線性代數(shù)性質(zhì)公式整理

1、線性代數(shù)第一章 行列式一、相關(guān)概念1.行列式n階行列式a11a12a1na21a22a2nan1an2ann是所有取自不同行不同列的n個元素的乘積a1j1a2j2anjn的代數(shù)和，這里j1j2jn是1，2，n的一個排列。當j1j2jn是偶排列時，該項的前面帶正號；當j1j2jn是奇排列時，該項的前面帶負號，即a11a12a1na21a22a2nan1an2ann=j1j2jn(-1)j1j2jna1j1a2j2anjn (1.1)這里j1j2jn 表示對所有n階排列求和。式(1.1)稱為n階行列式的完全展開式。2.逆序與逆序數(shù)一個排列中，如果一個大的數(shù)排列在小的數(shù)之前，就稱這兩個數(shù)構(gòu)成一個逆序

2、。一個排列的逆序總是稱為這個排列的逆序數(shù)。用j1j2jn表示排列j1j2jn的逆序數(shù)。3.偶排列與奇排列如果一個排列的逆序數(shù)是偶數(shù)，則稱這個排列為偶排列，否則稱為奇排列。4.2階與3階行列式的展開abcd=ad-bc，a11a12a13a21a22a23a31a32a33=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-a13a22a31-a12a21a33-a11a23a325.余子式與代數(shù)余子式在n階行列式a11a12a1na21a22a2nan1an2ann中劃去aij所在的第i行，第j列的元素，剩下的元素按原來的位置排法構(gòu)成的一個n-1階的行列式a11a1,j-1a1,j+

3、1a1nai-1,1ai-1,j-1ai-1,j+1ai-1,nai+1,1ai+1,j-1ai+1,j+1ai+1,nan1an,j-1an,j+1ann稱為aij的余子式，記為Mij；稱(-1)i+jMij為aij的代數(shù)余子式，記為Aij，即Aij=(-1)i+jMij。6.伴隨矩陣由矩陣A的行列式|A|所有的代數(shù)余子式所構(gòu)成的形如A11A21An1A12A22An2A1nA2nAnn，稱為A的伴隨矩陣，記作A*。二、行列式的性質(zhì)1.經(jīng)過轉(zhuǎn)置行列式的值不變，即AT=A行列式行的性質(zhì)與列的性質(zhì)是對等的。2.兩行互換位置，行列式的值變號。特別地，兩行相同(或兩行成比例)，行列式的值為0.3.某

4、行如有公因子k，則可把k提出行列式記號外。4.如果行列式某行(或列)是兩個元素之和，則可把行列式拆成兩個行列式之和：a1+b1a2+b2a3+b3c1c2c3d1d2d3=a1a2a3c1c2c3d1d2d3+b1b2b3c1c2c3d1d2d35.把某行的k倍加到另一行，行列式的值不變：a1a2a3b1b2b3c1c2c3=a1a2a3b1+ka1b2+ka2b3+ka3c1c2c36.代數(shù)余子式的性質(zhì)行列式 任一行元素 與 另一行元素的代數(shù)余子式 乘積之和為0三、行列式展開公式n階行列式的值等于它的任何一行(列)元素，與其對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即A=ai1Ai1+ai2Ai2+ainA

5、in=k=1naikAik |A|按i行展開的展開式A=a1jA1j+a2jA2j+anjAnj=k=1nakjAkj |A|按j列展開的展開式四、行列式的公式1.上(下)三角形行列式的值等于主對角線元素的乘積；2.關(guān)于副對角線的n階行列式的值A(chǔ)=(-1)n(n-1)2a1na2,n-1an13.兩個特殊的拉普拉斯展開式：如果A和B分別是m階和n階矩陣，則A*OB=AO*B=ABOAB*=OAB*=(-1)mnAB4.范德蒙行列式 111x1x2xnx12x22xn2 x1n-1x2n-1xnn-1=1jin(xi-xj)5.抽象n階方陣行列式公式 (矩陣)若A、B都是n階矩陣，A*是A的伴隨

