彈性力學(xué)-05(變分法)

1、,5-4,彈性體的形變勢能和外力勢能,1.,彈性力學(xué)問題的,微分提法,及其,解法,：,從研究,微小單元,體入手，考察其,平衡,、,變形,、,材料性質(zhì),，建立基本方程：,（,1,）平衡微分方程,求解方法,：,（,1,）按位移求解,基本方程：,（,a,）以位移為基本未知量,的,平衡微分方程,;,（,b,）邊界條件。,（,2,）按應(yīng)力求解,基本方程：,（,a,）平衡微分方程；,?,ij,i,?,X,j,?,0,（,2,）幾何方程,定,解,問,題,1,?,ij,?,(,u,i,j,?,u,j,i,),2,（,3,）物理方程,1,?,ij,?,(,1,?,?,),?,ij,?,?,kk,?,ij,E,（

2、,4,）邊界條件,?,?,（,b,）,相容方程；,（,c,）,邊界條件。,求解特點：,?,ij,n,i,?,X,j,應(yīng)力邊界條件；,u,i,?,u,i,位移邊界條件。,（,a,）,歸結(jié)為,求解聯(lián)立的微分,方程組,；,（,b,）,難以求得,解析解,。,2.,彈性力學(xué)問題的,變分提法,及其,解法,：,直接處理,整個彈性系統(tǒng),，考慮系統(tǒng)的,能量關(guān)系,，建立一些泛函的,變分方程,，將彈性力學(xué)問題歸結(jié)為,在給定約束條件下求泛函極（駐）,值的變分問題,。,基本思想,：,在,所有可能的解,中，求出最接近于精確解的解；,將定解問題轉(zhuǎn)變?yōu)?求解線性方程組,。,彈性力學(xué)中的變分原理,能量原理,（變分解法也稱,能量

3、法,）,（,a,）以,位移,為基本未知量，得到,最小勢（位）能原理,等。,位移法,（,b,）以,應(yīng)力,為基本未知量，得到,最小余能原理,等。,力,法,（,c,）同時以,位移、應(yīng)力、應(yīng)變,為未知量，,得到,廣義（約束）變分原理。,求解方法,：,混合法,里茲（,Ritz,）法，伽遼金（,Galerkin,）法，,加權(quán)殘值（,余量）法等。,有限單元法,、,邊界元法,、,離散元法,等,數(shù)值解法,的理論基礎(chǔ)。,3.,彈性力學(xué)問題的,數(shù)值解法,：,（,a,）直接求解聯(lián)立的微分方程組（彈性力學(xué)的基本方程）,基本思想：,將,導(dǎo)數(shù),運算近似地用,差分,運算代替；,將定解問題轉(zhuǎn)變?yōu)?求解線性方程組,。,實質(zhì)：,將

4、,變量離散,。,有限差分法；,典型軟件：,FLAC,（,b,）對,變分方程,進行數(shù)值求解,基本思想：將求解,區(qū)域離散,，,離散成有限個小區(qū)域（,單元,），,在小區(qū)域（單元）上假設(shè),可能解,，最后由能量原理,（變分原理）確定其最優(yōu)解。,將問題轉(zhuǎn)變?yōu)?求解,大型,的線性方程組,。,有限單元法,、,邊界單元法,、,離散單元法,等,典型軟件：,ANSYS,，,MARC,，,ADINA,，,SAP,，,NASTRAN,，,ABAQUS,等；,基于有限元法的分析軟件；,UDEC,基于離散元法的分析軟件；,1.,形變勢能的一般表達式,單向拉伸：,外力所做的功：,P,P,l,0,1,W,?,P,?,l,2,O

5、,由于在靜載（緩慢加載）條件下，,其它能量損失很小，外力功全部轉(zhuǎn)化桿,件的,形變勢能（,變形能,）,U,：,?,l,?,l,?,l,P,1,P,?,l,1,(,lA,),U,?,W,?,P,?,l,?,2,A,l,2,1,?,?,x,?,x,(,lA,),2,令：,三向應(yīng)力狀態(tài)：,一點的應(yīng)力狀態(tài)：,x,?,x,?,y,?,z,?,yz,?,zx,?,xy,1,U,1,?,?,x,?,x,2,桿件的體積,?,zy,?,zx,?,z,?,xy,?,x,?,yx,?,y,單位體積的變形能，稱為,比能,。,?,xz,?,yz,三向應(yīng)力狀態(tài)：,一點的應(yīng)力狀態(tài)：,?,x,?,y,?,z,?,yz,?,zx

6、,?,xy,?,zy,?,zx,?,z,由能量守恒原理，形變勢能的值與彈性體受力的,次序,無關(guān),，只取決于最終的狀態(tài)。,假定所有應(yīng)力分量與應(yīng)變分量全部按同樣的比例增加，,此時，單元體的,形變比能,：,?,xy,?,x,?,yx,?,y,?,xz,?,yz,1,1,1,1,1,1,U,1,?,?,x,?,x,?,?,y,?,y,?,?,z,?,z,?,?,yz,?,yz,?,?,zx,?,zx,?,?,xy,?,xy,2,2,2,2,2,2,1,?,(,?,x,?,x,?,?,y,?,y,?,?,z,?,z,?,?,yz,?,yz,?,?,zx,?,zx,?,?,xy,?,xy,),（,a,）,

