考研數(shù)學(xué)二公式高數(shù)線(xiàn)代費(fèi)了好大的勁技巧歸納

1、 高等數(shù)學(xué)公式 一、常用的等價(jià)無(wú)窮小 x 0當(dāng)時(shí) x -1 e ln（1+） tan sin arcsin arctan xxxxxx xln a -1ax (1+)-1 xx) (為任意實(shí)數(shù)，不一定是整數(shù) 12 1-cos xx2 增加113 3-sin arcsin 對(duì)應(yīng)xxxxxx66113 3 對(duì)應(yīng) - arctan tan xxxxxx33 二、利用泰勒公式 32xx32 x ） x?x?o（?xsinxx+ o（） 1 + = e2！!322xx22? ln（1+）= o（）cos= 1 o（） xxxxx ！22 導(dǎo)數(shù)公式：1?x)(arcsin2?xtgx()sec?2x1?2

2、?x?(ctgx)csc1?)?(arccosx?tgx?secx)x?(sec2x?1?ctgxx?(cscx)?csc1?)(arctgxxx? a(aa)ln?2x?111?(arcctgx)?)(logx a2x1?axln 基本積分表：dx? Ccosx?lntgxdx?2?Ctgx?xdx?sec 2xcos? Cctgxdx?x?lnsindx2?Cctgx?xdx?csc 2xsin? Csecxdx?x?tgx?lnsec?Cx?dx?secsecx?tgx? Cctgx?lncscx?cscxdx?Cx?csccscx?ctgxdxxdx1?C?arctg 22xa?xaa

3、ax?Cdx?a adx1?xaln?Cln? 22a2?axx?a?C?shxdx?chxxa1?dx?Cln?C?chxdx?shx 22x?ax?2aadxxdx22?C?x)?ax?ln(?Carcsin? 22aax?22xa? 221?nnn?IxdxcosI?sinxdx? 2n?nn002ax222222?C)x?x?a?x?adx?x?aln( 222ax 222222?C?a?dx?a?x?a?lnxxx 222xax2222?Carcsin?xdx?ax?a a22 三角函數(shù)的有理式積分：2dux22u1?ucosx?，u?x?，tg，dx?sin 2222u?1u?1u

4、?1 兩個(gè)重要極限：一些初等函數(shù)： xsinxx?ee?1lim?:shx雙曲正弦 x20?x1x?xe?ex.2.7182818284(1?)59045?e?lim?:chx雙曲余弦 x?x?2x?xe?eshx?thx雙曲正切:? x?xchxe?e2）?1arshx?ln(x?x2)x?ln(?x1?archx?x11?lnarthx? x?21 三角函數(shù)公式： 誘導(dǎo)公式： 函數(shù) ctg tg cos sin A 角 cos ctg-sin - tg sin tgctgcos-90 -ctg -sin cos+90 -tg -ctg-cos-180 sin tg ctgtg180+- -

5、sin cos tg 270- ctgsin-cos - sin -tg-cos- ctg270+ - ctgtg -360- sin -cosctgcos360sintg 和差化積公式： 和差角公式：?sincoscos)?sinsin(?cossinsin?sin?2 22?sin?)?cos?cossincos(?sin?sincos?2sin?tg?tg 22?)(tg? ?tg?tg1?cos2coscos?cos?1?ctgctg? 22?)?ctg( ?ctgctg?sincos?cos?sin2 22 倍角公式：?cos?2sin2sin3?sin?3sinsin342222?

6、sin?cos2?2coscos?1?1?2sin3?cos?4coscos332?1?ctg?ctg2 3?ctg2tg?3tg?tg3 2?tg31?tg2?tg2 2?tg1? 半角公式：?cos?1?1cos?cos?sin? 2222?sincos1?coscossin?1?cos11?tg?ctg ?221?coscos?sincos1?cossin11? cab222Cc2?aab?bcos?R?2 正弦定理：余弦定理： CBsinsinAsin ?arcctgxx?arccosxarctgx?arcsin 反三角函數(shù)性質(zhì)： 22 Leibniz）公式：高階導(dǎo)數(shù)公式萊布尼茲（n?

