高數(shù)資料及公式

1、第一學(xué)期第一次課第一章 代數(shù)學(xué)的經(jīng)典課題1 若干準(zhǔn)備知識1.1.1代數(shù)系統(tǒng)的概念一個(gè)集合，如果在它里面存在一種或若干種代數(shù)運(yùn)算，這些運(yùn)算滿足一定的運(yùn)算法則，則稱這樣的一個(gè)體系為一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)。1.1.2數(shù)域的定義定義（數(shù)域） 設(shè) 是某些復(fù)數(shù)所組成的集合。如果K中至少包含兩個(gè)不同的復(fù)數(shù)，且 對復(fù)數(shù)的加、減、乘、除四則運(yùn)算是封閉的，即對 內(nèi)任意兩個(gè)數(shù) 、 （ 可以等于 ），必有 ，則稱K為一個(gè)數(shù)域。例1.1 典型的數(shù)域舉例： 復(fù)數(shù)域C；實(shí)數(shù)域R；有理數(shù)域Q；Gauss數(shù)域：Q (i) = i | Q，其中i = 。命題 任意數(shù)域K都包括有理數(shù)域Q。證明 設(shè) 為任意一個(gè)數(shù)域。由定義可知，存在一個(gè)元素

2、。于是 。進(jìn)而 Z , 。最后， Z ， ， 。這就證明了Q 。證畢。1.1.3集合的運(yùn)算，集合的映射（像與原像、單射、滿射、雙射）的概念定義(集合的交、并、差) 設(shè) 是集合， 與 的公共元素所組成的集合成為 與 的交集，記作 ；把 和B中的元素合并在一起組成的集合成為 與 的并集，記做 ；從集合 中去掉屬于 的那些元素之后剩下的元素組成的集合成為 與B的差集，記做 。定義（集合的映射） 設(shè) 、 為集合。如果存在法則 ，使得 中任意元素 在法則 下對應(yīng) 中唯一確定的元素（記做 ），則稱 是 到 的一個(gè)映射，記為 如果 ，則 稱為 在 下的像， 稱為 在 下的原像。 的所有元素在 下的像構(gòu)成的

3、的子集稱為 在 下的像，記做 ，即 。若 都有 則稱 為單射。若 都存在 ，使得 ，則稱 為滿射。如果 既是單射又是滿射，則稱 為雙射，或稱一一對應(yīng)。1.1.4 求和號與求積號 1求和號與乘積號的定義. 為了把加法和乘法表達(dá)得更簡練，我們引進(jìn)求和號和乘積號。設(shè)給定某個(gè)數(shù)域 上 個(gè)數(shù) ，我們使用如下記號： , .當(dāng)然也可以寫成 , .2. 求和號的性質(zhì). 容易證明， 事實(shí)上，最后一條性質(zhì)的證明只需要把各個(gè)元素排成如下形狀： 分別先按行和列求和，再求總和即可。第一學(xué)期第二次課2一元高次代數(shù)方程的基礎(chǔ)知識1.2.1高等代數(shù)基本定理及其等價(jià)命題1. 高等代數(shù)基本定理 設(shè) 為數(shù)域。以 表示系數(shù)在 上的以

4、 為變元的一元多項(xiàng)式的全體。如果 ，則稱 為 的次數(shù)，記為 。定理（高等代數(shù)基本定理） C 的任一元素在C中必有零點(diǎn)。命題 設(shè) 是C上一個(gè) 次多項(xiàng)式， 是一個(gè)復(fù)數(shù)。則存在C上首項(xiàng)系數(shù)為 的 次多項(xiàng)式 ，使得 證明 對 作數(shù)學(xué)歸納法。推論 為 的零點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng) 為 的因式（其中 ）。命題（高等代數(shù)基本定理的等價(jià)命題） 設(shè) 為C上的 次多項(xiàng)式，則它可以分解成為一次因式的乘積，即存在 個(gè)復(fù)數(shù) ，使 證明 利用高等代數(shù)基本定理和命題1.3，對 作數(shù)學(xué)歸納法。2高等代數(shù)基本定理的另一種表述方式定義 設(shè) 是一個(gè)數(shù)域， 是一個(gè)未知量，則等式 （1）（其中 ）稱為數(shù)域 上的一個(gè) 次代數(shù)方程；如果以 帶入（1）

5、式后使它變成等式，則稱 為方程（1）在 中的一個(gè)根。定理（高等代數(shù)基本定理的另一種表述形式） 數(shù)域 上的 次代數(shù)方程在復(fù)數(shù)域C內(nèi)必有一個(gè)根。命題 次代數(shù)方程在復(fù)數(shù)域C內(nèi)有且恰有 個(gè)根（可以重復(fù)）。命題（高等代數(shù)基本定理的另一種表述形式）給定C上兩個(gè)n次、m次多項(xiàng)式 ， ，如果存在整整數(shù) , ,及 個(gè)不同的復(fù)數(shù) ，使得 ，則 。1.2.2 韋達(dá)定理與實(shí)系數(shù)代數(shù)方程的根的特性設(shè) ，其中 。設(shè) 的復(fù)根為 （可能有重復(fù)），則 所以 ； ； 我們記 ； ； ； （ 稱為 的初等對稱多項(xiàng)式）。于是有定理2.5 (韋達(dá)定理) 設(shè) ，其中 。設(shè) 的復(fù)根為 。則 ； ； 命題 給定R上 次方程 ， ，如果 i是

6、方程的一個(gè)根，則共軛復(fù)數(shù) i也是方程的根。證明 由已知， .兩邊取復(fù)共軛，又由于 R，所以 .推論 實(shí)數(shù)域上的奇數(shù)次一元代數(shù)方程至少有一個(gè)實(shí)根。證明 因?yàn)樗膹?fù)根（非實(shí)根）必成對出現(xiàn)，已知它在C內(nèi)有奇數(shù)個(gè)根，故其中必有一根為實(shí)數(shù)。第一學(xué)期第三次課3線性方程組 1.3.1數(shù)域K上的線性方程組的初等變換舉例說明解線性方程組的Gauss消元法。定義（線性方程組的初等變換） 數(shù)域 上的線性方程組的如下三種變換（1） 互換兩個(gè)方程的位置；（2） 把某一個(gè)方程兩邊同乘數(shù)域 內(nèi)一個(gè)非零元素 ；（3） 把某一個(gè)方程加上另一個(gè)方程的 倍，這里 的每一種都稱為線性方程組的初等變換。容易證明，初等變換可逆，即經(jīng)過初