7、2,對于平面問題，,?,yz,?,0,?,zx,?,0,。,在平面應(yīng)力問題中，,?,z,?,0,；,在平面應(yīng)變問題中，,?,z,?,0,。,因此，,（,b,）,1,U,?,?,U,1,dxdy,?,?,(,?,x,?,x,?,?,y,?,y,?,?,xy,?,xy,),dxdy,A,A,2,整個彈性體的,形變勢能：,1,U,1,?,(,?,x,?,x,?,?,y,?,y,?,?,xy,?,xy,),2,（,c,）,2.,形變勢能的應(yīng)變分量表示,在線彈性的情況下，由物理方程（,2-16,）,：,E,?,x,?,(,?,x,?,?,y,),2,1,?,?,E,?,y,?,(,?,y,?,?,x,)

8、,2,1,?,?,（,d,）,E,?,xy,?,?,xy,2,(,1,?,?,),代入式（,b,），整理得：,E,1,?,?,2,?,?,2,2,U,1,?,?,?,?,y,?,2,?,x,?,y,?,?,xy,?,2,?,x,2(1,?,?,),?,2,?,從而，,（,e,）,E,1,?,?,2,?,?,2,2,U,?,?,U,1,dxdy,?,?,?,?,?,?,2,?,?,?,?,dxdy,x,y,x,y,xy,?,A,A,2(1,?,?,2,),?,2,?,?,將式（,e,）分別對,3,個應(yīng)變分量求導(dǎo)，并將其結(jié)果與物理方程,(d),比較，,?,U,1,?,?,x,?,?,x,?,U,1

9、,?,U,1,?,?,yz,?,?,y,?,?,yz,?,?,y,（,5-15,）,表明：,彈性體的比能對于任一應(yīng)變分量的改變率，就等于相應(yīng)的應(yīng)力分量。,3.,形變勢能的位移分量表示,只需將幾何方程代入式,(e),，得：,?,?,u,2,?,v,2,E,?,u,?,v,1,?,?,?,u,?,v,2,?,U,1,?,(,),?,(,),?,2,?,?,(,?,),?,2,?,2(1,?,?,),?,?,x,?,y,?,x,?,y,2,?,x,?,y,?,（,f,）,?,?,u,2,?,v,2,E,?,u,?,v,1,?,?,?,u,?,v,2,?,U,?,?,(,),?,(,),?,2,?,?

10、,(,?,),?,dxdy,?,2,A,2(1,?,?,),?,y,?,x,?,y,2,?,x,?,y,?,?,?,x,（,5-16,）,在上式中，只要將彈模、泊松比代換，即可得到平面應(yīng)變中的相應(yīng)公式。,由式,(e),和,(f),可知，形變勢能是應(yīng)變分量或位移分量的二次泛函。因此，疊,加原理不再適用。,0 ,?, 1/2,，,U,0,即彈性體的形變勢能是非負的量。,外力的虛功：,體力：,X,Y,Z,;,A,面力：,X,Y,Z,s,?,外力,W,?,?,(,Xu,?,Yv,),dxdy,?,?,(,Xu,?,Yv,),dS,（,5-17,）,取應(yīng)變或位移分量為零時的狀態(tài)為自然狀態(tài)，此時外力的功和

11、勢能為零。,由于外力做的功消耗了外力勢能，因此，在發(fā)生實際位移時，彈性體的,外力勢能為：,V,?,?,W,?,?,?,(,Xu,?,Yv,),dxdy,?,?,(,Xu,?,Yv,),dS,A,s,?,（,5-18,）,11-2,位移變分方程,1.,泛函與變分的概念,（,1,）泛函的概念,函數(shù)：,y,?,泛函：,例,1,：,f,(,x,),U,?,F,(,y,),?,F,?,x,自變量；,y,因變量，或稱自變量,x,的函數(shù)。,x,自變量；,f,(,x,),y,為一變函數(shù)；,F,為函數(shù),y,的函數(shù)，,稱為,泛函,。,?,M,?,M,(,x,),l,彎矩方程,梁的形變勢能：,EI,2,P,1,M,

12、(,x,),B,例,2,：,1,?,M,(,x,),?,U,?,?,dx,0,2,EI,A,x,泛函,l,1,U,?,?,?,x,?,x,?,?,y,?,y,?,?,z,?,z,?,?,yz,?,yz,?,?,zx,?,zx,?,?,xy,?,xy,dxdydz,2,?,?,例,2,：,1,U,?,?,?,x,?,x,?,?,y,?,y,?,?,z,?,z,?,?,yz,?,yz,?,?,zx,?,zx,?,?,xy,?,xy,dxdydz,2,因為,?,x,?,?,x,(,x,y,z,),?,?,yz,?,?,yz,(,x,y,z,),?,?,?,所以，,U,被稱為,形變勢能泛函,。,（,2

13、,）變分與變分法,設(shè)：,y,?,f,(,x,),當(dāng)自變量,x,有一增量：,?,x,?,函數(shù),y,也有一增量：,A,EI,P,1,M,(,x,),B,x,x,1,?,x,0,l,dy,與,dx,，分別稱為自變量,x,與,泛函,U,也有一增量：,函數(shù),y,的,微分。,?,U,?,U,?,y,(,x,1,),?,?,U,?,y,(,x,),?,?,?,U,研究,自變量的增量,與,函數(shù)增量,的關(guān)系,微分問題,?,y,?,y,1,?,y,0,?,f,(,x,1,),?,f,(,x,0,),?,y,?,f,?,(,x,),?,x,dy,?,f,?,(,x,),dx,y,1,(,x,),設(shè)：,?,y,y,(