6、矩陣，若A可逆，i(i=1,2,n)是A的特征值：AT=A； kA=knA； |AB|=|A|B|； A2=A2； A*=An-1 A-1=1A； A=i=1ni； 若AB，則A=B，且特征值相同。 AA*=A*A=AE一般情況下：|AB|A|B|五、行列式的計算1.數(shù)字型行列式將行列式化為上下三角，再按行或列展開；化簡技巧：將每列(行)都加到同一列(行)，或者將每列(行)ki倍都加到同一列(行)。 逐行(或逐列)相加 利用范德蒙公式或特殊的拉普拉斯展開式數(shù)學(xué)歸納法驗證n=1時命題正確；假設(shè)n=k時命題正確；證明n=k+1時，命題正確。 驗證n=1和n=2時命題都正確，假設(shè)nk命題正確，證明n

7、=k，命題正確。 對于n階的三對角行列式，通常可用數(shù)學(xué)歸納法。2.抽象型行列式通常與矩陣一起考，利用行列式的性質(zhì)(倍加、提公因數(shù)k、拆項)等來恒等變形；也可能利用矩陣的運算、公式、法則、特征值、相似。 利用單位矩陣 E=AA-1=A-1A 恒等變形來計算|A+B|形式的行列式。3.行列式|A|是否為0的判定若A=1,2,n是n階矩陣，那么行列式|A|=0 矩陣A不可逆 秩r(A)jij時，有aij=0的矩陣稱為上(下)三角陣。對稱陣：滿足 AT=A，即aij=aji的矩陣稱為對稱陣反對稱陣：滿足 AT=-A，即aij=-aji，aii=0的對稱陣稱為反對稱陣。正交陣：ATA=AAT=E的矩陣稱

8、為正交陣，即AT=A-1初等矩陣：單位矩陣經(jīng)過一次初等變換所得到的矩陣。伴隨矩陣：見(一.1.6) A*=AA-1五、可逆矩陣1.主要定理：若A可逆則A的逆矩陣唯一且|A|不為0。行列式不為0則矩陣可逆。2.概念設(shè)A是n階方陣如果存在n階矩陣B使得AB=BA=E成立，則稱A是可逆矩陣或非奇異矩陣，B是A的逆矩陣，記成A-1=B3.可逆的充要條件存在n階矩陣B使得AB=E |A|0，或秩r(A)=n，或A的列(行)向量線性無關(guān) 齊次方程組Ax=0只有零解 矩陣A的特征值不全為04.逆矩陣的運算性質(zhì)若k0，則(kA)-1=1kA-1 若A，B可逆，則(AB)-1=A-1B-1；特別地A2-1=A-

9、12 若 AT可逆，則( AT)-1=( A-1)T；( A-1)-1=A； A-1=1|A| 注意，即使A,B,A+B都可逆，一般地(A+B)-1 A-1+ B-15.求逆矩陣的方法若A0，則 A-1=1|A|A* 初等變換 AE行初等變換(E|A-1) 用定義求B，使得AB=E或BA=E，則A可逆且A-1=B 分塊矩陣，設(shè)B,C都可逆，則 BOOC-1=B-1OOC-1； OBCO-1=OC-1B-1O六、初等變換、初等矩陣1.主要結(jié)論：用初等矩陣P左乘A，所得PA矩陣就是矩陣A做了一次和矩陣P同樣的行變換；若是右乘就是相應(yīng)的列變換。2.初等變換設(shè)A是mn矩陣，(倍乘)用某個非零常數(shù)kk0

10、乘A的某行(列)的每個元素，(互換)互換A的某兩行(列)，(倍加)將A的某行(列)元素的k倍加到另一行(列)。稱為初等變換。3.初等矩陣由E經(jīng)過一次初等變換所得的矩陣 倍乘初等矩陣E2k=1000k0001 互換初等矩陣E12= 倍加初等矩陣E31k=k01 4.等價矩陣矩陣A經(jīng)過有限次初等變換變成矩陣B，則稱A與B等價，記成AB。若AErOOO，則后者稱為A的等價標準形。(A的等價標準型是與A等價的所有矩陣中的最簡矩陣。) 5.初等矩陣與初等變換的性質(zhì)初等矩陣的轉(zhuǎn)置仍然是初等矩陣；初等矩陣均是可逆矩陣且其逆矩陣仍是同一類型的初等矩陣 Ei-1k=Ei1k， Eij-1=Eij， Eij-1k

