201X屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)教學(xué)案(基礎(chǔ)知識+高頻考點+解題訓(xùn)練)函數(shù)的單調(diào)性與最值(含解析)

1、.第三節(jié)函數(shù)的單調(diào)性與最值知識能否憶起一、函數(shù)的單調(diào)性1單調(diào)函數(shù)的定義增函數(shù)減函數(shù)定義設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為i.如果對于定義域i內(nèi)某個區(qū)間d上的任意兩個自變量的值x1，x2當(dāng)x1x2時，都有f(x1)f(x2)，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間d上是增函數(shù)當(dāng)x1f(x2) ，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間d上是減函數(shù)圖象描述自左向右看圖象逐漸上升自左向右看圖象逐漸下降2單調(diào)區(qū)間的定義若函數(shù)yf(x)在區(qū)間d上是增函數(shù)或減函數(shù)，則稱函數(shù)yf(x)在這一區(qū)間上具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)間d叫做yf(x)的單調(diào)區(qū)間二、函數(shù)的最值前提設(shè)函數(shù)yf(x)的定義域為i，如果存在實數(shù)m滿足條件對于任意xi，都有f(x)

2、m；存在x0i，使得f(x0)m對于任意xi，都有f(x)m；存在x0i，使得f(x0)m結(jié)論m為最大值m為最小值小題能否全取1(2012陜西高考)下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的為()ayx1byx3cy dyx|x|解析：選d由函數(shù)的奇偶性排除a，由函數(shù)的單調(diào)性排除b、c，由yx|x|的圖象可知此函數(shù)為增函數(shù)，又該函數(shù)為奇函數(shù)，故選d.2函數(shù)y(2k1)xb在(，)上是減函數(shù)，則()ak bk dk解析：選d函數(shù)y(2k1)xb是減函數(shù)，則2k10，即k.3(教材習(xí)題改編)函數(shù)f(x)的最大值是()a. b.c. d.解析：選d1x(1x)x2x12，0.4(教材習(xí)題改編)f(x)x22

3、x(x2,4)的單調(diào)增區(qū)間為_；f(x)max_.解析：函數(shù)f(x)的對稱軸x1，單調(diào)增區(qū)間為1,4，f(x)maxf(2)f(4)8.答案：1,485已知函數(shù)f(x)為r上的減函數(shù)，若mn，則f(m)_f(n)；若ff(n)；1，即|x|1，且x0.故1x(1,0)(0,1)1.函數(shù)的單調(diào)性是局部性質(zhì)從定義上看，函數(shù)的單調(diào)性是指函數(shù)在定義域的某個子區(qū)間上的性質(zhì)，是局部的特征在某個區(qū)間上單調(diào)，在整個定義域上不一定單調(diào)2函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是函數(shù)定義域的子區(qū)間，所以求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，必須先求出函數(shù)的定義域?qū)τ诨境醯群瘮?shù)的單調(diào)區(qū)間可以直接利用已知結(jié)論求解，如二次函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、指

4、數(shù)函數(shù)等；如果是復(fù)合函數(shù)，應(yīng)根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判斷方法，首先判斷兩個簡單函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)“同則增，異則減”的法則求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間注意單調(diào)區(qū)間只能用區(qū)間表示，不能用集合或不等式表示；如有多個單調(diào)區(qū)間應(yīng)分別寫，不能用并集符號“”聯(lián)結(jié)，也不能用“或”聯(lián)結(jié)函數(shù)單調(diào)性的判斷典題導(dǎo)入例1證明函數(shù)f(x)2x在(，0)上是增函數(shù)自主解答設(shè)x1，x2是區(qū)間(，0)上的任意兩個自變量的值，且x1x2.則f(x1)2x1，f(x2)2x2，f(x1)f(x2)2(x1x2)(x1x2)由于x1x20，所以x1x20，因此f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，故f(x)在(，0)上是增函數(shù)由題悟