7、)k)(n?k(n)kvCu?(uv)n0k? )1?k?)(n?1)n(n?1?(nn)(n(n?1)k(?(n2)n(n?)k)(?uv?u?vv?nuuv?v?u !k2 中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用：?)?(a)f?(a)(b(拉格朗日中值定理：fb)?f?)?f()f(af(b?柯西中值定理： ?)a)F(F(b)?F拉格朗日中值定理。時(shí)，柯西中值定理就是)?x當(dāng)F(x 曲率：2?tg?dx,其中y弧微分公式：ds?1?y? ?弧長(zhǎng)。MM?sM:從M點(diǎn)到：點(diǎn)，切線(xiàn)斜率的傾角變平均曲率：K?化量；.?s?y?d?M點(diǎn)的曲率：K?lim?. ?sds32?0?s?)?1y(直線(xiàn)：K?0;1半徑為a

8、的圓：K?. a 定積分的近似計(jì)算：bab?)?y?)?y?(矩形法：yf(x 1?10nnab1?ab?)f(梯形法：y?yx(y?y)? 1?0n1n2nabab?y?y)f(拋物線(xiàn)法：x(y?y)?2y?y?y)?4y 1nn2?n24310?n3a 定積分應(yīng)用相關(guān)公式：功：W?F?s水壓力：F?p?Amm12,kk為引力系數(shù)引力：F? 2rb1 ?dx)f(x函數(shù)的平均值：y? b?aab12?dtt均方根：f)(a?ba 多元函數(shù)微分法及應(yīng)用?z?z?u?u?udx?dydu?dx全微分：dz?dy?dz ?x?y?x?y?z全微分的近似計(jì)算：?z?dz?f(x,y)?x?f(x,y

9、)?yyx多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法：dz?z?u?z?vz?fu(t),v(t)? dt?u?t?v?t?z?z?u?z?vz?fu(x,y),v(x,y)? ?x?u?x?v?x當(dāng)u?u(x,y)，v?v(x,y)時(shí)，?u?u?v?vdu?dx?dydv?dx?dy ?x?y?x?y隱函數(shù)的求導(dǎo)公式：2FFFy?d?dydyxxx)?)(0，?，?(?x隱函數(shù)F(,y) 2dxF?xF?yFdxdxyyyFF?z?zyx，?0?，?),(隱函數(shù)Fxyz F?F?xyzzF?FFF 0?v)F(x,y,u,?)GF,?(v?uvu?J?隱函數(shù)方程組：? GG?GG0)?G(x,y,u,v),v?(

10、u?vuv?u?)G?(F,?(F,G)v1?u1? )xu,v)?xJ?(?xJ?(x),GG)?v1?(F?u1?(F,? )y?yJ?(u,y?yJ?(,v) 微分法在幾何上的應(yīng)用： 方向?qū)?shù)與梯度： 多元函數(shù)的極值及其求法：C?,y)B,f(x)?A,f(x,y)?,f設(shè)f(x,y)?(x,y)?0，令：f(xy0yy00xx0yxyx000000?為極大值)x,yA?0,(?002時(shí)，0?B?AC?為極小值)x,yA?0,(?00? 2時(shí)，無(wú)極?0則：值A(chǔ)C?B?2不確定時(shí)?B,?0AC? 重積分及其應(yīng)用：?rdrdsincos),y)dxdy?rf(r(fx,?DD22?z?z?d

11、xdy1的面積曲面z?f(x,y)A?y?x?D?d)d)x,yyx(x,yMMyxDD?y?,平面薄片的重心：x? MM?d(x,),y(y)dxDD22?dy)(y,對(duì)于軸I?I平面薄片的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：對(duì)于x軸?xyxx(,y)d,yxDD平面薄片（位于xoy平面）對(duì)z軸上質(zhì)點(diǎn)M(0,0,a),(a?0)的引力：F?F,F,F，其中：zxy?xdy)yd,(x,(xyxdx(,y)?fa?FfF，f，F(xiàn)? zyx333222222222 DDD)a)?y?(xa?yx(?)x(?ya222 微分方程的相關(guān)概念：?0?,y)dyy)dx?Q(一階微分方程：yx?f(x,y)或P(x,的形式，解法

