)確定的阻尼系數(shù) z值，由牛頓迭代法求得系統(tǒng)的調(diào)整時(shí)間。比如：,當(dāng)z1.25時(shí)：,過(guò)阻尼二階系統(tǒng)調(diào)整時(shí)間曲線,通常，都

27、希望控制系統(tǒng)有較快的響應(yīng)時(shí)間，即希望系統(tǒng)的阻尼系數(shù)在01之間。而不希望處于過(guò)阻尼情況(z1)，因?yàn)檎{(diào)節(jié)時(shí)間過(guò)長(zhǎng)。但對(duì)于一些特殊的系統(tǒng)不希望出現(xiàn)超調(diào)系統(tǒng)（如液位控制）和大慣性系統(tǒng)（如加熱裝置），則可以處于(z1)的情況。,需要說(shuō)明的是，在所有非振蕩過(guò)程中，臨界阻尼系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時(shí)間最小。,極點(diǎn)位置與階躍響應(yīng)形式的關(guān)系,3.3.3 典型二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)（小結(jié)）, 阻尼系數(shù)、阻尼角與最大超調(diào)量的關(guān)系,極點(diǎn)位置與特征參數(shù)z、wn及性能指標(biāo)的關(guān)系, 極點(diǎn)距虛軸的距離與系統(tǒng)的調(diào)整時(shí)間成反比(0z0.8), wn是極點(diǎn)到原點(diǎn)的直線距離，距離越大振蕩頻率越高。,對(duì)于臨界阻尼和過(guò)阻尼情況，此規(guī)律也存在。,為了改善

28、系統(tǒng)性能而改變系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、參數(shù)或附加具有一定功能的環(huán)節(jié)的方法稱為對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行校正。附加環(huán)節(jié)稱為校正環(huán)節(jié)。比例微分控制和速度反饋是較常用的校正方法。,1比例微分控制：,3.3.4 改善二階系統(tǒng)響應(yīng)特性的措施-比例微分控制,具有比例微分校正的二階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為:,二階系統(tǒng)引進(jìn)比例微分校正后，當(dāng)比例系數(shù)kp1時(shí)，系統(tǒng)的無(wú)阻尼振蕩頻率wkd和阻尼系數(shù)zkd都增大了，這是否表明系統(tǒng)的超調(diào)量和調(diào)整時(shí)間都將減小，從而使系統(tǒng)的瞬態(tài)性能得到改善呢？,具有零點(diǎn)的二階系統(tǒng)的零、極點(diǎn)位置：,系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為：,分別為典型二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)和附加零點(diǎn)引起的分量。,因此，具有附加零點(diǎn)二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)還可

29、以寫為：,由圖看出：由于y2的影響，使得具有附加零點(diǎn)的二階系統(tǒng)比典型二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)具有更快的響應(yīng)速度和更大的超調(diào)量 。,為了更加清楚地說(shuō)明附加零點(diǎn)對(duì)二階系統(tǒng)的影響，用a表示附加零點(diǎn)與典型二階系統(tǒng)復(fù)數(shù)特征根的實(shí)部之比，即：,附加零點(diǎn)位置對(duì)y(t)的影響,隨著a的減小，即附加零點(diǎn)越趨向于虛軸，y(t)的超調(diào)量將明顯增大，附加零點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)的影響愈加顯著。,具有附加零點(diǎn)的二階系統(tǒng)主要性能指標(biāo),y(t)緊湊形式：,2超調(diào)量d%：,3調(diào)整時(shí)間ts ：,a與超調(diào)量d%的關(guān)系,超調(diào)量d%與a的關(guān)系:,例如：當(dāng)z=0.3，a=7或z=0.5，a=4時(shí)，附加零點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)超調(diào)量的影響可以忽略。,典型二階系統(tǒng)引入

30、比例微分校正后，系統(tǒng)的無(wú)阻尼振蕩頻率wn和阻尼系數(shù)z都可以增加。從這個(gè)角度說(shuō)，系統(tǒng)的超調(diào)量和調(diào)整時(shí)間可以減小。 同時(shí)系統(tǒng)的表現(xiàn)形式變?yōu)楦郊恿艘粋€(gè)零點(diǎn)的二階系統(tǒng)，附加一個(gè)零點(diǎn)的二階系統(tǒng)相對(duì)典型二階系統(tǒng)（在無(wú)阻尼振蕩頻率wn和阻尼系數(shù)z不變的情況下 ）來(lái)說(shuō)，超調(diào)量增大，響應(yīng)速度加快。 綜合起來(lái)，典型二階系統(tǒng)引入比例微分校正后，只要比例系數(shù)kp和微分系數(shù)kd選擇恰當(dāng)，其瞬態(tài)性能指標(biāo)能得到較好的改善。,討論：,引進(jìn)比例微分校正前后，二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線的一個(gè)例子,曲線1、2分別為未引入和引入比例微分校正后的單位階躍響應(yīng)曲線。很顯然，引入比例微分校正后，系統(tǒng)的響應(yīng)速度加快，超調(diào)量和調(diào)整時(shí)間減小。,2速度反饋校正：,利用系統(tǒng)輸出信號(hào)y(t)的微分作為反饋信號(hào)，與輸出信號(hào)一起同時(shí)加到系統(tǒng)的輸入端，以產(chǎn)生誤差信號(hào)，起到增加系統(tǒng)阻尼的目的。,3.3.4 改善二階系統(tǒng)響應(yīng)特性的措施-速度反饋校正,具有速度反饋校正的二階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù),具有速度反饋校正的