5、法對于給出具體解析式的函數(shù)，證明其在某區(qū)間上的單調(diào)性有兩種方法：(1)結(jié)合定義(基本步驟為取值、作差或作商、變形、判斷)證明；(2)可導(dǎo)函數(shù)則可以利用導(dǎo)數(shù)證明對于抽象函數(shù)單調(diào)性的證明，一般采用定義法進行以題試法1判斷函數(shù)g(x)在 (1，)上的單調(diào)性解：任取x1，x2(1，)，且x1x2，則g(x1)g(x2)，由于1x1x2，所以x1x20，因此g(x1)g(x2)0，即g(x1)，得1x1.由f(x)，得x1或x1.所以f(x)故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(，1)答案c若本例中f(x)2|x|變?yōu)閒(x)log2|x|，其他條件不變，則fk(x)的單調(diào)增區(qū)間為_解析：函數(shù)f(x)log2|x

6、|，k時，函數(shù)fk(x)的圖象如圖所示，由圖示可得函數(shù)fk(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0， 答案：(0， 由題悟法求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的常用方法(1)利用已知函數(shù)的單調(diào)性，即轉(zhuǎn)化為已知函數(shù)的和、差或復(fù)合函數(shù)，求單調(diào)區(qū)間(2)定義法：先求定義域，再利用單調(diào)性定義(3)圖象法：如果f(x)是以圖象形式給出的，或者f(x)的圖象易作出，可由圖象的直觀性寫出它的單調(diào)區(qū)間(4)導(dǎo)數(shù)法：利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以題試法2函數(shù)f(x)|x2|x的單調(diào)減區(qū)間是()a1,2 b1,0c0,2 d2，)解析：選a由于f(x)|x2|x結(jié)合圖象可知函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是1,2單調(diào)性的應(yīng)用典題導(dǎo)入例3(1)若f(x)為r

7、上的增函數(shù)，則滿足f(2m)f(m2)的實數(shù)m的取值范圍是_(2)(2012安徽高考)若函數(shù)f(x)|2xa|的單調(diào)遞增區(qū)間是3，)，則a_.自主解答(1)f(x)在r上為增函數(shù)，2m0.m1或m0，x0)，若f(x)在上的值域為，則a_.解析：(1)f(x)0，x0)在上單調(diào)遞增，所以即解得a.答案：(1)1(2)1(2012廣東高考)下列函數(shù)中，在區(qū)間(0，)上為增函數(shù)的是()ayln(x2)bycyx dyx解析：選a選項a的函數(shù)yln(x2)的增區(qū)間為(2，)，所以在(0，)上一定是增函數(shù)2若函數(shù)f(x)4x2mx5在2，)上遞增，在(，2上遞減，則f(1)()a7 b1c17 d25

8、解析：選d依題意，知函數(shù)圖象的對稱軸為x2，即 m16，從而f(x)4x216x5，f(1)416525.3(2013佛山月考)若函數(shù)yax與y在(0，)上都是減函數(shù)，則yax2bx在(0，)上是()a增函數(shù) b減函數(shù)c先增后減 d先減后增解析：選byax與y在(0，)上都是減函數(shù)，a0，b0，yax2bx的對稱軸方程x0，則一定正確的是()af(4)f(6) bf(4)f(6) df(4)0知f(x)在(0，)上遞增，所以f(4)f(6)6定義在r上的函數(shù)f(x)滿足f(xy)f(x)f(y)，當(dāng)x0，則函數(shù)f(x)在a，b上有()a最小值f(a) b最大值f(b)c最小值f(b) d最大值

9、f解析：選cf(x)是定義在r上的函數(shù)，且f(xy)f(x)f(y)，f(0)0，令yx，則有f(x)f(x)f(0)0.f(x)f(x)f(x)是r上的奇函數(shù)設(shè)x1x2，則x1x20.f(x)在r上是減函數(shù)f(x)在a，b有最小值f(b)7函數(shù)y(x3)|x|的遞增區(qū)間是_解析：y(x3)|x|作出該函數(shù)的圖象，觀察圖象知遞增區(qū)間為.答案：8(2012臺州模擬)若函數(shù)y|2x1|，在(，m上單調(diào)遞減，則m的取值范圍是_解析：畫出圖象易知y|2x1|的遞減區(qū)間是(，0，依題意應(yīng)有m0.答案：(，09若f(x)在區(qū)間(2，)上是增函數(shù)，則a的取值范圍是_解析：設(shè)x1x22，則f(x1)f(x2)