11、=Eij-kP1AP2 左行右列當A時可逆矩陣時，則A可作一系列初等行變換成單位矩陣，即存在初等矩陣P1，P2，PN，使得PNP2P1A=E七、矩陣的秩1.求秩的主要方法：經(jīng)過初等變換矩陣的秩不變；如果A可逆，則r(AB)=r(B)，r(BA)=r(B)2.矩陣的秩設(shè)A是mn矩陣，若A中存在r階子式不等于0，且所有r+1階子式均為0，則稱矩陣A的秩為r，記成r(A)，零矩陣的秩規(guī)定為0。3.矩陣的秩的性質(zhì) r(A)=r矩陣A中非零子式的最高階數(shù)是r r(A)r A中每一個r階子式全為0 r(A)r A中有r階子式不為0特別地，rA=0A=O ； AOr(A)1若A是n階矩陣，r(A)=n|A|

12、0A可逆 rAnA=0A不可逆若A是mn矩陣，則r(Aminm,n)4.矩陣的秩的公式 rA=r(AT)； rATA=r(A)當k0時，rkA=r(A)； rA+BrA+rB rABminrA,rB； 若A可逆，則r(AB)=r(B)，r(BA)=r(B)若A是mn矩陣，B是ns矩陣，AB=O，則rA+rBn分塊矩陣rAOOB=rA+rB。八、分塊矩陣1.概念將矩陣用若干縱線和橫線分成許多小塊，每一小塊稱為原矩陣的子矩陣(或子塊)，把子塊看成原矩陣的一個元素，則原矩陣叫分塊矩陣。由于不同的需要，同一個矩陣有不同的方法分塊，可以行分塊，以列分塊等。2.分塊矩陣的運算對矩陣適當?shù)胤謮K處理(要保證相

13、對應(yīng)子塊的運算能夠合理進行)，就有如下運算法則： A1A2A3A4+B1B2B3B4=A1+B1A2+B2A3+B3A4+B4 ABCDXYZW=AX+BZAY+BWCX+DZCY+DW ABCDT=ATCTBTDT若B,C分別是m階與s階矩陣，則BOOCn=BnOOCn，若B,C分別是m階與s階可逆矩陣，則BOOC-1=B-1OOC-1，OBCO-1=OC-1B-1O若A是mn矩陣，B是nS矩陣且AB=O，對B和O矩陣按列分塊有AB=A1,2,s=A1,A2,As=0,0,0 Ai=0 (i=1,2,s)即B的列向量是齊次方程組Ax=0的解。線性表出P214第三章、向量一、n維向量的概念與運

14、算1.n維向量n個有序數(shù)組a1,a2,an所構(gòu)成的一個有序數(shù)組成為n維向量，記成a1,a2,an或a1,a2,anT，分別稱為n維行向量或n維列向量，數(shù)ai稱為向量的第i個分量。2.零向量所有分量都是0的向量稱為零向量，記為03.相等n維向量=(a1,a2,an)T 與n維向量=(b1,b2,bn)T 相等，即=a1=b1,a2=b2,an=bn4.運算 n維向量=(a1,a2,an)T 與=(b1,b2,bn)T (加法) +=(a1+b1,a2+b2,an+bn)T +=+， +=+， +0=0+=(數(shù)乘) k=ka1,ka2,kanT 1=， kl=(kl)， k+l=k+l， k+=k

15、+k(內(nèi)積) ,=a1b1+a2b2+anbn=T=T ,=a12+a22+an2=T，稱a12+a22+an2為向量的長度。 ,=, k,=k,=,k +,=,+,，,0，等號成立當且僅當=0。特別地，如,=0，則稱與正交二、線性表出、線性相關(guān)1.線性組合m個n維向量a1,a2,am及m個數(shù)k1,k2,km所構(gòu)成的向量k1a1+k2a2+kmam稱為向量組a1,a2,am的一個線性組合，數(shù)k1,k2,km稱為組合系數(shù)。2.線性表出對n維向量a1,a2,as和，如果存在實數(shù)k1,k2,ks，使得k1a1+k2a2+ksas=則稱向量是向量a1,a2,as的線性組合，或者說向量可由a1,a2,a