14、,x,),U,?,U,?,y,(,x,),?,?,y,?,y,1,?,y,?,?,y,函數(shù),y,有一增量：,EI,A,P,1,M,(,x,),B,x,l,y,1,(,x,),設(shè)：,?,y,y,(,x,),研究,自變函數(shù)的增量,與,泛函,的增量,間關(guān)系,變分問題,。,U,?,U,?,y,(,x,),?,函數(shù),y,也有一增量：,泛函,U,也有一增量：,?,y,?,y,1,?,y,?,?,y,?,U,?,U,?,y,(,x,1,),?,?,U,?,y,(,x,),?,?,?,U,函數(shù)的增量,?,y,、泛函的增量,?,U,稱為變分。,微分和變分都是微量，它們的運算方法是相同的，如：,?,y,dy,?,

15、dx,?,x,?,U,?,U,?,?,y,?,y,變分的運算,變分與微分運算：,變分與積分運算：,變分運算與微分運算互相交換,。,復(fù)合函數(shù)的變分：,?,d,?,d,?,?,f,(,x,),?,?,?,?,f,(,x,),?,?,dx,?,dx,?,d,2,2,?,d,?,?,f,(,x,),?,?,?,f,(,x,),?,dx,?,dx,?,d,2,?,d,2,?,?,?,?,?,f,(,x,),?,?,f,(,x,),2,2,?,dx,?,dx,?,?,?,?,F,(,x,y,y,?,),dx,0,l,?,?,?,?,?,F,(,x,y,y,?,),dx,0,l,變分運算與積分運算互相交換,

16、。,U,(,x,y,y,?,),?,?,F,(,x,y,y,?,),dx,其中：,l,y,?,f,(,x,),y,?,?,f,?,(,x,),l,0,一階變分：,?,?,F,?,?,F,?,U,?,?,?,?,y,?,?,y,?,?,dx,0,?,y,?,y,?,?,?,復(fù)合函數(shù)的變分：,U,(,x,y,y,?,),?,?,F,(,x,y,y,?,),dx,其中：,l,y,?,f,(,x,),y,?,?,f,?,(,x,),0,一階變分：,?,?,F,?,?,F,?,U,?,?,?,?,y,?,?,y,?,?,dx,0,?,y,?,y,?,?,?,l,二階變分：,?,?,?,?,F,?,F,?

17、,?,?,?,F,?,F,?,?,?,U,?,?,?,?,?,y,?,?,y,?,?,?,y,?,?,y,?,?,y,?,?,?,y,?,?,dx,?,0,?,y,?,y,?,y,?,?,?,y,?,?,?,y,?,y,?,?,?,?,?,2,l,二階變分用于判別駐值點是取得,極大值,還是,極小值,。,2.,位移變分方程,建立：彈性體的,形變勢能,與,位移,間,變分,關(guān)系,位移變分方程,設(shè)彈性體在外力作用下，處于平衡狀態(tài)。,應(yīng)力邊界,S,?,邊界：,S,?,S,?,?,S,u,P,q,位移場：,應(yīng)力場：,u,?,u,(,x,y,z,);,v,?,v,(,x,y,z,);,w,?,w,(,x,y

18、,z,),?,x,?,?,x,(,x,y,z,);,?,y,?,?,y,(,x,y,z,);,?,滿足：平衡方程、幾何,方程、物理方程,位移邊界,S,u,、邊界條件。,稱為,真實解,（,1,）任給彈性體一微小的位移變化：,滿足兩個條件：,?,u,?,v,?,w,（,1,）不破壞平衡狀態(tài)；,（,2,）不破壞約束條件，即為約束所允許。,任給彈性體一微小的位移變化：,?,u,?,v,?,w,應(yīng)力邊界,S,?,P,（,1,）不破壞平衡狀態(tài)；,滿足兩個條件：,（,2,）不破壞約束條件，即為,約束所允許。,變化后的位移狀態(tài)：,q,u,?,?,u,?,?,u,v,?,?,v,?,?,v,w,?,?,w,?,

19、?,w,?,u,?,v,?,w,稱為,位移的變分,，或,虛位移,。,位移邊界,S,u,由于位移的變分，引起的外力功的變分和外力勢能的變分為：,?,W,?,?,(,X,?,u,?,Y,?,v,),dxdy,?,?,(,X,?,u,?,Y,?,v,),dS,A,s,?,A,s,?,（,5-19,）,?,V,?,?,?,(,X,?,u,?,Y,?,v,),dxdy,?,?,(,X,?,u,?,Y,?,v,),dS,（,5-20,）,由于虛位移為,微小的,、,為約束所允許,的，所以，可認為在虛位移發(fā)生,過程中，外力的大小和方向都不變，只是作用點位置有微小變化。,由于位移的變分，引起的應(yīng)變的變分為：,?