12、：dx(x)g(y)dy?f可分離變量的微分方程：一階微分方程可以化為?稱(chēng)為隱式通解。Cx)?(y)?F(g(y)dy?Gf(x)dx得：ydy?程可以寫(xiě)成齊次方程：一階微分方)，即寫(xiě)成?的函數(shù)，解法：(x,y?f(x,y) xdxyduydydududx?，u)，?分離變量，積分后將，則?u?x，u?代替(u設(shè)u? ?xu(u)?dxxdxdxx即得齊次方程通解。 一階線(xiàn)性微分方程：dy)x?Q(P(x)y1、一階線(xiàn)性微分方程：? dx?dxx)?P(Cey?0時(shí),為齊次方程，當(dāng)Q(x) ?dx)?P(P(x)dxx?eC)當(dāng)Q(x)?0時(shí)，為非齊次方程，y?(Q(x)edx?dyn)1n?

13、0?yQ(x)y,，(2、貝努力方程：?P(x) dx 全微分方程：分方程，即：0中左端是某函數(shù)的全微)dy?()dx?Qx,y如果P(x,yuu?)y(x,y)，?Q,(xy)dy?0，其中：?P(x,xdu(,y)?P(xy)dx?Q y?x通解。應(yīng)該是該全微分方程的?Cyu(x,)? 二階微分方程：f(x)?0時(shí)為齊次2ydyd?P(x)?Q(x)y?f(x)， 2dxdxf(x)?0時(shí)為非齊次二階常系數(shù)齊次線(xiàn)性微分方程及其解法： ?qy?0，其中p?py,q(*)y為常數(shù)；求解步驟：22?,yyy的系數(shù)；,q?0，其中r的系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)恰好是，r(*)式中(1、寫(xiě)出特征方程：?)r?pr

14、2、求出(?)式的兩個(gè)根r,r213、根據(jù)r,r的不同情況，按下表寫(xiě)出(*)式的通解： 21(*)式的通解 的形式rr， 21rxrx2ece?y0qp(?4?)c?21 兩個(gè)不相等實(shí)根21xr2e)xy?(c?(pc?4q?0)1 兩個(gè)相等實(shí)根 21?x2?)sincp(cos?4q?0)xxy?e?c(一對(duì)共軛復(fù)根 21?ii?，r?r?212pq?4p ?，?22 二階常系數(shù)非齊次線(xiàn)性微分方程?為常數(shù),q(x)y，?pyp?qy?f?x?為常數(shù)；型，P(xf(x)?e) m?x?型)sinx)cosxx?Pf(x)?e(xP(nl 式1、行列2n 個(gè)元素，展開(kāi)后有項(xiàng)，可分解為1. 行列式

15、共有行列式；n!nn2 代數(shù)余子式的性質(zhì)：2. 的大小無(wú)關(guān)；、和aAijij ；、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代數(shù)余子式為0 ；、某行（列）的元素乘以該行（列）元素的代數(shù)余子式為 Aji?j?i 代數(shù)余子式和余子式的關(guān)系：3. MA(?M(?1)1)?Aijijijij 行列式 設(shè)：4.nD1)?n(n 上、下翻轉(zhuǎn)或左右翻轉(zhuǎn)，所得行列式為將，則；DDD?D(?1)2111)?n(n o，則順時(shí)針或逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，所得行列式為； 將DD1)?DD(90222將主對(duì)角線(xiàn)翻轉(zhuǎn)后（轉(zhuǎn)置），所得行列式為，則； DDDD?33 ，則；將主副角線(xiàn)翻轉(zhuǎn)后，所得行列式為DDD?D44 5. 行列式的重要公

16、式： 、主對(duì)角行列式：主對(duì)角元素的乘積；1)?n(n ； 、副對(duì)角行列式：副對(duì)角元素的乘積1)?(2、上、下三角行列式（）：主對(duì)角元素的乘積； ? n(n?1) ； 和、：副對(duì)角元素的乘積?1)?( 2 CAAAOCOAmgn 、拉普拉斯展開(kāi)式：、 B?1)(?AABCCBOBOBB、范德蒙行列式：大指標(biāo)減小指標(biāo)的連乘積； 、特征值；n?kknn? ，其中為階主子式；6. 對(duì)于階行列式，恒有：? nAkSSA?(?1)Ekk1k? 的方法：7. 證明 0A? ；、 A?A 、反證法； ，證明其有非零解；、構(gòu)造齊次方程組0?Ax ；、利用秩，證明n?r(A) 是其特征值；、證明0 陣、矩2 階可

