“用二分法求方程的近似解”教學(xué)設(shè)計(jì)

1、. 用二分法求方程的近似解 教學(xué)設(shè)計(jì)一、教材分析：本節(jié)是人教A版普通高中標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)1（必修）第三章“函數(shù)的應(yīng)用”中第一節(jié)“函數(shù)與方程”的第二塊內(nèi)容，是在學(xué)習(xí)了集合與函數(shù)概念、基本初等函數(shù)后，研究函數(shù)與方程關(guān)系的內(nèi)容。本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容是：結(jié)合函數(shù)大致圖象，能夠借助計(jì)算器用二分法求出相應(yīng)方程的近似解，理解二分法的思想及了解這種方法是求方程近似解的常用方法。本節(jié)內(nèi)容是課標(biāo)教材中新增的內(nèi)容。在初中，學(xué)生學(xué)習(xí)了簡單的一元一次方程和一元二次方程等簡單方程的求根問題，但是實(shí)際問題中，有具體求根公式的方程是很少的。對于這類方程，我們只能根據(jù)根的存在性定理判斷根的存在，在利用二分

2、法可以求出方程給定精確度的近似解。經(jīng)過本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，將使學(xué)生更加深入理解函數(shù)與方程的數(shù)學(xué)思想。二、設(shè)計(jì)意圖與學(xué)情分析: 學(xué)生在學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容的時(shí)候可能會(huì)對二分法的本質(zhì)理解不夠透徹，特別是在“循環(huán)迭代與替換區(qū)間端點(diǎn)”這一環(huán)節(jié)的理解上相對比較困難，對精確的理解耶比較困難。同時(shí)在運(yùn)算過程中，數(shù)值較繁瑣，這些都使學(xué)生對本節(jié)的學(xué)習(xí)與理解產(chǎn)生較大的阻礙，在課前應(yīng)給學(xué)生提前預(yù)習(xí)，以做好思想準(zhǔn)備。學(xué)生在學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容之前已經(jīng)學(xué)習(xí)了“方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)”，理解函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系，并具有一定的數(shù)形結(jié)合思想，這些成為本節(jié)知識(shí)學(xué)習(xí)的生長點(diǎn)，在用二分法求近似解的步驟中又滲透著算法思想，為今后的算法內(nèi)容學(xué)習(xí)埋下伏

3、筆。但是學(xué)生對動(dòng)態(tài)與靜態(tài)的認(rèn)識(shí)薄弱，對于函數(shù)與方程的聯(lián)系缺乏一定的認(rèn)識(shí)，這些都給學(xué)生在縮小零點(diǎn)所在區(qū)間的過程造成一定的難度。因此在教學(xué)中應(yīng)該多給學(xué)生動(dòng)手的機(jī)會(huì)，給學(xué)生創(chuàng)設(shè)熟悉的問題情境，引導(dǎo)學(xué)生觀察，計(jì)算，思考和總結(jié)，使他們理解問題背后的本質(zhì)從而得出結(jié)論.三、教學(xué)目標(biāo)：（1）理解二分法的基本思想，能夠借助計(jì)算器用二分法求給定方程滿足一定精確度的近似解；（2）引導(dǎo)學(xué)生通過觀察和計(jì)算體會(huì)二分法，感受函數(shù)與方程的思想，使學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中體會(huì)近似思想、逼近思想、算法思想；（3）幫助學(xué)生了解數(shù)學(xué)在人類文明發(fā)展中的作用，形成正確的數(shù)學(xué)觀，通過生活實(shí)例培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。四、教學(xué)重點(diǎn)

4、：理解二分法的基本思想，把找方程近似解轉(zhuǎn)化為縮小函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間，對函數(shù)與方程的關(guān)系及化歸思想有更深入的認(rèn)識(shí)。教學(xué)難點(diǎn)：對精確度的理解，用二分法求近似解中，在不斷縮小區(qū)間時(shí)，對區(qū)間端點(diǎn)的循環(huán)迭代替換的理解.五、教學(xué)支持條件分析將問題導(dǎo)學(xué)法、討論法、游戲體驗(yàn)法等多種教學(xué)方法有機(jī)結(jié)合，并結(jié)合多媒體手段，組織學(xué)生自主探究學(xué)習(xí)，合作交流完成本節(jié)的內(nèi)容。學(xué)生的課前準(zhǔn)備：1復(fù)習(xí)前一節(jié)課的內(nèi)容，熟悉連續(xù)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上存在零點(diǎn)的判斷方法；2準(zhǔn)備好科學(xué)計(jì)算器，熟悉科學(xué)計(jì)算器的使用；3完成老師發(fā)給的導(dǎo)學(xué)案（附件中）。教師的教學(xué)準(zhǔn)備：將上課內(nèi)容制作成課件。六、教學(xué)過程：（一）復(fù)習(xí)引入上一節(jié)課我們學(xué)習(xí)了方程的根與函