20、,?,?,?,?,x,?,(,?,u,),，,?,y,?,(,?,v,),，,?,xy,?,(,?,u,),?,(,?,v,),?,x,?,y,?,x,?,y,從而引起形變勢能的變分為：,?,U,?,?,(,?,x,?,x,?,?,y,?,y,?,?,xy,?,xy,),dxdy,A,（,5-21,）,上式中的應(yīng)力分量也是在位移變分發(fā)生之前存在的，是恒力，所以沒,有系數(shù),1/2,。,（,2,）考察彈性體的能量變化,：,（在沒有溫度改變、動能改變的情況下）,由能量守恒原理：,彈性體變形勢能的增加，等于外力勢能的減少（也就,等于外力所做的功，即外力虛功）。,設(shè)：,?,U,表示彈性變形勢能的增量；,

21、?,W,表示外力在虛位移上所做的功，它在數(shù)值上等于外力,勢能的減少。,?,U,?,?,W,?,U,?,?,(,X,?,u,?,Y,?,v,),dxdy,?,?,(,X,?,u,?,Y,?,v,),dS,則有：,A,s,?,（,5-22,）,式（,5-22,）稱為,位移變分方程,，也稱,Lagrange,變分方程,。,它表明：在實際平衡狀態(tài)發(fā)生位移的變分時，物體形變勢能的變分，,等于外力在虛位移上所做的虛功。,根據(jù)式（,5-22,），可推導(dǎo)出彈性力學(xué)中的,極小勢能原理,。,將式（,5-22,）寫成，,?,U,?,?,(,X,?,u,?,Y,?,v,),dxdy,?,?,(,X,?,u,?,Y,?

22、,v,),dS,?,0,A,s,?,上式中外力是恒力，因此第二項就是外力勢能的變分，,（,a,）,?,V,?,?,?,(,X,?,u,?,Y,?,v,),dxdy,?,?,(,X,?,u,?,Y,?,v,),dS,A,s,?,而第一項就是形變勢能的變分，證明如下：,?,U,1,?,U,1,?,U,1,?,U,?,?,?,U,1,dxdy,?,?,(,?,x,?,?,y,?,?,xy,),dxdy,A,A,?,?,?,?,y,?,?,xy,x,彈性體的比能對于任一應(yīng)變分量的改變率，就等于相應(yīng)的應(yīng)力分量。,從而，,?,U,?,?,(,?,x,?,x,?,?,y,?,y,?,?,xy,?,xy,),

23、dxdy,A,因此，式,(a),可以寫為：,?,(,U,?,V,),?,0,其中：,（,5-23,）,U,?,V,形變勢能與外力勢能的總和，,稱為,系統(tǒng)的總勢能。,式（,5-23,）表明，在給定的外力作用下，實際存在的位移應(yīng)使總勢能,的變分為,0.,?,?,U,?,V,?,?,0,其中：,表明：,U,?,V,形變勢能與外力勢能的總和，,稱為,系統(tǒng)的總勢能,在給定的外力作用下，實際存在的位移應(yīng)使系統(tǒng)的總勢能的一階變,分為零。,等價于總勢能,U+V,取駐值。,極值勢能原理,（,1,）穩(wěn)定平衡狀態(tài)；,平衡狀態(tài)：,（,2,）不穩(wěn)定平衡狀態(tài)；,（,3,）隨宜平衡狀態(tài)；,最小勢能原理,：,在給定的外力作用

24、下，滿足位移邊界條件,的各組位移中，實際存在的位移，應(yīng)使系統(tǒng)的,總勢能成為駐值。當(dāng)系統(tǒng)處于,穩(wěn)定平衡,時，總,勢能取極小值，通常也為最小值。,不穩(wěn)定平衡,?,?,U,?,V,?,?,0,勢能取,極小值,2,2,?,?,U,?,V,?,?,0,勢能取,極大值,2,?,?,U,?,V,?,?,0,不定,穩(wěn)定平衡,隨宜平衡,虛功方程,應(yīng)用位移變分方程，還可以推導(dǎo)出彈性力學(xué)中的另一個重要方程：,虛,功方程。,?,U,?,?,(,?,x,?,x,?,?,y,?,y,?,?,xy,?,xy,),dxdy,A,（,5-21,）,（,5-22,）,因此，,?,U,?,?,(,X,?,u,?,Y,?,v,),d

25、xdy,?,?,(,X,?,u,?,Y,?,v,),dS,A,s,?,?,A,(,?,x,?,x,?,?,y,?,y,?,?,xy,?,xy,),dxdy,A,s,?,?,?,(,X,?,u,?,Y,?,v,),dxdy,?,?,(,X,?,u,?,Y,?,v,),dS,虛功方程,（,5-24,）,表明：,如果,在虛位移發(fā)生前，彈性體處于,平衡,狀態(tài)，,則,在虛位移發(fā)生過程中，,外力在虛位移上所做的虛功，等于應(yīng)力在虛應(yīng)變上所做的虛功。,虛功方程,是,有限單元法,的理論基礎(chǔ)，也是許多,變分原理,的基礎(chǔ)。,（,1,）位移邊界條件；,實際存在的位,（,2,）平衡方程（位移形式）；,移應(yīng)滿足：,（,3

26、,）應(yīng)力邊界條件。,（,1,）位移邊界條件；,（,2,）位移變分方程。,（可互相導(dǎo)出）,（,1,）平衡方程；,因而，有：,位移變分方程,（,2,）應(yīng)力邊界條件。,（最小勢能原理）,位移變分方程小結(jié)：,（,1,）位移變分方程,A,也稱,Lagrange,變分方程,：,（,5-22,）,s,?,?,U,?,?,(,X,?,u,?,Y,?,v,),dxdy,?,?,(,X,?,u,?,Y,?,v,),dS,（,2,）虛功方程,?,A,(,?,x,?,x,?,?,y,?,y,?,?,xy,?,xy,),dxdy,A,s,?,?,?,(,X,?,u,?,Y,?,v,),dxdy,?,?,(,X,?,u,