7、等變換后的線性方程組可以用初等變換復(fù)原。命題 線性方程組經(jīng)過初等變換后與原方程組同解證明 設(shè)線性方程組為 （*）經(jīng)過初等變換后得到的線性方程組為（*），只需證明（*）的解是（*）的解，同時(shí)（*）的解也是（*）的解即可。設(shè) 是（*）的解，即（*）中用 代入后成為等式。對其進(jìn)行初等變換，可以得到 代入（*）后也成為等式，即 是（*）的解。反之，（*）的解也是（*）的解。證畢。1.3.2線性方程組的系數(shù)矩陣和增廣矩陣以及矩陣的初等變換定義（數(shù)域 上的矩陣） 給定數(shù)域K中的 個(gè)元素 （ ， ）。把它們按一定次序排成一個(gè) 行 列的長方形表格 稱為數(shù)域K上的 一個(gè) 行 列矩陣，簡稱為 矩陣。定義（線性方程

8、組的系數(shù)矩陣和增廣矩陣） 線性方程組中的未知量的系數(shù)排成的矩陣 稱為方程組的系數(shù)矩陣；如果把方程組的常數(shù)項(xiàng)添到 內(nèi)作為最后一列，得到的 矩陣 稱為方程組的增廣矩陣。定義(矩陣的初等變換) 對數(shù)域 上的矩陣的行（列）所作的如下變換（1）互換兩行（列）的位置；（2）把某一行（列）乘以K內(nèi)一個(gè)非零常數(shù) ；（3）把某一行（列）加上另一行（列）的 倍，這里 稱為矩陣的行（列）初等變換。定義（齊次線性方程組） 數(shù)域 上常數(shù)項(xiàng)都為零的線性方程組稱為數(shù)域K上的齊次線性方程組。這類方程組的一般形式是 命題 變元個(gè)數(shù)大于方程個(gè)數(shù)的齊次線性方程組必有非零解；證明 對變元個(gè)數(shù)作歸納。說明 線性方程組的解的存在性與數(shù)域

9、的變化無關(guān)（這不同于高次代數(shù)方程）。事實(shí)上，在（通過矩陣的初等變換）用消元法解線性方程組時(shí)，只進(jìn)行加、減、乘、除的運(yùn)算。如果所給的是數(shù)域 上的線性方程組，那么做初等變換后仍為 上的線性方程組，所求出的解也都是數(shù)域 中的元素。因此，對 上線性方程組的全部討論都可以限制在數(shù)域 中進(jìn)行。第一學(xué)期第四次課第二章 向量空間與矩陣第一節(jié)m維向量空間2.1.1 向量和m維向量空間的定義及性質(zhì)定義（向量）設(shè) 是一個(gè)數(shù)域。 中 個(gè)數(shù) 所組成的一個(gè) 元有序數(shù)組稱為一個(gè)m維向量； （ ）稱為一個(gè)m維列向量；而 稱為一個(gè)m 維行向量。我們用 記集合 。定義（ 中的加法和數(shù)量乘法） 在 中定義加法如下：兩個(gè)向量相加即相

10、同位置處的數(shù)相加，即 .在 定義數(shù)量乘法為用 中的數(shù)去乘向量的各個(gè)位置，即對于某個(gè) ， 定義（ 維向量空間） 集合 和上面定義的加法、數(shù)乘運(yùn)算組成的代數(shù)系統(tǒng)稱為數(shù)域 上的m維向量空間。命題（向量空間的性質(zhì)） 向量空間中的元素關(guān)于加法和數(shù)乘運(yùn)算滿足如下性質(zhì)（其中 表示數(shù)域， 表示 中的向量）：（1）加法結(jié)合律： ；（2）加法結(jié)合律： （3）向量（0,0,0）（記為 ）具有性質(zhì)：對于任意 ，有 ；（4） ，令 ，稱其為 的負(fù)向量，它滿足 ；（5）對于數(shù)1，有 （6）對 內(nèi)任意數(shù) , ，有 ；（7）對 內(nèi)任意數(shù) , ，有 ；（8）對 內(nèi)任意數(shù) ，有 。2.1.2 線性組合和線性表出的定義定義（線性組

11、合） 設(shè) ， ，則稱向量 為向量組 的一個(gè)線性組合。定義（線性表示） 設(shè) ， 。如果存在 ，使得 ，則稱 可被向量組 線性表示。2.1.3 向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)的定義以及等價(jià)表述定義（線性相關(guān)與線性無關(guān)） 設(shè) 。如果存在不全為零的 ，使得 ，則稱 線性相關(guān)，否則稱為線性無關(guān)。注意：根據(jù)這個(gè)定義， 線性無關(guān)可以表述如下：若 ，使得 ，則必有 。如果 ，顯然 線性相關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)齊次線性方程組 有非零解， 線性無關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)此齊次線性方程組只有零解。命題 設(shè) ，則下述兩條等價(jià)：1） 線性相關(guān)；2）某個(gè) 可被其余向量線性表示。證明 1） 2）. 由于 線性相關(guān)，故存在不全為零的 個(gè)數(shù) ，使得 。不妨

12、設(shè)某個(gè) 。于是，由向量空間的性質(zhì)有 2） 1）. 如果某個(gè) 可被其余向量線性表示，即存在 ，使得 .由向量空間的性質(zhì)有 .于是 線性相關(guān)。證畢。推論 設(shè) ，則下述兩條等價(jià)：1） 線性無關(guān)；2）任一 不能被其余向量線性表示。第一學(xué)期第五次課2.1.4 向量組的線性等價(jià)和集合上的等價(jià)關(guān)系定義（線性等價(jià)） 給定 內(nèi)的兩個(gè)向量組 ， （*） ， （*）如果向量組（*）中每一個(gè)向量都能被向量組（*）線性表示，反過來向量組（*）中的每個(gè)向量也都能被向量組（*）線性表示，則稱向量組（*）和向量組（*）線性等價(jià)。定義（集合上的等價(jià)關(guān)系） 給定一個(gè)集合 ， 上的一個(gè)二元關(guān)系“”稱為一個(gè)等價(jià)關(guān)系，如果“”滿足以下