5、數(shù)的零點(diǎn)的關(guān)系，也學(xué)習(xí)了方程的根的存在性定理。我們一起來回憶一下：1. 方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)有什么關(guān)系？答：方程的根是相應(yīng)函數(shù)的零點(diǎn)，函數(shù)的零點(diǎn)是相應(yīng)方程的根。求一個(gè)方程的解時(shí)，如果直接從方程角度入手難度較大時(shí)，我們可以嘗試從“求函數(shù)的零點(diǎn)”入手。2.還記得根的存在性定理嗎？答：如果函數(shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有，那么函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，這個(gè)零點(diǎn)也是方程的根.【設(shè)計(jì)意圖】培養(yǎng)學(xué)生復(fù)習(xí)的習(xí)慣，對上節(jié)課的復(fù)習(xí)為本節(jié)的學(xué)習(xí)提供了知識(shí)保障。（二）新課講授在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，解方程將是我們經(jīng)常遇到的問題。問題1：你會(huì)求下列方程的根嗎？【設(shè)計(jì)意圖】從學(xué)生熟悉的方程入手，引入求方程根的話題，引起學(xué)

6、生的認(rèn)識(shí)沖突，激起進(jìn)一步探究的欲望.對于前兩個(gè)方程，學(xué)生很快找出解決辦法，最后一個(gè)方程學(xué)生無法根據(jù)之前學(xué)過的知識(shí)進(jìn)行求解，從方程角度入手不知如何下手，這時(shí)教師適時(shí)點(diǎn)撥引導(dǎo)：當(dāng)從方程角度直接入手難以求出方程的根時(shí)，我們可以轉(zhuǎn)化為求該方程相應(yīng)函數(shù)的零點(diǎn)的問題。方程，由課本88頁例1我們知道函數(shù)在區(qū)間（2,3）內(nèi)有唯一零點(diǎn)，這一節(jié)課的重點(diǎn)就是如何找出這個(gè)零點(diǎn)的位置。例 求方程的近似解.（精確度為0.01）教師引導(dǎo)分析：根據(jù)前面我們的分析，我們可以將“求方程的近似解”問題轉(zhuǎn)變?yōu)椤罢液瘮?shù)在區(qū)間（2,3）內(nèi)的近似零點(diǎn)”問題。問題2：那么怎么找出這個(gè)近似零點(diǎn)呢？【設(shè)計(jì)意圖】進(jìn)一步理清思路，明確問題，使問題由

7、“求”變?yōu)椤罢摇?，這樣一來問題更具有游戲的味道，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。在“找”這個(gè)零點(diǎn)之前，我們先來玩?zhèn)€小游戲：前兩天我剛剛買了個(gè)手機(jī)，為了游戲更有趣，我暫且不能告訴大家是什么牌子，我只能告訴大家這個(gè)手機(jī)的價(jià)位是20003000元，如果我給大家6次猜價(jià)的機(jī)會(huì)，我只能告訴大家猜的價(jià)格比真實(shí)值多或少，大家能否猜出與手機(jī)真實(shí)價(jià)錢的誤差在50元以內(nèi)的價(jià)錢？注意啊，你們的機(jī)會(huì)只有6次！第一次猜價(jià)：2500元，教師提示少了，手機(jī)價(jià)錢范圍縮小到25003000元，此時(shí)還不能確保誤差小于50元（為什么？）；第二次猜價(jià)：2750元，教師提示多了，手機(jī)價(jià)錢范圍縮小到25002750元，此時(shí)還不能確保誤差小于50元（