27、?,Y,?,v,),dS,（,3,）最小勢能原理,A,?,?,U,?,V,?,?,0,s,?,虛功方程,（,5-24,）,V,?,?,?,(,Xu,?,Yv,),dxdy,?,?,(,Xu,?,Yv,),dS,說明：,（,1,）只要求：可能（虛）位移滿足位移邊界條件；,（,2,）對虛功方程，也適用,各種材料的物理方程,。,如：塑性材料、非線性彈性材料等。,前節(jié)課內(nèi)容回顧：,1.,能量法的基本思想：,（,1,）在,所有可能的解,中，求出最接近于精確解的解；,或者，為在,真實解附近,尋求最接近于精確解的,近似解,。,（,2,）將定解問題轉(zhuǎn)變?yōu)?求解線性方程組,。,2.,變分與泛函的極值,（,1,）

28、泛函：,U,?,F,(,y,),?,F,?,f,(,x,),?,?,U,?,y,不依賴于自變量,x,變化的函數(shù)的,增量,（,2,）變分：,自變量,x,的變分恒為零。,?,x,?,0,（,3,）變分的運算：,變分與微分運算,變分與積分運算,?,d,?,d,?,?,f,(,x,),?,?,?,?,f,(,x,),?,?,dx,?,dx,?,d,2,2,?,d,?,?,f,(,x,),?,?,?,f,(,x,),?,dx,?,dx,?,?,F,(,x,y,y,?,),dx,0,l,?,?,?,?,?,F,(,x,y,y,?,),dx,0,l,變分運算與微分運算互相交換,。,變分運算與積分運算互相交換

29、,。,復(fù)合函數(shù)的變分,U,(,x,y,y,?,),?,?,F,(,x,y,y,?,),dx,0,l,其中：,y,?,f,(,x,),一階變分：,l,?,?,F,?,?,F,?,F,?,?,F,?,F,?,?,U,?,?,?,?,x,?,?,y,?,?,y,?,?,dx,?,?,0,?,?,y,?,?,y,?,?,dx,0,?,x,?,y,?,?,?,y,?,y,?,?,?,?,y,?,l,二階變分：,2,l,自變量,x,的變分,?,x, 0,?,?,?,?,F,?,F,?,?,?,?,F,?,F,?,?,?,?,?,U,?,?,?,?,?,y,?,?,y,?,?,?,y,?,?,y,?,?,y

30、,?,y,dx,?,?,?,0,?,y,?,y,?,?,?,?,y,?,y,?,y,?,y,?,?,?,?,?,?,二階變分用于判別駐值點是取得,極大值,還是,極小值,。,泛函的極值,泛函取得的條件：,?,U,?,0,?,U,?,0,2,?,U,?,0,2,?,U,?,0,2,取得極小值,取得極大值,不定，由高階變分判別。,3.,彈性體的形變勢能,4.,位移變分方程,位移變分方程與彈性力學(xué)基本方程的等性,位移變分方程,虛功方程,等價,平衡微分方程,最小勢能原理,應(yīng)力邊界條件,本章內(nèi)容回顧：,1.,形變勢能的計算：,（,1,）一般形式,1,U,?,?,U,1,dxdy,?,?,(,?,x,?,x

31、,?,?,y,?,y,?,?,xy,?,xy,),dxdy,A,A,2,（,2,）應(yīng)變分量表示形式,（,c,）,E,1,?,?,2,?,?,2,2,U,?,?,U,1,dxdy,?,?,?,?,?,?,2,?,?,?,?,dxdy,x,y,x,y,xy,2,?,A,A,2(1,?,?,),?,2,?,?,（,3,）位移分量表示形式,?,?,u,2,?,v,2,E,?,u,?,v,1,?,?,?,u,?,v,2,?,U,?,?,(,),?,(,),?,2,?,?,(,?,),dxdy,?,A,2(1,?,?,2,),?,?,x,?,y,?,x,?,y,2,?,x,?,y,?,?,（,5-16,）

32、,（,1,）位移變分方程,A,也稱,Lagrange,變分方程,：,（,5-22,）,s,?,?,U,?,?,(,X,?,u,?,Y,?,v,),dxdy,?,?,(,X,?,u,?,Y,?,v,),dS,（,2,）虛功方程,?,A,(,?,x,?,x,?,?,y,?,y,?,?,xy,?,xy,),dxdy,A,s,?,?,?,(,X,?,u,?,Y,?,v,),dxdy,?,?,(,X,?,u,?,Y,?,v,),dS,（,3,）最小勢能原理,A,?,?,U,?,V,?,?,0,s,?,虛功方程,（,5-24,）,V,?,?,?,(,Xu,?,Yv,),dxdy,?,?,(,Xu,?,Yv

33、,),dS,說明：,（,1,）只要求：可能（虛）位移滿足位移邊界條件；,（,2,）對虛功方程，也適用,各種材料的物理方程,。,如：塑性材料、非線性彈性材料等。,5-6,位移變分法,1.,里茲,（,Ritz,）,法,基本思想：,設(shè)定位移函數(shù),的表達形式，使其,滿足位移邊界條件,，其中含,有若干待定常數(shù)，然后,利用位移變分方程確定這些常數(shù),，即,得位移解。,u,m,?,u,m,(,x,y,z,),設(shè)取位移的表達式如下：,u,?,u,0,?,?,A,m,u,m,m,v,m,?,v,m,(,x,y,z,),（,5-25,）,為,邊界上為零,的設(shè)定函數(shù),顯然，上述,函數(shù)滿足位,移邊界條件,。,v,?,v