13、三條：（1） 反身性： ；（2） 對稱性： ；（3） 傳遞性： 。與 等價(jià)的元素的全體成為 所在的等價(jià)類。命題 若 與 在不同的等價(jià)類，則它們所在的等價(jià)類的交集是空集。進(jìn)而一個(gè)定義了等價(jià)關(guān)系的集合可以表示為所有等價(jià)類的無交并。證明 記 所在的等價(jià)類為 ， 的等價(jià)類為 。若它們的交集非空，則存在 ，于是有 。由等價(jià)關(guān)系定義中的對稱性和傳遞性即知 ，與 和 在不同的等價(jià)類矛盾。這就證明了 和 所在的等價(jià)類交集是空集。而集合包含所有等價(jià)類的并集，又集合中的任一個(gè)元素都屬于一個(gè)等價(jià)類，于是集合是等價(jià)類的并集。綜上可知，命題成立。證畢。命題 給定 內(nèi)兩個(gè)向量組 ， （1） ， （2）且（2）中每一個(gè)向量

14、都能被向量組（1）線性表示。如果向量 能被向量組（2）線性表示，則 也可以被向量組（1）線性表示。證明 若向量組（2）中的每一個(gè)向量都可以被向量組（1）線性表示，則存在 ，使得 ( ) . （i）由于 能被向量組（2）線性表示，故存在 ，使得 .將（i）代入，得 ，即 可被 線性表示。由此易推知命題 線性等價(jià)是 的向量組集合上的等價(jià)關(guān)系。2.1.5向量組的極大線性無關(guān)部分組和向量組的秩定義（ 向量組的極大線性無關(guān)組） 設(shè) 為 中的一個(gè)向量組，它的一部分組 稱為原向量組的一個(gè)極大線性無關(guān)組，若（1） 線性無關(guān)；（2） 中的每一個(gè)向量都可被 線性表出。容易看出向量組 和 線性等價(jià)。引理 給定 上的

15、向量組 和 ，如果 可被 線性表出，且 ，則向量組 線性相關(guān)。證明 由于 可被 線性表出，故存在 ，使得 （*）設(shè) . （*）將（*）代入（*），得 .設(shè)各系數(shù)均為零，得到 ， （*）（*）是一個(gè)含有 個(gè)未知量和 個(gè)方程的其次線性方程組，而 ，故方程組（*）有非零解，于是存在不全為零的 ，使得（*）成立。由線性相關(guān)的定義即知向量組 線性相關(guān)。定理 線性等價(jià)的向量組中的極大線性無關(guān)組所含的向量個(gè)數(shù)相等。證明 設(shè) 和 中的線性等價(jià)的向量組。設(shè)向量組 和 分別是原向量組的極大線性無關(guān)部分組，則由線性無關(guān)部分組的定義和線性等價(jià)的傳遞性知此二極大線性無關(guān)部分組線性等價(jià)。由于 可將 中的每一個(gè)向量線性表出

16、，知 （否則由引理知向量組 線性相關(guān)，矛盾）。同理 。于是 。推論 任意向量組中，任意極大線性無關(guān)組所含的向量個(gè)數(shù)相等。定義（向量組的秩） 對于 內(nèi)給定的一個(gè)向量組，它的極大線性無關(guān)組所含的向量的數(shù)量稱為該向量組的秩。第一學(xué)期第六次課第二章 2矩陣的秩2.1.1矩陣的行秩與列秩、矩陣的轉(zhuǎn)置定義2.1 矩陣的行秩與列秩。一個(gè)矩陣 的行向量組的秩成為 的行秩，它的列向量組的秩稱為 的列秩。命題2.1 矩陣的行（列）初等變換不改變行（列）秩；證明 只需證明行變換不該行秩。容易證明，經(jīng)過任意一種初等行變換，得到的行向量組與原來的向量組線性等價(jià)，所以命題成立。證畢。定義2.2 矩陣的轉(zhuǎn)置把矩陣A的行與列

17、互換之后，得到的矩陣 稱為矩陣 的轉(zhuǎn)置矩陣。命題2.2 矩陣的行（列）初等變換不改變列（行）秩。證明 只需證明行變換不改變列秩。列變換可用矩陣的轉(zhuǎn)置證得。假設(shè) 的列向量為 ，它的一個(gè)極大線性無關(guān)部分組為 ，而經(jīng)過初等行變換之后的列向量為 ，只需證明 是變換后列向量的一個(gè)極大線性無關(guān)部分組即可。只需分別證明向量組 （*）線性無關(guān)和 中的任意一個(gè)向量都可以被（*）線性表出。構(gòu)造方程 ，由于 線性無關(guān)，線性方程組 只有零解。而方程 是由 經(jīng)過初等行變換得來的，而初等行變換是同解變換，所以 只有零解，于是 線性無關(guān)。對于 的任意一個(gè)列向量 ，都可被 線性表出，利用初等行變換是同解變換同樣可以證明經(jīng)過初

18、等行變換后， 可以被（*）線性表出。證畢。推論 矩陣的行、列秩相等，稱為矩陣的秩，矩陣 的秩記為r ；證明 設(shè) ，不妨考慮 ，經(jīng)過行、列調(diào)換后，可使左上角元素不等于零。用三種行、列變換可使矩陣化為如下形式 其中(*)代表一個(gè)矩陣。若（*）不是零矩陣，重復(fù)上面做法，歸納下去，最后得到形如 的一個(gè)矩陣，可知，矩陣的行秩和列秩都等于矩陣中“1”的個(gè)數(shù)。于是由初等變換可逆和推論可以知道，矩陣的行秩等于列秩。定義2.3 一個(gè)矩陣 的行秩或列秩成為該矩陣的秩，記作 。2.2.2 矩陣的相抵定義2.4 給定數(shù)域 上的矩陣 和 ，若 經(jīng)過初等變換能化為 ，則稱矩陣 和 相抵。命題2.3 相抵是等價(jià)關(guān)系，且秩是

19、相抵等價(jià)類的完全不變量。證明 逐項(xiàng)驗(yàn)證等價(jià)類的定義，可知相抵是等價(jià)關(guān)系；由于初等變換不改變矩陣的秩，于是矩陣的秩是等價(jià)類的完全不變量。2.2.3用初等變換求矩陣的秩用初等行變換或列變換將矩陣化為階梯形，階梯形矩陣的秩這就是原矩陣的秩。第一學(xué)期第七次課第二章 3線性方程組的理論課題3.1.1齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系對于齊次線性方程組 令 ， ， ，則上述方程組即為 （*）（其中0為零向量）。將（*）的解視為 維向量，則所有解向量構(gòu)成 中的一個(gè)向量組，記為 。命題 中的元素（解向量）的線性組合仍屬于 （仍是解）。證明 只需要證明S關(guān)于加法與數(shù)乘封閉。設(shè) ， ，則 ， ，于是 ，故 ；又因?yàn)?， ，