17、逆矩陣： 是1.nA （是非奇異矩陣）； 0?A? （是滿(mǎn)秩矩陣）?n?r(A) 的行（列）向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān)；?A 有非零解；齊次方程組?0?Axn ，總有唯一解；?bAx?R?b? 與等價(jià)；EA? 可表示成若干個(gè)初等矩陣的乘積；?A 0；的特征值全不為?AT 是正定矩陣；?AAn 的一組基；的行（列）向量組是?ARn 中某兩組基的過(guò)渡矩陣；是A?R* 成立；無(wú)條件恒 2. 對(duì)于階矩陣： nE?AAA?AAA*T*TT?1T?1?1*1 3. )?(A?)(A()(?(AA)(AA)11?1TTT*? A(AAB)(AB)?BA(AB)B?B? 矩陣是表格，推導(dǎo)符號(hào)為波浪號(hào)或箭頭；行列式是數(shù)值，

18、可求代數(shù)和；4. 、可逆：5. 關(guān)于分塊矩陣的重要結(jié)論，其中均BAA?1?A?2 若，則：?A?O?A?s、； AALA?As21?1?A1?1?A?1?2； 、?A?O?1?A?s1?1AO?OA?；（主對(duì)角分塊）、 ?1BOBO?1?1AO?BO?；（副對(duì)角分塊） 、?1?OBOA?1?11?1CA?CBAA?；（拉普拉斯）、 ?1BOBO?1?1AO?AO?、 ；（拉普拉斯）?1?11CB?BBCA?3、矩陣的初等變換與線(xiàn)性方程組 1. 一個(gè)矩陣，總可經(jīng)過(guò)初等變換化為標(biāo)準(zhǔn)形，其標(biāo)準(zhǔn)形是唯一確定的：n?mAEO?r； ?F?OO?m?n等價(jià)類(lèi)：所有與等價(jià)的矩陣組成的一個(gè)集合，稱(chēng)為一個(gè)等價(jià)類(lèi)

19、；標(biāo)準(zhǔn)形為其形狀最簡(jiǎn)A單的矩陣； 對(duì)于同型矩陣、，若； BABA:(B)?r(A)?r2. 行最簡(jiǎn)形矩陣： 、只能通過(guò)初等行變換獲得； 、每行首個(gè)非0元素必須為1； 、每行首個(gè)非0元素所在列的其他元素必須為0； 3. 初等行變換的應(yīng)用：（初等列變換類(lèi)似，或轉(zhuǎn)置后采用初等行變換） r:?1? ，則可逆，且、若；A)?X(E,(A?E)?,?A?Xc1?1?；變?yōu)闀r(shí)，就變成即： ，當(dāng)、對(duì)矩陣做初等行變化，BAE)B(A,)?(E,AB,(AB)BAr:可逆，則、求解線(xiàn)形方程組：對(duì)于個(gè)未知數(shù)個(gè)方程，如果nnA)x(E(A,b),bAx?1? ；且b?Ax 初等矩陣和對(duì)角矩陣的概念：4. 、初等矩陣是

20、行變換還是列變換，由其位置決定：左乘為初等行矩陣、右乘為初等列 矩陣；?1?2的各列元的各行元素；右乘，乘，左乘矩陣、，乘?AAA?ii?O?n素； 1?11?1，例如： ，、對(duì)調(diào)兩行或兩列，符號(hào)且；11?)iE(,j),i(,j)j(?EiE?11?1?1，例如且，號(hào)某乘、倍某行或列，符：)(E(ik)kiE()?Ei( k1?1?1?1?； 0)k?(k? ?k?1?1?1，如：符號(hào),且、倍加某行或某列，)k(ij(ij(k)(?EE)(ij(kE?11k1k? ；0)?(k?11?11?5. 矩陣秩的基本性質(zhì)： 、； )n?min(m,0?r(A)n?mT；、 )A)?rr(A(、若，則