34、,0,?,?,B,m,v,m,m,其中：,A,m,B,m,為互不相關(guān)的,2,m,個系數(shù)；,u,0,v,0,為設(shè)定的函數(shù)，且在邊界上有：,u,0,s,?,u,v,0,s,?,v,此時，位移的變分,?,u,?,v,只能由系數(shù),A,m,、,B,m,的變分來實現(xiàn)。,u,0,v,0,與變分無關(guān)。,位移的變分：,?,u,?,?,u,m,?,A,m,?,v,?,?,v,m,?,B,m,m,m,（,a,）,形變勢能的變分：,?,U,?,U,?,U,?,?,?,A,m,?,?,?,B,m,?,A,m,?,B,m,m,m,?,?,U,?,?,U,?,?,?,?,A,m,?,?,B,m,?,?,B,m,m,?,?,

35、A,m,?,將式（,a,）、（,b,）代入位移變分方程（,5-22,），有：,（,b,）,?,U,?,U,?,A,m,?,?,B,m,?,?,B,m,m,?,A,m,?,?,?,?,Xu,m,?,A,m,?,Yv,m,?,B,m,?,dxdy,?,?,?,m,m,A,s,?,?,Xu,?,A,m,m,?,Yv,m,?,B,m,?,dS,將上式整理、移項、合并，可得：,?,?,U,?,?,?,Xu,m,dxdy,?,?,Xu,m,dS,?,?,A,m,?,?,A,s,?,?,A,m,?,m,?,?,?,U,?,?,?,?,?,?,Yu,m,dxdy,?,?,Yu,m,dS,?,?,B,m,?,0

36、,A,s,?,?,B,m,?,m,?,Q,?,A,m,?,B,m,完全任意，且互相獨立，,要使上式成立，則須有：,?,U,?,?,Xu,m,dxdy,?,?,Xu,m,dS,A,s,?,?,A,m,m,?,1,2,L,?,U,?,?,Yu,m,dxdy,?,?,Yu,m,dS,A,s,?,?,B,m,（,5-26,）,Ritz,法方程,或稱,Rayleigh-,Ritz,法方程,?,U,?,?,Xu,m,dxdy,?,?,Xu,m,dS,A,s,?,?,A,m,?,U,?,?,Yu,m,dxdy,?,?,Yu,m,dS,A,s,?,?,B,m,說明：,m,?,1,2,L,（,5-26,）,Ri

37、tz,法方程,或稱,Rayleigh-,Ritz,法方程,（,1,）,由,U,的位移表達式（,5-16,）可知，,U,是系數(shù),A,m,B,m,的二次函數(shù)，,因而，方程（,5-26,）為各系數(shù)的,線性方程組,。,Q,A,m,B,m,互不相關(guān)，因而，總可以求出全部的系數(shù)。,（,2,）,求出了系數(shù),A,m,B,m,就可求得其它量，如位移、應(yīng)力等,（,3,）,在假定位移函數(shù)時，須保證其,滿足全部位移邊界條件,。,圖示薄板，寬為,a,，高度為,b,，左邊和下邊受連,例：,桿支承，右邊和上邊分別受有均布壓力,q,1,和,q,2,作用，不計體力。試求薄板的位移。,解：,（,1,）假設(shè)位移函數(shù),u,?,x,(

38、,A,1,?,A,2,x,?,A,3,y,?,?,),v,?,y,(,B,1,?,B,2,x,?,B,3,y,?,?,),滿足邊界條件：,（,a,）,?,u,?,x,?,0,?,0,?,v,?,y,?,0,?,0,試在式（,a,）中只取兩個系數(shù)：,A,1,、,B,1,，即,E,U,?,2,1,?,?,積分得：,?,A,?,?,a,b,0,0,2,1,?,B,2,1,u,?,A,1,u,1,?,A,1,x,v,?,B,1,v,1,?,B,1,y,（,2,）計算形變勢能,U,?,2,?,A,1,B,1,?,dxdy,（,b,）,Eab,2,2,U,?,A,1,?,B,1,?,2,?,A,1,B,1

39、,2,1,?,?,?,?,將式（,b,）代入（,5-16,），有,（平面應(yīng)力情形下形變勢能公式）,（,c,）,Eab,2,2,U,?,A,?,B,?,2,?,A,B,1,1,1,1,2,1,?,?,?,?,（,c,）,（,3,）代入,Ritz,法方程求解,體力,X,?,Y,?,0,m,?,1,有,?,U,?,U,?,?,X,u,1,ds,?,?,Y,v,1,ds,?,A,1,?,B,1,X,?,?,q,1,u,1,?,x,?,a,ds,?,dy,b,0,在右邊界：,X,u,ds,?,?,q,ady,?,?,q,ab,;,1,1,1,?,?,在上邊界：,Y,?,?,q,2,v,1,?,y,?,b

40、,ds,?,dx,a,?,U,X,u,ds,?,?,q,bdy,?,?,q,ab,;,1,2,2,?,?,0,?,?,Xu,m,dxdy,?,?,X,u,m,dS,?,A,m,于是有：,（,11-15,）,?,U,?,U,將式（,c,）代入，得,?,?,q,1,ab,?,?,Yv,dxdy,?,Y,v,dS,q,ab,m,m,2,?,?,?,A,1,?,?,B,B,m,1,Eab,(,2,A,?,2,?,B,),?,?,q,ab,1,1,1,2,2,1,?,?,Eab,(,2,B,1,?,2,?,A,1,),?,?,q,2,ab,2,2,1,?,?,?,?,?,?,聯(lián)立求解，得：,q,1,?,

