微分方程在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用

1、.第四節(jié) 微分方程在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用微分方程在經(jīng)濟(jì)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，有關(guān)經(jīng)濟(jì)量的變化、變化率問題常轉(zhuǎn)化為微分方程的定解問題一般應(yīng)先根據(jù)某個(gè)經(jīng)濟(jì)法則或某種經(jīng)濟(jì)假說建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型，即以所研究的經(jīng)濟(jì)量為未知函數(shù)，時(shí)間t為自變量的微分方程模型，然后求解微分方程，通過求得的解來解釋相應(yīng)的經(jīng)濟(jì)量的意義或規(guī)律，最后作出預(yù)測(cè)或決策，下面介紹微分方程在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的幾個(gè)簡(jiǎn)單應(yīng)用一、 供需均衡的價(jià)格調(diào)整模型在完全競(jìng)爭(zhēng)的市場(chǎng)條件下，商品的價(jià)格由市場(chǎng)的供求關(guān)系決定，或者說，某商品的供給量S及需求量D與該商品的價(jià)格有關(guān)，為簡(jiǎn)單起見，假設(shè)供給函數(shù)與需求函數(shù)分別為S=a1+b1P, D=a-bP,其中a1,b1,a,b均為常

2、數(shù)，且b10,b0；P為實(shí)際價(jià)格供需均衡的靜態(tài)模型為顯然，靜態(tài)模型的均衡價(jià)格為Pe=對(duì)產(chǎn)量不能輕易擴(kuò)大，其生產(chǎn)周期相對(duì)較長(zhǎng)的情況下的商品，瓦爾拉（alras）假設(shè)：超額需求D(P)-S(P)為正時(shí)，未被滿足的買方愿出高價(jià)，供不應(yīng)求的賣方將提價(jià)，因而價(jià)格上漲；反之，價(jià)格下跌，因此，t時(shí)刻價(jià)格的變化率與超額需求D-S成正比，即=k(D-S)，于是瓦爾拉假設(shè)下的動(dòng)態(tài)模型為整理上述模型得=l(Pe-P),其中l(wèi)=k(b+b1)0,這個(gè)方程的通解為P(t)=Pe+Ce-lt假設(shè)初始價(jià)格為P(0)=P0,代入上式得，C=P0-Pe,于是動(dòng)態(tài)價(jià)格調(diào)整模型的解為P(t)=Pe+(P0-Pe)e-lt，由于l0

3、，故=Pe這表明，隨著時(shí)間的不斷延續(xù)，實(shí)際價(jià)格P(t)將逐漸趨于均衡價(jià)格Pe二、 索洛(Solow)新古典經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)模型設(shè)Y(t)表示時(shí)刻t的國(guó)民收入，K(t)表示時(shí)刻t的資本存量，L(t)表示時(shí)刻t的勞動(dòng)力，索洛曾提出如下的經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)模型：其中s為儲(chǔ)蓄率(s0)，l為勞動(dòng)力增長(zhǎng)率(l0)，L0表示初始勞動(dòng)力(L00)，r=稱為資本勞力比，表示單位勞動(dòng)力平均占有的資本數(shù)量將K=rL兩邊對(duì)t求導(dǎo)，并利用=lL，有又由模型中的方程可得=sLf(r,1),于是有+lr=sf(r,1) (10-4-1)取生產(chǎn)函數(shù)為柯布-道格拉斯(Cobb-Douglas)函數(shù)，即f(K,L)=A0KaL1-aA0Lra，

4、其中A00，0a1均為常數(shù)易知f(r,1)=A0ra，將其代入(10-4-1)式中得+lr=sA0ra (10-4-2)方程兩邊同除以ra，便有r-a+lr1-a=sA0令r1-a=z,則=(1-a)l-a ,上述方程可變?yōu)?(1-a)lz=sA0(1-a)這是關(guān)于z的一階非齊次線性方程，其通解為z=Ce-l(1-a)t+ (C為任意常數(shù))以z=r1-a代入后整理得r(t)=當(dāng)t=0時(shí)，若r(0)=r0,則有C=r01-aA0于是有r(t)= 因此， 事實(shí)上，我們?cè)?10-4-2)式中，令=0,可得其均衡值re=.三、 新產(chǎn)品的推廣模型設(shè)有某種新產(chǎn)品要推向市場(chǎng)，t時(shí)刻的銷量為x(t),由于產(chǎn)品

5、良好性能，每個(gè)產(chǎn)品都是一個(gè)宣傳品，因此，t時(shí)刻產(chǎn)品銷售的增長(zhǎng)率與x(t)成正比，同時(shí)，考慮到產(chǎn)品銷售存在一定的市場(chǎng)容量N，統(tǒng)計(jì)表明與尚未購買該產(chǎn)品的潛在顧客的數(shù)量N-x(t)也成正比，于是有=kx(N-x)， (10-4-3)其中k為比例系數(shù)，分離變量積分，可以解得x(t)= (10-4-4)方程(10-4-3)也稱為邏輯斯諦模型，通解表達(dá)式(10-4-4)也稱為邏輯斯諦曲線由=以及=，當(dāng)x(t*)N時(shí)，則有0，即銷量x(t)單調(diào)增加當(dāng)x(t*)=時(shí)，=0;當(dāng)x(t*)時(shí)，0；當(dāng)x(t*)時(shí)，0即當(dāng)銷量達(dá)到最大需求量N的一半時(shí)，產(chǎn)品最為暢銷，當(dāng)銷量不足N一半時(shí)，銷售速度不斷增大，當(dāng)銷量超過一半

6、時(shí)，銷售速度逐漸減小國(guó)內(nèi)外許多經(jīng)濟(jì)學(xué)家調(diào)查表明，許多產(chǎn)品的銷售曲線與公式(10-4-4)的曲線十分接近，根據(jù)對(duì)曲線性狀的分析，許多分析家認(rèn)為，在新產(chǎn)品推出的初期，應(yīng)采用小批量生產(chǎn)并加強(qiáng)廣告宣傳，而在產(chǎn)品用戶達(dá)到20%到80%期間，產(chǎn)品應(yīng)大批量生產(chǎn)，在產(chǎn)品用戶超過80%時(shí)，應(yīng)適時(shí)轉(zhuǎn)產(chǎn)，可以達(dá)到最大的經(jīng)濟(jì)效益習(xí)題10-41 某公司辦公用品的月平均成本C與公司雇員人數(shù)x有如下關(guān)系：C=C2e-x-2C且C(0)=1,求C(x)2 設(shè)R=R(t)為小汽車的運(yùn)行成本，S=S(t)為小汽車的轉(zhuǎn)賣價(jià)值，它滿足下列方程：R=, S=-bS,其中a,b為正的已知常數(shù)，若R(0)=0,S(0)=S0(購買成本)，求R(t)與S(t)3 設(shè)D=D(t)為國(guó)民債務(wù)，Y=Y(t)為國(guó)民收入，它們滿足如下的關(guān)系：D=aY+b, Y=gY其中a,b,g為正已知常數(shù)(1) 若D(0)=D0,Y(0)=Y0,求D(t)和Y(t);(2) 求極限4 設(shè)C=C(t)為t時(shí)刻的消費(fèi)水平，I=I(t)為t時(shí)刻的投資水平，Y=Y(t)為t時(shí)刻的國(guó)民收入，它們滿足下列方程(1) 設(shè)Y(0)=Y0，求Y(t),C(t),I(t);(2) 求極限5 某養(yǎng)殖場(chǎng)在一池塘內(nèi)養(yǎng)魚，該池塘最多能養(yǎng)魚5000條，魚可以自然