九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 第二章 一元二次方程 5 一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系應(yīng)用例析素材 （新版）北師大版

1、應(yīng)用例析：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系對(duì)于一元二次方程，當(dāng)判別式時(shí)，其求根公式為：；若兩根為，當(dāng)0時(shí)，則兩根的關(guān)系為：；，根與系數(shù)的這種關(guān)系又稱為韋達(dá)定理；它的逆定理也是成立的，即當(dāng)，時(shí)，那么則是的兩根。一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，綜合性強(qiáng)，應(yīng)用極為廣泛，在中學(xué)數(shù)學(xué)中占有極重要的地位，也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重點(diǎn)。學(xué)習(xí)中，老師除了要求同學(xué)們應(yīng)用韋達(dá)定理解答一些變式題目外，還常常要求同學(xué)們熟記一元二次方程根的判別式存在的三種情況，以及應(yīng)用求根公式求出方程的兩個(gè)根，進(jìn)而分解因式，即。下面就對(duì)應(yīng)用韋達(dá)定理可能出現(xiàn)的問題舉例做些分析，希望能給同學(xué)們帶來小小的幫助。一、根據(jù)判別式，討論一元二次方程的根。例1：已

2、知關(guān)于的方程（1）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且關(guān)于的方程（2）沒有實(shí)數(shù)根，問取什么整數(shù)時(shí)，方程（1）有整數(shù)解？分析：在同時(shí)滿足方程（1），（2）條件的的取值范圍中篩選符合條件的的整數(shù)值。 解：方程（1）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根， 解得； 方程（2）沒有實(shí)數(shù)根， 解得； 于是，同時(shí)滿足方程（1），（2）條件的的取值范圍是 其中，的整數(shù)值有或 當(dāng)時(shí)，方程（1）為，無整數(shù)根； 當(dāng)時(shí)，方程（1）為，有整數(shù)根。 解得： 所以，使方程（1）有整數(shù)根的的整數(shù)值是。 說明：熟悉一元二次方程實(shí)數(shù)根存在條件是解答此題的基礎(chǔ)，正確確定的取值范圍，并依靠熟練的解不等式的基本技能和一定的邏輯推理，從而篩選出，這也正是解答本題的

3、基本技巧。二、判別一元二次方程兩根的符號(hào)。 例1：不解方程，判別方程兩根的符號(hào)。 分析：對(duì)于來說，往往二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)，常數(shù)項(xiàng)皆為已知，可據(jù)此求出根的判別式，但只能用于判定根的存在與否，若判定根的正負(fù)，則需要確定 或的正負(fù)情況。因此解答此題的關(guān)鍵是：既要求出判別式的值，又要確定 或的正負(fù)情況。 解：，42(7)650 方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。 設(shè)方程的兩個(gè)根為， 0 原方程有兩個(gè)異號(hào)的實(shí)數(shù)根。 說明：判別根的符號(hào)，需要把“根的判別式”和“根與系數(shù)的關(guān)系”結(jié)合起來進(jìn)行確定，另外由于本題中0，所以可判定方程的根為一正一負(fù)；倘若0，仍需考慮的正負(fù)，方可判別方程是兩個(gè)正根還是兩個(gè)負(fù)根。三、已知

4、一元二次方程的一個(gè)根，求出另一個(gè)根以及字母系數(shù)的值。 例2：已知方程的一個(gè)根為2，求另一個(gè)根及的值。 分析：此題通常有兩種解法：一是根據(jù)方程根的定義，把代入原方程，先求出的值，再通過解方程辦法求出另一個(gè)根；二是利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系求出另一個(gè)根及的值。 解法一：把代入原方程，得： 即 解得 當(dāng)時(shí)，原方程均可化為： ， 解得： 方程的另一個(gè)根為4，的值為3或1。 解法二：設(shè)方程的另一個(gè)根為， 根據(jù)題意，利用韋達(dá)定理得： ， ，把代入，可得： 把代入，可得： ， 即 解得 方程的另一個(gè)根為4，的值為3或1。 說明：比較起來，解法二應(yīng)用了韋達(dá)定理，解答起來較為簡(jiǎn)單。 例3：已知方程有兩個(gè)實(shí)