41、?,q,2,q,2,?,?,q,1,A,1,?,?,B,1,?,?,E,E,代入位移表達式（,b,），得：,（,f,）,討論：,q,1,?,?,q,2,u,?,?,x,E,q,2,?,?,q,1,v,?,?,y,E,（,1,）如果在位移式（,a,）中再多取一些,系數(shù)如：,A,2,、,B,2,等，但是經(jīng)計算，,這些系數(shù)全為零。,（,g,）,（,2,）位移解（,g,）滿足幾何方程、平衡,方程和邊界條件。,表明：,位移解（,g,）為問題的,精確解,。,Ritz,法解題步驟：,（,1,）假設(shè)位移函數(shù)，使其,滿足邊界條件,；,（,2,）,計算形變勢能,U,；,（,3,）代入,Ritz,法方程求解待定系數(shù)

42、；,（,4,）回代求解位移、應(yīng)力等。,本章內(nèi)容回顧：,1.,形變勢能的計算：,（,1,）一般形式,1,U,?,?,U,1,dxdy,?,?,(,?,x,?,x,?,?,y,?,y,?,?,xy,?,xy,),dxdy,A,A,2,（,2,）應(yīng)變分量表示形式,（,c,）,E,1,?,?,2,?,?,2,2,U,?,?,U,1,dxdy,?,?,?,?,?,?,2,?,?,?,?,dxdy,x,y,x,y,xy,2,?,A,A,2(1,?,?,),?,2,?,?,（,3,）位移分量表示形式,?,?,u,2,?,v,2,E,?,u,?,v,1,?,?,?,u,?,v,2,?,U,?,?,(,),?,

43、(,),?,2,?,?,(,?,),dxdy,?,A,2(1,?,?,2,),?,?,x,?,y,?,x,?,y,2,?,x,?,y,?,?,（,5-16,）,2.,位移變分方程小結(jié)：,（,1,）位移變分方程,A,也稱,Lagrange,變分方程,：,（,5-22,）,s,?,?,U,?,?,(,X,?,u,?,Y,?,v,),dxdy,?,?,(,X,?,u,?,Y,?,v,),dS,（,2,）虛功方程,?,A,(,?,x,?,x,?,?,y,?,y,?,?,xy,?,xy,),dxdy,A,s,?,?,?,(,X,?,u,?,Y,?,v,),dxdy,?,?,(,X,?,u,?,Y,?,v

44、,),dS,（,3,）最小勢能原理,A,?,?,U,?,V,?,?,0,s,?,虛功方程,（,5-24,）,V,?,?,?,(,Xu,?,Yv,),dxdy,?,?,(,Xu,?,Yv,),dS,說明：,（,1,）只要求：可能（虛）位移滿足位移邊界條件；,（,2,）對虛功方程，也適用,各種材料的物理方程,。,如：塑性材料、非線性彈性材料等。,3.,位移變分法,里茲（,Ritz,）法,Ritz,法解題步驟：,（,1,）假設(shè)位移函數(shù)，使其,滿足邊界條件,；,（,2,）,計算形變勢能,U,；,（,3,）代入,Ritz,法方程求解待定系數(shù)；,（,4,）回代求解位移、應(yīng)力等。,例,:,圖示矩形薄板，寬為

45、,2,a,，高度為,2,b,，左右兩,邊和下邊均被固定，而上邊的給定位移為：,u,?,0,不計體力。試求薄板的位移和應(yīng)力。,?,?,x,v,?,?,?,?,1,?,2,?,?,a,?,2,?,（,h,）,解,:,（,1,）假設(shè)位移函數(shù),取,m,=1,將位移分量設(shè)為：,y,?,y,?,?,?,x,x,u,?,A,1,?,1,?,2,?,?,1,?,?,?,a,?,a,b,?,b,?,2,2,y,y,?,y,?,?,?,?,?,x,x,v,?,?,?,?,1,?,2,?,?,B,1,?,1,?,2,?,?,1,?,?,?,a,?,b,?,a,?,b,?,b,?,2,（,i,）,顯然，可滿足位移邊界

46、條件：,?,u,?,x,?,?,a,?,0,?,v,?,x,?,?,a,?,0,?,u,?,y,?,0,?,0,?,v,?,y,?,0,?,0,?,u,?,y,?,b,?,0,?,v,?,y,?,b,?,?,x,?,?,?,?,1,?,2,?,?,a,?,2,例,:,如圖所示簡支梁，中點處承受有集中,P,，,試求梁的撓曲線方程。,P,EI,B,解,:,（,1,）假設(shè)位移試探函數(shù),（必須滿足位移邊界條件）,設(shè)位移試探函數(shù)為（取一項）：,A,x,y,（,a,）,l,w,(,x,),?,w,?,a,sin,x,l,式中：,a,為待定常數(shù)。,(,0,?,x,?,l,),Xu,dxdydz,?,X,u,

47、dS,m,m,?,?,?,l,?,P,sin,?,P,l,2,（,d,）,顯然，式（,a,）滿足端點的位移邊界條件,:,w,(,0,),?,0,w,(,l,),?,0,（,2,）計算形變勢能,U,：,（,3,）代入,Ritz,法方程，求解,（,b,）,4,EI,U,?,2,?,d,w,?,dx,?,?,EI,a,2,3,2,?,?,0,?,4,l,?,dx,?,l,2,2,?,U,?,?,A,m,Xu,dxdydz,?,X,u,dS,m,m,?,?,?,U,?,?,EI,a,3,?,a,2,l,4,（,c,）,?,U,?,P,?,a,4,?,EI,a,?,P,3,2,l,2,l,P,a,?,4