16、s線性表出。設(shè)有兩個n維向量組() a1,a2,as ；() 1,2,t；如果()中每個向量ai都可由()中的向量1,2,t線性表出，則稱向量組()可由向量組()線性表出。如果() 、()這兩個向量組可以互相線性表出，則稱這兩個向量組等價。 等價向量組具有傳逆性、對稱性、反身性。 向量組和它的極大線性無關(guān)組是等價向量組。 向量組的任意兩個極大無關(guān)組是等價向量組。 等價的向量組有相同的秩，但秩相等的向量組不一定等價。3.線性相關(guān)、無關(guān)對于n維向量a1,a2,as，如果存在不全為零的數(shù)k1,k2,ks，使得k1a1+k2a2+ksas=0則稱向量組a1,a2,as線性相關(guān)，否則稱它線性無關(guān)。關(guān)于線

17、性無關(guān)，只要k1,k2,ks不全為零，必有k1a1+k2a2+ksas0，或者，當且僅當k1=k2=ks=0時，才有k1a1+k2a2+ksas=0顯然，含有：零向量，相等向量，坐標成比例的向量組都是線性相關(guān)的，而階梯形向量組一定是線性無關(guān)的。證明：證明線性無關(guān)通常的思路是：用定義法(同乘或拆項重組)，用秩(秩等于向量個數(shù)則線性無關(guān))，齊次方程組只有零解或反證法。4.重要定理n維向量組a1,a2,as線性相關(guān)齊次方程組a1,a2,asx1x2xs=0有非零解 秩r(a1,a2,as)t，則a1,a2,as必線性相關(guān)。 若n維向量組a1,a2,as可由1,2,t線性表出，且a1,a2,as線性無

18、關(guān)，則st三、極大線性無關(guān)組、秩1.概念設(shè)向量組a1,a2,as中，有一個部分組ai1,ai2,air(1rs)，滿足條件ai1,ai2,air線性無關(guān)；再添加任一向量aj(1js)，向量組ai1,ai2,air必線性相關(guān)；(向量組a1,a2,as中任何一個向量aj必可由ai1,ai2,air線性表出)則稱向量組ai1,ai2,air是向量組a1,a2,as的一個極大線性無關(guān)組。 注：只有一個零向量構(gòu)成的向量組沒有極大線性無關(guān)組。 一個線性無關(guān)的向量組的極大線性無關(guān)組是該向量組本身。 向量組的極大線性無關(guān)組一般不唯一,但其極大線性無關(guān)組的向量個數(shù)是一樣的。2.秩向量a1,a2,as的極大線性無

19、關(guān)組中所含向量的個數(shù)r稱為向量組的秩。記為ra1,a2,as=r。 (ra1,a2,asra1,a2,as+1)如果向量組() a1,a2,as可由 () 1,2,s線性表出，則rr3.注意 求向量組的極大無關(guān)組時，只能都作行變換(或都做列變換)，不能混合行列變換。 如果只是求向量組的秩，則可以混合行列變化。四、施密特正交化、正交矩陣1.正交矩陣設(shè)A是n階矩陣，滿足AAT=ATA=E，則A是正交矩陣。A是正交矩陣AT=A-1 A的向量組是正交規(guī)范向量組，如A是正交矩陣，則行列式A=1或-1。2.施密特正交化 設(shè)向量組1,2,3線性無關(guān)，其正交規(guī)范化方法步驟如下： 令1=1 2=2-(2,1)(

20、1,1)1 3=3-(3,1)(1,1)1-(3,2)(2,2)2，則1，2，3兩兩正交。 再將1，2，3單位化，取1=11，2=22，3=33則1，2，3是正交規(guī)范向量組(即兩兩正交且均是單位向量)第四章 線性方程組一、克拉默法則1.概念若n個方程n個未知量構(gòu)成的非齊次線性方程組a11x1+a12x2+a1nxn=b1a21x1+a22x2+a2nxn=b2an1x1+an2x2+annxn=bn的系數(shù)行列式A0，則方程組有唯一解，且xi=AiA，i=1,2,n。其中Ai是A中的第i列元素(即xi的系數(shù))替換成方程組右端的常數(shù)項b1,b2,bn所構(gòu)成的行列式。2.推論若包含n個方程n個未知量

