[全]全等型“手拉手”數(shù)學模型詳解

1、全等型“手拉手”數(shù)學模型詳解手拉手模型是最常見的一類證明全等或相似的重要數(shù)學模型，全等型手拉手模型主要有以下三個特征：雙等腰、共頂點、頂角相等.【模型解析】模型一：等邊三角形ABC 和 CDE 均為等邊三角形，點 C 為公共頂點，如下圖：結(jié)論：ACE BCD .【例題1】如圖，ABD 與 BCE 都是等邊三角形，連接 AE 與 CD，延長 AE 交 CD 于點 F .求證： AE = DC， AFD = 60 .證明： ABD 與 BCE 都是等邊三角形， AB = DB , EB = CB , ABD = EBC = 60，又 ABE + EBD = DBC + EBD = 60， ABE

2、= DBC， ABE DBC（SAS）， AE = DC ，EAB = CDB . DAE + EAB = DAB = 60， DAE + CDB = 60， AFC = DAE + ADB + CDB = 60 + 60 = 120， AFD = 180 - AFC = 180 - 120 = 60 .模型二：等腰三角形等腰 ABC 和等腰 CDE，點 C 是公共頂點，ACB = DCE = a , 如下圖：結(jié)論：ACD BCE .模型三：等腰直角三角形等腰 RtAOB 和等腰 RtEOF，點 O 為公共頂點，如下圖：AE = BF , AEBF .現(xiàn)將 EOF 繞點 O 順時針旋轉(zhuǎn)一周，可

3、以分為以下幾種情況來考慮：結(jié)論： 圖二、三、五，當 A、O、F 三點不共線時，AOE BOF； 圖一、四、六，AOB EOF； 由圖六可知，點 E、F 的運動軌跡是圓弧 （注意特殊位置的最值問題）.模型四：正方形正方形 ABCD 和正方形 CEFG ，點 C 是公共頂點，如下圖：結(jié)論：BCG DCE .【例題2】如圖 所示，四邊形 ABCD 是正方形，點 E 是 AB 的中點，以 AE 為邊作正方形 AEFG，連接 DE , BG .（1）發(fā)現(xiàn)： 線段 DE、BG 之間的數(shù)量關(guān)系是DE = BG； 線段 DE、BG 之間的位置關(guān)系是DEBG；（2）探究：如圖 ，將正方形 AEFG 繞點 A 逆

4、時針旋轉(zhuǎn)，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由；【提示】（1）、（2）中，用手拉手模型證明三角形全等即可解題 .【模型應(yīng)用】【例題3】如圖，在長方形 ABCD 中，AB = 3 , BC = 4 , E 為 BC 上一點，且 BE = 1，F(xiàn) 為 AB 邊上的一個動點，連接 EF，將 EF 繞著點 E 順時針旋轉(zhuǎn) 45 到 EG 的位置，連接 FG 和 CG，則 CG 的最小值是多少？【解析】如圖，當 CGBG 時，此時 CG 最小 .解法的實質(zhì)就是構(gòu)造了一個和 BEF 全等、共頂點的三角形，或者說是將 BEF 繞點 E 旋轉(zhuǎn)了45.FBE GBE EOG，四邊

5、形 BEOG 是矩形，BEO = 90，從而可知 EOC 是等腰直角三角形，OE = OC , EOC = 90，由 EC = 3，可知 OC = 32/2，所以 CG = 1 + 32/2 .【例題4】在正方形 ABCD 中，CD = 2 , 若點 P 滿足 PD = 1，且 BPD = 90，請直接寫出點 A 到 BP 的距離為多少？【解析】其實點 P 的軌跡就是以點 D 為圓心，PD 長為半徑的圓，BPD = 90，可知 BP 與該圓相切 .第一種情況：如圖所示，連接 AP , 過點 A 作 AFAP，AEBP，交 BP 于點 F，E .可證：ABF ADP（ASA）， FB = PD

6、= 1 , AF = AP， PAF 是等腰直角三角形 .設(shè) AE = EF = x , 在 RtAEB 中，由勾股定理可得：AE2 = AB2 - BE2 , 即 x2 = 22 - （x + 1）2 ,解得：x1 = （-1 + 7）/2 , x2 = （-1 - 7）/2 （舍去），此時點 A 到 BP 的距離是 （-1 + 7）/2；第二種情況：如圖所示，連接 AP，過點 A 作 AFAP，交 PB 延長線于點 F，AEBP，垂足為點 E .可證：ABF ADP（ASA）， FB = PD = 1 , AP = AF , PAF 是等腰直角三角形 .設(shè) AE = EF = x , 在 RtAEB 中，由勾股定理可得：AE2 = AB2 -