48、,?,EI,3,2,l,P,?,w,?,4,sin,x,l,?,EI,（,1,）,中點的撓度：,討論：,3,P,EI,A,M,(,x,),B,x,（,e,）,3,y,l,w,(,x,),3,w,x,?,l,2,2,l,P,Pl,?,4,而材料力學(xué)的結(jié)果：,w,x,?,l,?,?,EI,48,EI,2,兩者比較：式（,a,）的結(jié)果偏小,2%,。,如果取如下位移函數(shù)：,式中項數(shù),m,取得越多，則求得精度就越高。,（,2,）,所取的位移函數(shù),必須滿足位移邊界條件,。,m,?,w,?,?,A,m,sin,x,l,m,（,3,）,位移函數(shù)選取不是唯一的，如：,x,x,w,?,A,(,1,?,),l,l,

49、?,x,x,w,?,(,1,?,),A,1,?,A,2,l,l,?,?,?,x,?,x,?,?,1,?,?,?,l,?,l,?,?,例,:,如圖所示簡支梁，中點處承受有集中,P,，,試求的梁的撓曲線方程。,解,:,（,1,）假設(shè)位移試探函數(shù),?,?,x,x,x,x,?,?,w,?,(,1,?,),A,1,?,A,2,?,1,?,?,l,l,?,l,?,l,?,?,?,?,A,P,EI,l,M,(,x,),B,x,y,w,(,x,),w,0,?,0,2,2,x,x,x,x,w,1,?,(,1,?,),w,2,?,2,(,1,?,),l,l,l,l,式中：,A,1,、,A,2,為待定常數(shù)。,顯然，

50、式（,a,）滿足端點的位移邊界條件,:,w,(,0,),?,0,w,(,l,),?,0,（,2,）計算：,梁的形變勢能,:,l,?,?,EI,d,w,U,?,dx,?,?,2,?,0,?,dx,2,?,2,2,2,EI,?,3,(,5,A,1,?,A,2,),5,l,2,2,?,U,?,4,EI,A,1,3,?,A,1,l,?,U,?,4,EI,A,2,3,?,A,2,5,l,l,q,(,x,),w,dx,:,m,?,0,P,?,P,w,q,(,x,),w,dx,l,?,1,1,x,?,?,0,4,2,l,P,?,P,w,l,?,q,(,x,),w,dx,2,x,?,2,?,0,2,16,l,

51、（,3,）代入,Ritz,法方程,:,例,:,如圖所示簡支梁，中點處承受有集中,P,，,試求的梁的撓曲線方程。,A,解,:,位移函數(shù),?,?,x,x,x,x,?,?,w,?,(,1,?,),A,1,?,A,2,?,1,?,?,（,a,）,y,l,l,?,l,?,l,?,?,?,?,2,2,P,EI,l,M,(,x,),B,x,w,(,x,),l,?,2,2,?,2,EI,EI,d,w,?,(,5,A,?,A,),U,?,dx,?,?,1,2,3,2,?,0,?,dx,2,?,5,l,?,U,?,4,EI,A,?,U,?,l,q,(,x,),w,dx,4,EI,A,?,P,1,1,1,3,3,?

52、,?,A,1,?,A,1,0,4,l,l,l,?,U,?,4,EI,A,4,EI,A,?,P,?,U,2,3,?,?,0,q,(,x,),w,2,dx,2,3,?,A,2,5,l,16,5,l,?,A,2,l,3,3,5,Pl,Pl,q,(,x,),w,dx,:,m,?,0,l,A,1,?,A,2,?,64,EI,16,EI,P,?,P,w,q,(,x,),w,dx,l,?,1,1,x,?,?,0,所求撓曲線方程,:,4,2,l,3,P,?,P,w,?,?,Pl,x,x,x,x,?,?,l,q,(,x,),w,dx,?,2,x,?,w,?,(,1,?,),4,?,5,1,?,2,?,?,?,0

53、,2,16,64,EI,l,l,?,l,?,l,?,?,?,?,（,3,）代入,Ritz,法方程,:,所求撓曲線方程,:,P,?,?,Pl,x,x,x,x,?,?,w,?,(,1,?,),4,?,5,?,1,?,?,64,EI,l,l,?,l,?,l,?,?,?,?,中點撓度,:,3,EI,A,M,(,x,),B,x,w,x,?,l,?,2,21,Pl,?,1024,EI,3,y,l,w,(,x,),而材料力學(xué)的結(jié)果：,w,x,?,l,2,Pl,?,48,EI,?,w,3,x,?,l,2,?,3,w,?,x,?,l,2,?,w,x,?,l,2,1,Pl,?,?,64,48,EI,?,w,x,?

54、,l,x,?,l,2,2,w,1,?,64,?,0,.,015625,?,1,.,5625,%,說明：,（,1,）設(shè)定的待定系數(shù)個數(shù)與所得的線性方程數(shù)相同；,（,2,）,亦可用,最小勢能原理,求解上述問題。,最小勢能原理：,?,?,U,?,V,?,?,0,S,?,V,?,?,W,?,?,?,?,Xu,?,Yv,?,Zw,?,dxdydz,?,?,注：,位移分量滿足,位移邊界條件,。,?,X,u,?,Y,v,?,Z,w,?,dS,例,:,如圖所示簡支梁，中點處承受有集中,P,，,試求的梁的撓曲線方程。,P,EI,B,解,:,（,1,）假設(shè)位移試探函數(shù),（必須滿足位移邊界條件）,設(shè)位移試探函數(shù)為：,A,x,y