20、所以 。證畢。定義（線性方程組基礎(chǔ)解系） 齊次線性方程組（*）的一組解向量 如果滿足如下條件：（1） 線性無關(guān)；（2） 方程組（*）的任一解向量都可被 線性表出，那么，就稱 是齊次線性方程組（*）的一個(gè)基礎(chǔ)解系。定理 數(shù)域上的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系中的向量個(gè)數(shù)等于變元個(gè)數(shù)減去系數(shù)矩陣的秩；證明 記線性方程組為 ，其中 ， ， 設(shè) 的秩為 ，無妨設(shè) 為其極大線性無關(guān)部分組，則 皆可被 線性表出， 即存在 ，使得 即 。于是 中含有向量 .只需要證明 是解向量組的一個(gè)極大線性無關(guān)部分組即可。易見，向量組 線性無關(guān)。只需要再證明 能線性表出任意一個(gè) 即可。為此，需要證明引理：引理 設(shè) 線性無關(guān)，

21、可被 線性表出，則表示法唯一。證明 設(shè) ，兩式相減，得到 .由于 線性無關(guān)，故各 的系數(shù)皆為零，于是 ，即 的表示法唯一。引理證畢。現(xiàn)在回到定理的證明。設(shè) ，則有 . （1）考慮 ，則 形如 ，且有 . （2）記 ，則由引理，它可以被線性無關(guān)的向量組 唯一地線性表示，于是由（1）、（2）兩式可知 ，于是 。這就證明了 是解向量組的一個(gè)極大線性無關(guān)部分組。再由矩陣的秩的定義可知命題成立。證畢?；A(chǔ)解系的求法我們只要找到齊次線性方程組的 各自有未知量，就可以獲得它的基礎(chǔ)解系。具體地說，我們先通過初等行變換把系數(shù)矩陣化為階梯形，那么階梯形的非零行數(shù)就是系數(shù)矩陣的秩。把每一個(gè)非零行最左端的未知量保留在

22、方程組的左端，其余 個(gè)未知量移到等式右端，再令右端 個(gè)未知量其中的一個(gè)為1，其余為零，這樣可以得到 個(gè)解向量，這 個(gè)解向量構(gòu)成了方程組的基礎(chǔ)解系。例 求數(shù)域 上的齊次線性方程組 的一個(gè)基礎(chǔ)解系。解 用初等行變換把系數(shù)矩陣化為階梯形： ，于是r ，基礎(chǔ)解系中有 r 個(gè)向量。寫出階梯形矩陣所對應(yīng)的方程組 移項(xiàng)，得 （1）、取 ，得一個(gè)解向量 ；（2）、取 ，得另一解向量 . 即為方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，方程組的全部解可表示為 .解畢。非齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu)設(shè)給定一個(gè)一般線性方程組 （*）于是其系數(shù)矩陣和增廣矩陣分別為 和 。定理 (數(shù)域K上線性方程組有解的判別定理) 對于數(shù)域K上的線性方程組（*

23、），若r r ，則方程組無解；r r ，則有唯一解；r r ，則有無窮多解。證明 寫出線性方程組的向量形式， ，其中 ， 。若r r ，則由矩陣秩的定義，可知 列向量組的秩小于 列向量的秩，即向量組 的秩小于向量組 的秩。只需證明 不可以被向量組 線性表出即可證明方程組無解。事實(shí)上，若 可以將 線性表出，則向量組 與 線性等價(jià)，則兩個(gè)向量組的秩相等，矛盾于向量組 的秩小于向量組 的秩。所以 不能將 線性表出，方程組無解得證。若r r ，則 的極大線性無關(guān)部分組就是 的極大線性無關(guān)部分組。于是 能被 線性表出，即線性方程組有解。任取線性方程組的一個(gè)解向量，記為 ，對于線性方程組的任意一個(gè)解向量

24、， 是由原方程組系數(shù)矩陣所對應(yīng)的齊次線性方程組（稱為線性方程組（*）的導(dǎo)出方程組）的解向量。事實(shí)上，可以分別將 和 帶入（*），再將對應(yīng)方程相減，即可證明上述結(jié)論。反過來，容易證明，對于導(dǎo)出方程組的每一個(gè)解向量 ， 都是線性方程組（*）的解向量。以 記導(dǎo)出方程組的解向量組成的集合，則（*）的解為 .詳言之，記導(dǎo)出方程組的基礎(chǔ)解系為 ，則（*）的解為： .如果r r ，則 ，故方程組（*）有唯一解；如果r r ，則 為無窮集合，故方程組（*）有無窮多解。第一學(xué)期第八次課第二章 4矩陣的運(yùn)算2.4.1矩陣運(yùn)算的定義定義（矩陣的加法和數(shù)乘） 給定兩個(gè) 矩陣 ， ， 和 加法定義為 ；給定數(shù)域 中的一

25、個(gè)元素 ， 與 的數(shù)乘定義為 .定義（矩陣的乘法） 給定一個(gè) 矩陣和一個(gè) 矩陣 ， ， 和 的乘法定義為 .2.4.2 矩陣的運(yùn)算（加法、數(shù)乘、乘法、轉(zhuǎn)置）的性質(zhì)命題 矩陣和定義在矩陣上的運(yùn)算滿足如下運(yùn)算規(guī)律（其中 均為 上的矩陣， 為數(shù)域 中的元素）（1）加法結(jié)合律 ；（2）加法交換律 ；（3）數(shù)乘結(jié)合律 ；（4）數(shù)乘分配律 ； ；（5） 乘法結(jié)合律 ； ；（6） 乘法分配律 ； ；（7） ;（8） 。2.4.3 矩陣的和與積的秩命題 矩陣的運(yùn)算與秩的關(guān)系滿足如下性質(zhì)（其中 均為數(shù)域 上的 矩陣， 為 中的元素）：（1）若 ，則r r ；（2）r r ；（3） r r r 證明 （1）和（2