5、數(shù)根，且兩個(gè)根的平方和比兩根的積大21，求的值。 分析：本題若利用轉(zhuǎn)化的思想，將等量關(guān)系“兩個(gè)根的平方和比兩根的積大21”轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程，即可求得的值。 解：方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根， 解這個(gè)不等式，得0 設(shè)方程兩根為 則， 整理得： 解得： 又， 說明：當(dāng)求出后，還需注意隱含條件，應(yīng)舍去不合題意的。 四、運(yùn)用判別式及根與系數(shù)的關(guān)系解題。 例5：已知、是關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)非零實(shí)數(shù)根，問和能否同號(hào)？若能同號(hào)，請(qǐng)求出相應(yīng)的的取值范圍；若不能同號(hào)，請(qǐng)說明理由， 解：因?yàn)殛P(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)非零實(shí)數(shù)根， 則有 又、是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，所以由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，可得： 假設(shè)、同號(hào)，則有兩種可

6、能： （1） （2） 若， 則有： ； 即有： 解這個(gè)不等式組，得 時(shí)方程才有實(shí)樹根，此種情況不成立。 若 ， 則有： 即有： 解這個(gè)不等式組，得； 又，當(dāng)時(shí)，兩根能同號(hào) 說明：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系深刻揭示了一元二次方程中根與系數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，是分析研究有關(guān)一元二次方程根的問題的重要工具，也是計(jì)算有關(guān)一元二次方程根的計(jì)算問題的重要工具。知識(shí)的運(yùn)用方法靈活多樣，是設(shè)計(jì)考察創(chuàng)新能力試題的良好載體，在中考中與此有聯(lián)系的試題出現(xiàn)頻率很高，應(yīng)是同學(xué)們重點(diǎn)練習(xí)的內(nèi)容。六、運(yùn)用一元二次方程根的意義及根與系數(shù)的關(guān)系解題。例：已知、是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求的值。 分析：本題可充分運(yùn)用根的意義和根與系數(shù)的關(guān)系解

7、題，應(yīng)摒棄常規(guī)的求根后，再帶入的方法，力求簡(jiǎn)解。 解法一：由于是方程的實(shí)數(shù)根，所以 設(shè)，與相加，得： ） （變形目的是構(gòu)造和） 根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，有： ， 于是，得： =0解法二：由于、是方程的實(shí)數(shù)根， 說明：既要熟悉問題的常規(guī)解法，也要隨時(shí)想到特殊的簡(jiǎn)捷解法，是解題能力提高的重要標(biāo)志，是努力的方向。 有關(guān)一元二次方程根的計(jì)算問題，當(dāng)根是無理數(shù)時(shí)，運(yùn)算將十分繁瑣，這時(shí)，如果方程的系數(shù)是有理數(shù)，利用根與系數(shù)的關(guān)系解題可起到化難為易、化繁為簡(jiǎn)的作用。這類問題在解法上靈活多變，式子的變形具有創(chuàng)造性，重在考查能力，多年來一直受到命題老師的青睞。 七、運(yùn)用一元二次方程根的意義及判別式解題。例8：已知兩方程和至少有一個(gè)相同的實(shí)數(shù)根，求這兩個(gè)方程的四個(gè)實(shí)數(shù)根的乘積。 分析：當(dāng)設(shè)兩方程的相同根為時(shí)，根據(jù)根的意義，可以構(gòu)成關(guān)于和的二元方程組，得解后再由根與系數(shù)的關(guān)系求值。 解：設(shè)兩方程的相同根為， 根據(jù)根的意義， 有 兩式相減，得 當(dāng)時(shí)， ，方程的判別式 方程無實(shí)數(shù)解 當(dāng)時(shí)， 有實(shí)數(shù)解 代入原方程，得， 所以 于是，兩方程至少有一個(gè)相同的實(shí)數(shù)根，4個(gè)實(shí)數(shù)根的相乘積為 說明：（1）本題的易錯(cuò)點(diǎn)為忽略對(duì)的討論和判別式的作用，常常除