21、； BA:)B?r(Ar()、若、可逆，則；（可逆矩陣不影響矩陣的秩） P)(PAQ?r(AQ)?rr(A)?r(PA)Q、；（） )(Br(A)?r),r(B)?r(A,B)?max(r(A、；（） )B(A)?r(r(A?B)?r、；（） )B(A),r(rr(AB)?min(、如果是矩陣，是矩陣，且，則：（） snn?m?BA0?AB 、的列向量全部是齊次方程組解（轉(zhuǎn)置運(yùn)算后的結(jié)論）； B0AX?、 n?B)A)?r(r(、若、均為階方陣，則； nBAn)?r(Br(AB)?r(A)6. 三種特殊矩陣的方冪： 、秩為1的矩陣：一定可以分解為列矩陣（向量）行矩陣（向量）的形式，再采用?結(jié)合

22、律； 1ac?的矩陣：利用二項(xiàng)展開(kāi)式；、型如 b10?100? 二項(xiàng)展開(kāi)式：n?n?mmmn11n?1nn0n1n?11mn?mmn? ；Cab?bCab?Ca?Cab?L?Cb?L)(a?b?Cannnnnn0m?n展開(kāi)后有項(xiàng)；注：、 1n?)?b(an(n?1)LL(n?m?1)n!0nm、 ?1?CC?C nnn)!1g2g3?mmm!(ngLgn?rnrr1mm?1mmn?m ；、組合的性質(zhì)：nC ?CC?2?CCCrC?C1nnn?n1nn?nn0r?、利用特征值和相似對(duì)角化： 7. 伴隨矩陣： nr(A)?n?*；、伴隨矩陣的秩： 1nA)?1?(rA)?(r?1?0n?)A(r?

23、AA*1*?；、伴隨矩陣的特征值： ? )A,AX?AAX?(AX?X?n?1 1*?* 、 A?AAAA?8. 關(guān)于矩陣秩的描述： A、，中有階子式不為0，階子式全部為0；（兩句話(huà)） nA1?nn)?r(A、，中有階子式全部為0； nAn?A)r(、，中有階子式不為0； nAn)?r(A9. 線(xiàn)性方程組：，其中為矩陣，則： n?mAbAx?、與方程的個(gè)數(shù)相同，即方程組有個(gè)方程； mmb?Ax、與方程組得未知數(shù)個(gè)數(shù)相同，方程組為元方程； nnbAx?10. 線(xiàn)性方程組的求解： b?Ax、對(duì)增廣矩陣進(jìn)行初等行變換（只能使用初等行變換）； B、齊次解為對(duì)應(yīng)齊次方程組的解； 、特解：自由變量賦初值后

24、求得； 11. 由個(gè)未知數(shù)個(gè)方程的方程組構(gòu)成元線(xiàn)性方程： nnmax?ax?L?ax?b?111n12n121?ax?ax?L?ax?b?2nn2211222； 、?LLLLLLLLLLL?ax?ax?L?ax?b?n12nmmm12naaLaxb?111112n1?aLxbaa?2n212222（向量方程，為矩陣，個(gè)方程，、mnm?Ab?Ax?MMMMOM?aLaaxb?mmmnm1m2 個(gè)未知數(shù)）nxb?11?xb?22、）； （全部按列分塊，其中?aaaL?21n?MM?bx?nn?（線(xiàn)性表出） 、?axax?L?ax?n2n121?（為未知數(shù)的個(gè)數(shù)或維數(shù)）、有解的充要條件： nn)A,

25、?r(A)?r(4、向量組的線(xiàn)性相關(guān)性 1. 個(gè)維列向量所組成的向量組：構(gòu)成矩陣； ?mn?mnA)LA,L,?(,m12m21T?1?T?TTT2；：構(gòu)成矩陣 個(gè)維行向量所組成的向量組?nmmn?B?B,L?m21M?T?m含有有限個(gè)向量的有序向量組與矩陣一一對(duì)應(yīng)； 2. 、向量組的線(xiàn)性相關(guān)、無(wú)關(guān) 有、無(wú)非零解；（齊次線(xiàn)性方程組） 0?Ax?、向量的線(xiàn)性表出 （線(xiàn)性方程組） 是否有解；b?Ax?、向量組的相互線(xiàn)性表示 （矩陣方程） 是否有解；B?AX?3. 矩陣與行向量組等價(jià)的充分必要條件是：齊次方程組和同解；0Bx?0?AxBAnln?m?P例(14) 101PT例( 15) ；4.)AA