26、）顯然成立。關(guān)于（3），由矩陣的秩的定義，只需要證明 的列向量組的秩小于等于 的列向量組的秩加上 的列向量組的秩即可。 的列項(xiàng)量可以被 和 的所有列向量線性表出，于是 的秩小于等于 所有列向量的所組成的向量組的秩，小于等于 秩的和。于是命題成立。命題 設(shè) 分別為 矩陣和一個(gè) 矩陣，則r min r r 證明 由矩陣乘法的定義，有 . 的列向量（記為 ）可表示為 ，（ ），于是 每一個(gè)列向量都可以寫成 的列向量組的線性組合，故r r ；同理可證，r r ，于是r min r r 。命題 r r r .證明 記 ，設(shè) 的列向量為 ，則 的列向量可以表示為 . （1）設(shè) 的列向量的一個(gè)極大線性無關(guān)部

27、分組為 ， ， ，任取 的一個(gè)列向量 ，存在 ，使得 ， 將（1）式代入，得到 ，于是 是方程組 的一個(gè)特解。設(shè)齊次線性方程組 的基礎(chǔ)解系為 ，由線性方程組理論知，方程 的解可以表示為 ，其中 ，由 ， 是方程 的解，于是 的列向量可以被向量組 線性表示，于是r r r ，即r r r . 證畢。定義 階方陣 自左上角到右下角這一條對角線稱為 的主對角線。主對角線上的 個(gè)元素的連加稱為 的跡。第一學(xué)期第九次課第二章 5 n階方陣2.5.1 n階方陣，對角矩陣，數(shù)量矩陣，單位矩陣，初等矩陣，對稱、反對稱、上三角、下三角矩陣定義（數(shù)域 上的 階方陣） 數(shù)域 上的 矩陣成為 上的 階方陣， 上全體

28、階方陣所成的集合記作 。定義（ 階對角矩陣、數(shù)量矩陣、單位矩陣） 數(shù)域 上形如 的方陣被稱為n階對角矩陣，與其他矩陣相乘，有 ； 。形如 的方陣被稱為n階數(shù)量矩陣，與其他矩陣相乘，有 ； 。矩陣 被稱為n階單位矩陣，記作 ，有 ； 。我們記第i行第j列為1，其余位置全為零的n階方陣 。定義 初等矩陣我們把形如 其中對角線上除了第i個(gè)元素為k 以外，全為1，其他位置全為0的矩陣和形如 其中對角線上的元素全為1，第i行j列位置上為k，其余位置都為0的矩陣和形如 其中對角線上的元素除了第i和第j個(gè)元素為零外，都為1，第i行第列和第（n-i）行第（n-j）列位置上為1，其余位置均為零的矩陣稱為初等矩陣

29、，分別用 ， ， 來表示。初等矩陣都是由單位陣經(jīng)過一次初等變換得到的。定義 對稱矩陣、反對稱矩陣設(shè) 為數(shù)域K上的n階方陣，若 ，稱A為對稱矩陣；若 ，則稱 為反對稱矩陣。若 為數(shù)域 上的 階對稱（反對稱）矩陣，則 仍為K上的n階對稱（反對稱）矩陣，其中 。定義 上三角、下三角矩陣數(shù)域K上形如 的n階方陣被稱為上三角矩陣；形如 的n階方陣被稱為下三角矩陣。對于n階上（下）三角矩陣，同樣有若 為數(shù)域K上的n階上（下）三角矩陣，則 仍為K上的n階上（下）三角矩陣，其中 。命題 矩陣的初等行（列）變換等價(jià)于左（右）乘初等矩陣；證明 我們分別考察三種初等矩陣對于 ，有 ，等價(jià)于初等行變換中將第i行乘以一

30、個(gè)非零數(shù)， ，等價(jià)于初等列變換中將第i列乘以一個(gè)非零數(shù)；對于 ，有 等價(jià)于初等行變換中將第j行加上第i行的k倍， 等價(jià)于初等列變換中將第j列加上第i列的k倍；對于 ，有 ，等價(jià)于初等行變換中互換i，j兩行，而 等價(jià)于初等列變換中互換i，j兩列。于是初等行（列）變換可以等價(jià)為左（右）乘初等矩陣。證畢。定理 一個(gè)方陣是滿秩的當(dāng)且僅當(dāng)它能表示為初等矩陣的乘積。證明 必要性 經(jīng)過初等變換可以將一個(gè)滿秩n階矩陣（記為A）化為對角形，由初等變換與乘初等矩陣的等價(jià)性，可知存在初等矩陣 和 ，使得 ，由于初等變換存在逆變換，于是可知用初等變換的逆變換可以將單位矩陣化為滿秩矩陣A，于是，存在n階初等矩陣 和 ，

31、使得 ，由矩陣運(yùn)算的結(jié)合律和單位矩陣的性質(zhì)，可以知道 ，必要性證畢。 充分性 若 可以表示成為初等矩陣的乘積，則 ，表示 可由 階單位陣經(jīng)過 次初等變換得到，于是 滿秩。證畢。推論 設(shè) 是滿秩矩陣，對于任意矩陣 ，有r r ，r r （只要乘法有意義）.證明 由于滿秩矩陣可以寫作初等矩陣的乘積，于是存在初等矩陣 ，使得 ，于是， ，由初等矩陣于初等變換的等價(jià)關(guān)系， 相當(dāng)于對B做r次初等行變換。由于初等變換不改變矩陣的秩，所以r r ；同理，r r 。證畢。第一學(xué)期第十次課2.5.2可逆矩陣，方陣的逆矩陣1、可逆矩陣，方陣的逆矩陣的定義定義 設(shè)A是屬于K上的一個(gè)n階方陣，如果存在屬于K上的n階方

32、陣B，使 ，則稱B是A的一個(gè)逆矩陣，此時(shí)A稱為可逆矩陣。2、群和環(huán)的定義定義 設(shè)A是一個(gè)非空集合。任意一個(gè)由 到A的映射就成為定義在A上的代數(shù)運(yùn)算。定義 設(shè)G是一個(gè)非空集合。如果在G上定義了一個(gè)代數(shù)運(yùn)算（二元運(yùn)算），稱為乘法，記作 ，而且它適合以下條件，那么 就成為一個(gè)群：1、乘法滿足結(jié)合律對于G中的任意元素a,b,c有 ；2、存在單位元素 ，對于任意 ，滿足 ；3、對于任意 ，存在 ，使得 。關(guān)于群的性質(zhì)，我們有如下命題：命題 對于任意 ，同樣有 證明 對于 ，存在 ，使得 ， ，兩端右乘 ，得到 。命題 對于任意 ，同樣有 證明 。命題 單位元素唯一證明 假設(shè)存在 ，均是單位元素，則 。命