21、的奇次線性方程組a11x1+a12x2+a1nxn=0a21x1+a22x2+a2nxn=0an1x1+an2x2+annxn=0的系數(shù)行列式A0的充要條件是方程組有唯一解，反之，齊次線性方程組有非零解的充要條件是A=0。二、齊次線性方程組1.形式n個未知量m個方程組成的方程組 向量形式：1x1+2x2+nxn=0 其中j=a1j,a2j,amjT 矩陣形式：Am*nX=02.齊次線性方程組的解若將有序數(shù)組c1,c2,cn代入方程組的未知量x1,x2,xn，使每個方程等式成立，則稱c1,c2,cnT為方程組的一個解(或解向量)，記成=c1,c2,cnT3.齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系設(shè)1,2,n-

22、r是AX=0的解向量，若滿足1,2,n-r線性無關(guān)；AX=0的任一解向量均可由1,2,n-r線性表出。等價于： (加入任一解向量，使得1,2,n-r線性相關(guān)) (r(A)=r，即線性無關(guān)解向量的個數(shù)為n-r，滿足r(A)+線性無關(guān)解的個數(shù)=n)則稱向量1,2,n-r是AX=0的基礎(chǔ)解系。4.AX=0的解的性質(zhì) 若1,2是齊次線性方程組AX=0的解，則k1,k11+k22仍是AX=0的解，其中k1,，k2是任意常數(shù)。推廣到多個解5.AX=0有解的條件齊次線性方程AX=0一定有解，至少有非零解。 AX=0只有零解方程組的列向量組線性無關(guān) ra1,a2,an=n AX=0有非零解方程組的列向量組線性

23、相關(guān) ra1,a2,ann6.基礎(chǔ)解系向量個數(shù)與秩的關(guān)系 若A是mn矩陣，r(A)=rn，則齊次線性方程組AX=0存在基礎(chǔ)解系，且基礎(chǔ)解系由n-r個線性無關(guān)解向量組成，故基礎(chǔ)解系向量個數(shù)+rA=n (未知量個數(shù))7.AX=0的通解設(shè)1,2,n-r是AX=0的基礎(chǔ)解系，則k11+k22+kn-rn-r是AX=0的通解，其中ki是任意常數(shù)。8.基礎(chǔ)解系和通解的求法初等行變換三、非齊次線性方程組 1.形式n個未知量m個方程組成的方程組 向量形式：1x1+2x2+nxn=b 其中j=a1j,a2j,amjT 矩陣形式：Am*nX=b b=b1,b2,bmT 2.AX=b的解的性質(zhì)設(shè)1,2是AX=b的兩

24、個解，是對應(yīng)齊次方程AX=0的解，則 A1-2=0，A1+k=b3.AX=b有解的條件 AX=b無解b不能由A的列向量組1,2,n線性表出 r(A)r(A|b) rA+1=r(A|b) AX=b有解 b可以由A的列向量組1,2,n線性表出 r(A)=r(A|b) 1,2,n1,2,n,b AX=b有唯一解r1,2,n=r(1,2,n,b)=n 1,2,n線性無關(guān)，1,2,n,b線性相關(guān) b可以由A的列向量組1,2,n線性表出且表示唯一。 AX=b有無窮解 r1,2,n=r(1,2,n,b)=rn 1,2,n線性相關(guān)，b可由1,2,n線性表出且表示不唯一。4.AX=b的通解結(jié)構(gòu)對應(yīng)的齊次通解+非齊次的一個特解。5.AX=0的系數(shù)行向量和解向量的關(guān)系，由AX=0的基礎(chǔ)解系反求A齊次線性方程組有解=b1,b2,bn，故AX=0的系數(shù)行向量i和解向量有如下關(guān)系：iT=0，故A的行向量與AX=0的解向量是正交向量；iT=0，即將解向量作齊次方程組的行向量時，A的行向量既是該方程組的解向量。6. AX=0的系數(shù)列向量和解向量的關(guān)系P2607.兩個方程組的公共解方程組AX=0和BX=0的公共