26、A)?r(r(101維向量線(xiàn)性相關(guān)的幾何意義： 5.n?線(xiàn)性相關(guān) ； 、?0?、線(xiàn)性相關(guān) 坐標(biāo)成比例或共線(xiàn)（平行）； ?,、線(xiàn)性相關(guān) 共面； ?,6. 線(xiàn)性相關(guān)與無(wú)關(guān)的兩套定理： 若線(xiàn)性相關(guān)，則必線(xiàn)性相關(guān)； ?,L,L11sss12?2若線(xiàn)性無(wú)關(guān)，則必線(xiàn)性無(wú)關(guān)；（向量的個(gè)數(shù)加加減減，二者為?,L,L1?s2211s對(duì)偶） 若維向量組的每個(gè)向量上添上個(gè)分量，構(gòu)成維向量組： nn?rBAr若線(xiàn)性無(wú)關(guān)，則也線(xiàn)性無(wú)關(guān)；反之若線(xiàn)性相關(guān)，則也線(xiàn)性相關(guān)；（向量組的AABB維數(shù)加加減減） 簡(jiǎn)言之：無(wú)關(guān)組延長(zhǎng)后仍無(wú)關(guān)，反之，不確定； 7. 向量組（個(gè)數(shù)為）能由向量組（個(gè)數(shù)為）線(xiàn)性表示，且線(xiàn)性無(wú)關(guān)，則(二sABA

27、sr?rP定理7)；版 74P定理3）線(xiàn)性表示，則；（ 向量組能由向量組BA)r(A)?r(B86向量組能由向量組線(xiàn)性表示 BA有解； B?AXP定理2） （ )?r(A,B?r(A85P定理2推論） 能由向量組 向量組等價(jià)（BA)A(,B?r(A)?r(B)?r858. 方陣可逆存在有限個(gè)初等矩陣，使； ?APPPLA?PP,P,L,ll2211r 與同解（左乘，、矩陣行等價(jià)：可逆）BPA?AB?P0Bx0?Ax?c ；、矩陣列等價(jià)：（右乘，可逆）QBAAQ?B? 、可逆）；（、矩陣等價(jià)：PQB?PAQ?AB 對(duì)于矩陣與：9. BAnn?l?m 與的行秩相等；、若與行等價(jià)，則BBAA的任何對(duì)

28、應(yīng)的列向量組具有與與行等價(jià)，則與同解，且、若BBAA0Bx?Ax0? 相同的線(xiàn)性相關(guān)性； 、矩陣的初等變換不改變矩陣的秩； 、矩陣的行秩等于列秩；A 若，則：10. CA?Bn?ms?sn?m 為系數(shù)矩陣；的列向量組線(xiàn)性表示，、的列向量組能由BACT 的行向量組線(xiàn)性表示，的行向量組能由、（轉(zhuǎn)置）為系數(shù)矩陣；BCA11. 齊次方程組的解一定是的解，考試中可以直接作為定理使用，而無(wú)需證0ABxBx?0?明； 、 只有零解只有零解； 0?0Bx?ABx、 有非零解一定存在非零解； 0?0ABx?BxP題19結(jié)論）設(shè)向量組可由向量組線(xiàn)性表示為：（ 12. a,b,A:a,a,LB:b,b,L110sr2n?r1n1?2s（） AKB?Ka)ab)?(a,L,(b,b,L,s2r211 其中為，且線(xiàn)性無(wú)關(guān)，則組線(xiàn)性無(wú)關(guān)；（與的列向量組具有rs?KKBABr)?r(K相同線(xiàn)性相關(guān)性） （必要性：；充分性：反證法） r?r(K)K),r()?r,?Qr?r(B)?r(AK)?r(K 注：當(dāng)時(shí)，為方陣，可當(dāng)作定理使用； sr?KP）（ ， 、的