33、題 對于任意 ，存在唯一 ，使得 ，于是元素 就稱為 的逆元素，記為 。證明 設(shè)存在 ，滿足條件，則 。易知， 。命題 對于G中的任意元素a,b，方程 有唯一解。定義 一個(gè)群G稱為一個(gè)交換群（Abelian Group），若定義在上面的代數(shù)運(yùn)算 滿足交換律，即對于任意 ，都有 。定義 設(shè)L是一個(gè)非空集合，在L上定義了兩個(gè)代數(shù)運(yùn)算，一個(gè)叫加法，記為a+b，一個(gè)叫乘法，記為ab。如果具有性質(zhì)：（1）、L關(guān)于加法成為一個(gè)交換群；（2）、乘法滿足結(jié)合律，即 ，有 ；（3）、乘法關(guān)于加法滿足分配律，即 ，有 那么L就稱為一個(gè)環(huán)。命題 數(shù)域 上的 階可逆矩陣的全體關(guān)于矩陣的乘法構(gòu)成群，稱為 上的一般線性群

34、，記為GL ；數(shù)域 上的 階方陣的全體關(guān)于矩陣的加、乘法構(gòu)成環(huán)，稱為 上的全矩陣環(huán)，記為M ；證明 按定義逐項(xiàng)驗(yàn)證即可。其中GL 中乘法的單位元是n階單位矩陣，而M 中加法的單位元是n階零方陣。命題 證明 ，由逆矩陣的唯一性可知，命題成立。命題 假設(shè)n階可逆方陣A的逆矩陣是B，則 是 的逆矩陣。證明 只需要證明 即可。事實(shí)上， ，于是命題得證。命題 矩陣可逆當(dāng)且僅當(dāng)滿秩；證明 必要性 若n階方陣A可逆，則存在n階方陣B，使得 ，于是有 ，于是 ；充分性 若n階方陣滿秩，則A可以表為初等矩陣的乘積，即存在初等矩陣 ，使得 。只需要證明初等矩陣是可逆的。事實(shí)上， ； ； ，所以由命題 。證畢。2.

35、5.3用初等變換求可逆矩陣的逆矩陣，矩陣方程 和 的解法（ 為可逆陣）1、用初等變換求可逆矩陣的逆矩陣如果A可逆，則A滿秩。于是A可以經(jīng)過初等行變換化為對角形，即 ，則 。于是，對單位矩陣做與把A化為標(biāo)準(zhǔn)形相同的初等行變換（由矩陣乘法和初等變換的等價(jià)性可以知道這是可行的）就可以得到A的逆矩陣，不妨把可逆矩陣A和單位矩陣E并在一起，得到 ，對A進(jìn)行初等行變換，將其化為對角形，即得到 ；同樣地，將可逆矩陣和單位矩陣拼成如下形狀 ，進(jìn)行初等列變換，同樣可以得到 。2、關(guān)于矩陣方程 和 的解法（其中 為可逆陣）a、關(guān)于矩陣方程 ，其中A是一個(gè) 矩陣，X和B是 矩陣。由關(guān)于群性質(zhì)，可以知道 ，于是將A和

36、B并排拼成一個(gè)矩陣 ，進(jìn)行初等行變換，將A化為單位矩陣，于是可以得到 ；b、關(guān)于矩陣方程 ，其中A是一個(gè) 矩陣，X和B是 矩陣。 同樣地，我們將A和B拼為 ，可以得到方程的解 。例 設(shè) 和 為數(shù)域 上的 和 矩陣，則r r +r 證明 存在 和 初等矩陣，使得 ，其中D為A在初等變換的下標(biāo)準(zhǔn)形，記 為 的秩。令 ,則 。Q和P均為滿秩方陣，則 ， 記 為 ，則 = ，于是 的秩為 前s個(gè)行向量的秩。而 可以被 前s個(gè)行向量的極大線性無關(guān)部分組和 的后n-s個(gè)向量線性表示，于是 ，于是 。證畢。第一學(xué)期第十一次課第二章 6分塊矩陣2.6.1分塊矩陣的乘法，準(zhǔn)對角陣的乘積和秩1、矩陣的分塊和分塊矩

37、陣的乘法設(shè)A是屬于K上的 矩陣，B是K上 矩陣，將A的行分割r段，每段分別包含 個(gè)行，又將A的列分割為s段，每段包含 個(gè)列。于是A可用小塊矩陣表示如下： ，其中 為 矩陣。對B做類似的分割，只是要求它的行的分割法和A的列的分割法一樣。于是B可以表示為 ，其中 是 的矩陣。這種分割法稱為矩陣的分塊。此時(shí)，設(shè) ，則C有如下分塊形式： ，其中 是 矩陣，且 。 定義 稱數(shù)域K上的分塊形式的n階方陣 為準(zhǔn)對角矩陣，其中 為 階方陣（ ），其余位置全是小塊零矩陣。2、分塊矩陣的一些性質(zhì)命題 階準(zhǔn)對角矩陣有如下性質(zhì)：（1）、對于兩個(gè)同類型的n階準(zhǔn)對角矩陣（其中 同為 階方陣）， ， ，有 ；（2）、 ；（

38、3）、A可逆 可逆，且 。命題 分塊矩陣 的秩大于等于 與 的秩的和。證明 記 ，設(shè)A為 矩陣，B為 矩陣， A在初等變換標(biāo)準(zhǔn)形為 ， ；B在初等變換下的標(biāo)準(zhǔn)形為 ， ，則對M前m行前n列做初等變換，對它的后k行后l列也做初等變換，這樣可以把M化為 ?，F(xiàn)在利用 左上角的“1”經(jīng)過初等列變換消去它右邊 位置中的非零元；再用 左上角的“1”經(jīng)過初等行變換消去它上面 處的非零元素，于是把 再化作 。則有 。證畢。容易得出，對于矩陣 ，也有同樣的性質(zhì)。對于上述 和 ，如果 ，則 ；如果 ，則 。命題 設(shè) 、 、 為數(shù)域 上的三個(gè)可以連乘的矩陣，則r r r r 證明 假設(shè)A、B、C分別為 、 和 矩陣