8、為什么？）；一次類推到第五次的時(shí)候，學(xué)生成功的猜出誤差在50以內(nèi)的價(jià)錢。游戲結(jié)束。問題引導(dǎo)總結(jié)：問題3：大家如何猜誤差在50元內(nèi)的價(jià)格？問題4：猜價(jià)過程當(dāng)中，大家發(fā)現(xiàn)手機(jī)價(jià)錢的范圍有什么變化？問題5：我們?yōu)槭裁床碌降?次就停止？經(jīng)過三個(gè)問題的引導(dǎo)，大家很快便總結(jié)出猜價(jià)格的方法：不斷取中點(diǎn)值與真實(shí)值比較，懂得判斷真實(shí)值所屬區(qū)間，區(qū)間長度不斷縮短，直到“猜值”與真實(shí)值的最大誤差小于50元為止。這種方法在數(shù)學(xué)中我們叫做“二分法”.【設(shè)計(jì)意圖】使學(xué)生更加輕松有趣的學(xué)習(xí)，通過猜價(jià)格游戲來引出二分法的概念，讓學(xué)生更容易接受二分法的思想和體會(huì)到學(xué)習(xí)二分法的顯示使用價(jià)值，借此培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí).回到“例求

9、方程的近似解.（精確度為0.01）”。問題6：利用剛才我們猜價(jià)格的方法，借助計(jì)算器，你能“找函數(shù)在區(qū)間（2,3）內(nèi)的近似零點(diǎn)（精確度為0.0.1）”嗎？【設(shè)計(jì)意圖】從游戲把學(xué)生拉回本節(jié)主題，把游戲和本例的解決過程融合到一起對比分析比較，使學(xué)生真正的理解二分法的本質(zhì).模仿猜價(jià)格的方法，學(xué)生很快找出“尋找近似零點(diǎn)”的方法，注意鼓勵(lì)學(xué)生用通俗的語言概括上面求方程近似解的方法的思想，理解二分法的本質(zhì)內(nèi)涵。給出教材上的規(guī)范的定義。（結(jié)論歸納）1.二分法的定義對于在區(qū)間上連續(xù)不斷，且的函數(shù)，通過不斷地把函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似解（或?qū)?yīng)方程的近似根）的方法

10、叫做二分法.注：結(jié)合例題來理解二分法的定義。2.利用二分法求方程近似解的步驟：1.確定初始區(qū)間，驗(yàn)證f(a)f(b)02.求區(qū)間的中點(diǎn)x13.計(jì)算：f(x1)判斷：(1)如果f(x1)=0，則x1就是f(x)的零點(diǎn)，計(jì)算終止；(2)如果f(a) f(x1)0，則令a= x1 (此時(shí)零點(diǎn)x0(x1,b)；4.判斷是否達(dá)到精確度：即若最終區(qū)間長度小于 ，則得到零點(diǎn)近似值是(a,b)區(qū)間內(nèi)的一點(diǎn)；否則重復(fù)24步驟。3.口訣定區(qū)間，找中點(diǎn)， 中值計(jì)算兩邊看。同號(hào)去，異號(hào)算， 零點(diǎn)落在異號(hào)間。周而復(fù)始怎么辦？ 精確度上來判斷?！驹O(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生進(jìn)一步總結(jié)用二分法求方程近似解的思維過程，歸納解題步驟，使學(xué)

11、生由經(jīng)驗(yàn)水平上升到理論水平。通過歸納總結(jié)形成二分法的理論知識(shí)，訓(xùn)練學(xué)生數(shù)學(xué)表達(dá)能力，培養(yǎng)學(xué)生的概括能力。（三）、課堂練習(xí)課堂練習(xí)1：下列函數(shù)中能用二分法求零點(diǎn)的是 （ ）問題7：根據(jù)練習(xí)，請思考用二分法求零點(diǎn)的條件是什么？【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生辨析什么情況下事宜用二分法求零點(diǎn)，辨析過程也是學(xué)生認(rèn)識(shí)完善的過程。課堂練習(xí)2：用二分法求函數(shù)在內(nèi)零點(diǎn)近似值的過程中得到，則零點(diǎn)落在區(qū)間 （ ） D.不能確定【設(shè)計(jì)意圖】進(jìn)一步鞏固如何判斷零點(diǎn)所屬區(qū)間的方法。課堂練習(xí)3：計(jì)算函數(shù)的一個(gè)正零點(diǎn)近似值，列表如下：中點(diǎn)坐標(biāo)中點(diǎn)函數(shù)值取區(qū)間若精確度為0.1，結(jié)果是 ?！驹O(shè)計(jì)意圖】進(jìn)一步理解二分法的定義及解題步驟，理解精確度的含義。（四）、課堂小結(jié)問題8：這節(jié)課你有哪些收獲？（二分法的定義；用二分法求方程近似解的步驟）教師補(bǔ)充