10、，而f(x1)f(x2)0，則2a10.得a.答案：10求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：(1)yx22|x|1；(2)ya12xx2(a0且a1)解：(1)由于y即y畫出函數(shù)圖象如圖所示，單調(diào)遞增區(qū)間為(，1和0,1，單調(diào)遞減區(qū)間為1,0和1，)(2)令g(x)12xx2(x1)22，所以g(x)在(，1)上單調(diào)遞增，在(1，)上單調(diào)遞減當(dāng)a1時，函數(shù)ya12xx2的增區(qū)間是(，1)，減區(qū)間是(1，)；當(dāng)0a0且f(x)在(1，)內(nèi)單調(diào)遞減，求a的取值范圍解：(1)證明：設(shè)x1x20，x1x20，f(x1)f(x2)，f(x)在(，2)內(nèi)單調(diào)遞增(2)設(shè)1x10，x2x10，要使f(x1)f(x2)0，

11、只需(x1a)(x2a)0恒成立，a1.綜上所述，a的取值范圍為(0,112(2011上海高考)已知函數(shù)f(x)a2xb3x，其中常數(shù)a，b滿足ab0.(1)若ab0，判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2)若abf(x)時x的取值范圍解：(1)當(dāng)a0，b0時，任意x1，x2r，x1x2，則f(x1)f(x2)a(2x12x2)b(3x13x2)2x10a(2x12x2)0，3x10b(3x13x2)0，f(x1)f(x2)0，函數(shù)f(x)在r上是增函數(shù)同理，當(dāng)a0，b0，當(dāng)a0時，x，則xlog1.5；同理，當(dāng)a0，b0時，x，則xlog1.5.1設(shè)函數(shù)f(x)定義在實數(shù)集上，f(2x)f(x)，且

12、當(dāng)x1時，f(x)ln x，則有()aff(2)fbff(2)fcfff(2) df(2)ff解析：選c由f(2x)f(x)可知，f(x)的圖象關(guān)于直線x1對稱，當(dāng)x1時，f(x)ln x，可知當(dāng)x1時f(x)為增函數(shù)，所以當(dāng)x1時f(x)為減函數(shù)，因為|21|，所以ff0，y0都有ff(x)f(y)，當(dāng)x1時，有f(x)0.(1)求f(1)的值；(2)判斷f(x)的單調(diào)性并加以證明；(3)若f(4)2，求f(x)在1,16上的值域解：(1)當(dāng)x0，y0時，ff(x)f(y)，令xy0，則f(1)f(x)f(x)0.(2)設(shè)x1，x2(0，)，且x1x10.1，f0.f(x2)f(x1)，即f

13、(x)在(0，)上是增函數(shù)(3)由(2)知f(x)在1,16上是增函數(shù)f(x)minf(1)0，f(x)maxf(16)，f(4)2，由ff(x)f(y)，知ff(16)f(4)，f(16)2f(4)4，f(x)在1,16上的值域為0,41求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間解：設(shè)ux2x6，y.由x2x60，得x3或x2.結(jié)合二次函數(shù)的圖象可知，函數(shù)ux2x6在(，3上是遞減的，在2，)上是遞增的又函數(shù)y是遞增的，函數(shù)f(x)在(，3上是遞減的，在2，)上是遞增的2定義在r上的函數(shù)f(x)滿足：對任意實數(shù)m，n，總有f(mn)f(m)f(n)，且當(dāng)x0時，0f(x)f(1)，b(x，y)|f(axy)1，ar，若ab，試確定a的取值范圍解：(1)在f(mn)f(m)f(