39、。令 ，考慮 由可逆矩陣乘法的性質(zhì)（命題 ）和命題 可以知道， 2.6.2矩陣分塊技巧的運(yùn)用（挖洞法）和其應(yīng)用可逆矩陣的分塊求逆1、挖洞法設(shè) ，其中A為 矩陣，B為 矩陣，C為 矩陣，D為 矩陣。不妨設(shè)A可逆，取 ，則 ，取 ，則 。由于分塊矩陣的乘法形式上與普通矩陣相同，所以也可以用左乘（或右乘）一個(gè)適當(dāng)?shù)姆謮K方陣來讀一個(gè)分塊矩陣做類似的變換。但是要注意：（1）、兩個(gè)小塊矩陣相乘時(shí)必須遵守左邊矩陣的列數(shù)等于右邊矩陣的行數(shù)這一原則；（2）、兩個(gè)小塊矩陣相乘成不能交換次序，要分清那個(gè)在左，那個(gè)在右。2、矩陣的分塊求逆設(shè)方陣 ，其中A可逆。令 ，記 ， ， ，若M可逆，則N可逆，于是 可逆。 ，求

40、得 。第一學(xué)期第十二次課第三章 1，2 階方陣的行列式3.1.1平行四邊形的有向面積和平行六面體的有向體積具有的三條性質(zhì)在解析幾何中已證明，給定二維向量空間中的單位正交標(biāo)架，設(shè)向量 的坐標(biāo)分別為 和 ，則由向量 張成的平行四邊形的有向面積為 ，這里記為；給定三維空間內(nèi)右手單位正交標(biāo)架，設(shè)向量 的坐標(biāo)分別為 、 和 ，則由向量 張成的平行六面體的有向體積為 。我們引入如下記號：對于二階方陣 ，定義 ；對于三階方陣 ，定義 。不難發(fā)現(xiàn)， （有向面積與有向體積）滿足以下三條性質(zhì)：（1）、如果 的某行或某列換為兩個(gè)向量的線性組合 ，則 ，其中 分別為把該行（列）換為 所得的 階方陣；（2）、如果 不滿

41、秩，則 ；（3）、當(dāng) 為單位矩陣時(shí)， 。3.1.2利用上述三條性質(zhì)定義 階方陣的行列式函數(shù)的det定義 線性函數(shù)若 滿足如下條件：對 中任意向量 (寫成橫排形式)以及K中任意數(shù)k， ，都有 = + ； = ，則稱 為 上的一個(gè)行線性函數(shù)。設(shè) 滿足如下條件對 中任意向量 （寫成豎排形式）以及K中任意數(shù)k， ，都有 ； ，則稱 為 上的一個(gè)列線性函數(shù)。同樣地，行（列）線性函數(shù)的定義還可以寫作 ，有 = + 和 。容易證明它們與上面定義的等價(jià)性。定義 反對稱線性函數(shù)記號如上，若列線性函數(shù)f滿足 ，則稱f為列反對稱函數(shù)。定理 設(shè) 為列線性函數(shù)，則下述四條等價(jià)：i）、 反對稱；ii）、 ；iii）、 ；

42、iv）、若M不滿秩，則 。證明 i） ii） 若 反對稱，則 ，于是 。ii） iii） 若 ，由于 列線性，則 iii） iv） 若 ，則由已知，不滿秩矩陣必有一個(gè)列向量可以被其他列向量線性表出。若記M的列向量為 ，則必存在一個(gè) ，滿足 ，其中 ，于是 。iv） ii） 矩陣 不滿秩，則 。ii） i） 若 ，則 ，于是 ，則有 。證畢定義 函數(shù) 被稱為一個(gè)行列式函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng) 滿足下列3條性質(zhì)：1、 列線性；2、 反對稱；3、 。2.3.3行列式函數(shù)的存在性與唯一性引理 設(shè) 和 為烈現(xiàn)行反對稱函數(shù)， 。則若經(jīng)過相同的初等列變換化為 和 ，則 。證明 由初等變換的可逆性，只需證“ ”。只需分

43、別對三類基本初等列變換進(jìn)行證明。定理 行列式函數(shù)存在且唯一。證明 首先證明若行列式函數(shù)存在，則唯一。設(shè) 是行列式函數(shù)，若A不滿秩，則 ；若A滿秩，則 可以經(jīng)過初等列變換化為 ， ，于是由引理 ，即 和 在 上取值相等，于是 。唯一性證畢。再證明行列式函數(shù)的存在性。定義函數(shù)det如下：設(shè) ，定義 ；設(shè)在集合 內(nèi)函數(shù) 已定義，那么，對 ，定義 其中 表示劃去A的第i行和第j列后所剩的n-1階方陣的 值， 為 。用記號 來代表 ，如果 ，可以寫成 下面要證明上述定義的函數(shù) 是行列式函數(shù)，從而說明了行列式函數(shù)的存在性。對 作歸納，可分別證明 ； 是列線性函數(shù)和 反對稱，于是 是行列式函數(shù)。命題 行列式

44、函數(shù)是行線性函數(shù)。證明 對 作歸納。3.2.4行列式的六條性質(zhì)命題 行列式函數(shù)滿足以下六條性質(zhì)：1、 ；2、 ， 類似地，對行向量，有 ；3、若A的某列（行）為兩列（行）之和，則 為兩個(gè)相應(yīng)的行列式之和；4、A不滿秩，則 ，特別地，A有兩行（列）相等，則 ；5、將A的一行（列）的若干倍加到B的另一行（列）上去，行列式值不變；6、兩行（列）互換，行列式反號。第一學(xué)期第十三次課第三章 2 階方陣的行列式（續(xù)）3.2.5行列式的按任意列展開和特殊矩陣的行列式1、行列式的按任意行（列）展開定義 命 ，稱為 的代數(shù)余子式。命題 按行列式的第 行展開，有 。 證明 將第 行先后與第 行交換，再展開。推論

45、行列式按第 行展開，有 。2、范德蒙行列式形如 的行列式稱為范德蒙行列式。命題 。證明 對 作歸納。3、準(zhǔn)對角陣的行列式命題 。證明 對 作歸納。推論 。推論 。4、可微函數(shù)的方陣的行列式的微商命題 設(shè) 在 上可導(dǎo)，則 。證明 對 作歸納。第一學(xué)期第十四次課第三章 3行列式的初步應(yīng)用3.3.1行列式的應(yīng)用：用行列式求逆矩陣；克萊姆法則定義 設(shè)矩陣 ，矩陣 稱為 的伴隨矩陣。由行列式的性質(zhì)容易證得， ，其中 ，為Kronecker記號。于是有命題 對于 階滿秩方陣 ，有 ，若 ，則 ?？疾炀€性方程組 ，將其記為 ，若 滿秩，則 ，而 ， 就是把 的第 列換成 后的行列式，記 ，于是有：定理 若數(shù)

46、域 上的 個(gè)未知量 個(gè)方程的線性方程組的系數(shù)矩陣的行列式 ，則它有唯一的一組解 。這個(gè)定理稱為Cramer法則。3.3.2矩陣乘積的行列式、用矩陣的子式的行列式刻畫矩陣的秩命題 設(shè) ，則 。證明 對 討論滿秩與不滿秩的情況。定義 設(shè) ，取 ， ， 稱為 的一個(gè) 階子式，記為 。引理 存在非零的 階子式。證明 “ ” 若 ，則由矩陣的秩的定義， 存在 個(gè)線性無關(guān)的行向量，設(shè)它們?yōu)?行，取它們構(gòu)成一個(gè)秩為 的 矩陣 存在 個(gè)線性無關(guān)的列向量，設(shè)它們?yōu)?列，于是 ；“ ” 若存在 ，則此子式的 個(gè)列向量線性無關(guān)，將它們擴(kuò)充成為原矩陣 的第 ，它們?nèi)跃€性無關(guān)。證畢。命題 對于 上的 階方陣 ， 當(dāng)且僅

47、當(dāng)存在某個(gè) 階子式不等于零，但所有 階子式都等于零。證明 “ ” 若 ，則由引理，存在某個(gè) 階子式不等于零。若存在某個(gè) 階子式不等于零，則由引理， ，矛盾于 ，必要性得證；“ ” 若對于 ，存在某個(gè) 階子式不等于零，則 ，而但所有 階子式都等于零，則 ，于是 ，證畢。第一學(xué)期第十五次課第三章 4行列式的完全展開式3.4.1一些基本概念定義 給定 個(gè)互不相同的自然書，把它們按一定次序排列起來： ，稱為該 個(gè)自然數(shù)的一個(gè)排列。在上述排列中，如果有一個(gè)較大的自然豎排在一個(gè)較小的自然數(shù)前面，則稱為一個(gè)反序。一個(gè)排列中包含的反序的總數(shù)稱為該排列的反序數(shù)。排列 的反序數(shù)計(jì)作 。一個(gè)排列的反序數(shù)為奇數(shù)時(shí)，該

48、排列稱為奇排列；如果反序數(shù)時(shí)偶數(shù)，則稱為偶排列。 的算法給定 個(gè)自然數(shù)，按大小順序排列： ，現(xiàn)在把它們按任意次序重排，得 元排列 ，這個(gè)排列的反序數(shù)可用下法計(jì)算：先找出排在 前面的數(shù)字有多少，設(shè)為 ，然后劃去 ，再看 前面未劃去的數(shù)字有多少，設(shè)為 ，然后劃去 ，再看 前面未劃去的數(shù)字有多少，設(shè)為 ，然后劃去 ，經(jīng)過 次后，即得 。命題 給定數(shù)域 上的 矩陣，（ ）， ，取定 個(gè)自然數(shù)，按大小次序排列： ，又設(shè) 是這 個(gè)自然數(shù)的一個(gè)排列，則 。推論 將命題中 的 互換，則其奇偶性發(fā)生變化。定理 數(shù)域 上的 階行列式有如下展開式 。證明 令 ，證明 是行列式函數(shù)。推論 設(shè) ，則 。第一學(xué)期第十七次

49、課第四章 線性空間與線性變換1 線性空間的基本概念4.1.1線性空間的定義及例1、線性空間的定義定義4.1 線性空間設(shè)V是一個(gè)非空集合，且V上有一個(gè)二元運(yùn)算“+” ，又設(shè)K為數(shù)域，V中的元素與K中的元素有運(yùn)算數(shù)量乘法“ ” ，且“+”與“ ”滿足如下性質(zhì)：1、加法交換律 ，有 ；2、加法結(jié)合律 ，有 ；3、存在“零元”，即存在 ，使得 ；4、存在負(fù)元，即 ，存在 ，使得 ；5、“1律” ；6、數(shù)乘結(jié)合律 ，都有 ；7、分配律 ，都有 ；8、分配律 ，都有 ，則稱V為K上的一個(gè)線性空間，我們把線性空間中的元素稱為向量。注意：線性空間依賴于“+”和“ ”的定義，不光與集合V有關(guān)。2、零向量和負(fù)向量

50、的唯一性，向量減法的定義，線性空間的加法和數(shù)乘運(yùn)算與通常數(shù)的加、乘法類似的性質(zhì)命題4.1 零元素唯一，任意元素的負(fù)元素唯一。證明： 設(shè) 與 均是零元素，則由零元素的性質(zhì)，有 ； ，設(shè) 都是 的負(fù)向量，則 ，于是命題得證。由于負(fù)向量唯一，我們用 代表 的負(fù)向量。 定義4.2 減法 我們定義二元運(yùn)算減法“-”如下： 定義為 。 命題4.2 線性空間中的加法和數(shù)乘滿足如下性質(zhì)：1、加法滿足消去律 ；2、可移項(xiàng) ；3、可以消因子 且 ，則 ；4、 。3、線性空間的例子例4.1令V表示在 上可微的函數(shù)所構(gòu)成的集合，令 ，V中加法的定義就是函數(shù)的加法，關(guān)于K的數(shù)乘就是實(shí)數(shù)遇函數(shù)的乘法，V構(gòu)成K上的線性空間。4.1.2線性空間中線性組合和線性表出的定義，向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)的定義以及等價(jià)表述，向量組的秩，向量組的線性等價(jià)；極大線性無關(guān)組定義4.3 線性組合給定V內(nèi)一個(gè)向量組 ，又給定數(shù)域K內(nèi)s個(gè)數(shù) ，稱 為向量組 的一個(gè)線性組合；定義4.4 線性表出給定V內(nèi)一個(gè)向量組 ，設(shè) 是V內(nèi)的一個(gè)向量，如果存在K內(nèi)s個(gè)數(shù) ，使得 ，則稱向量 可以被向量組 線性表出。定義4.5 向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)給