初中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)資料二元一次方程的整數(shù)解

1、初中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)資料（10）二元一次方程的整數(shù)解甲內(nèi)容提要1， 二元一次方程整數(shù)解存在的條件：在整系數(shù)方程ax+by=c中，若a,b的最大公約數(shù)能整除c,則方程有整數(shù)解。即如果（a,b）|c 則方程ax+by=c有整數(shù)解顯然a,b互質(zhì)時(shí)一定有整數(shù)解。例如方程3x+5y=1, 5x-2y=7, 9x+3y=6都有整數(shù)解。返過來也成立，方程9x+3y=10和 4x-2y=1都沒有整數(shù)解，（9，3）3，而3不能整除10；（4，2）2，而2不能整除1。一般我們?cè)谡麛?shù)集合里研究公約數(shù)，（a,b）中的a,b實(shí)為它們的絕對(duì)值。2， 二元一次方程整數(shù)解的求法：若方程ax+by=c有整數(shù)解，一般都有無數(shù)多個(gè)，

2、常引入整數(shù)k來表示它的通解（即所有的解）。k叫做參變數(shù)。方法一，整除法：求方程5x+11y=1的整數(shù)解解：x= (1) , 設(shè)是整數(shù)），則y=1-5k (2) ,把（2）代入（1）得x=k-2(1-5k)=11k-2原方程所有的整數(shù)解是（k是整數(shù)）方法二，公式法：設(shè)ax+by=c有整數(shù)解則通解是（x0,y0可用觀察法）3， 求二元一次方程的正整數(shù)解： 出整數(shù)解的通解，再解x,y的不等式組，確定k值 用觀察法直接寫出。乙例題例1求方程5x9y=18整數(shù)解的能通解解x=設(shè)（k為整數(shù)），y=35k,代入得x=99k 原方程整數(shù)解是（k為整數(shù)） 又解：當(dāng)x=o時(shí)，y=2，方程有一個(gè)整數(shù)解它的通解是（k

3、為整數(shù)）從以上可知整數(shù)解的通解的表達(dá)方式不是唯一的。例2，求方程5x+6y=100的正整數(shù)解解：x=(1)， 設(shè)(k為整數(shù))，則y=5k,(2)把（2）代入（1）得x=20-6k，解不等式組得0k,k的整數(shù)解是1，2，3，正整數(shù)解是例3，甲種書每本3元，乙種書每本5元，38元可買兩種書各幾本？解：設(shè)甲種書買x本，乙種書買y本，根據(jù)題意得3x+5y=38（x,y都是正整數(shù)）x1時(shí)，y=7，是一個(gè)整數(shù)解通解是（k為整數(shù)）解不等式組得解集是整數(shù)k=0，1，2把k=0,1,2代入通解，得原方程所有的正整數(shù)解答：甲、乙兩種書分別買1和7本或6和4本或11和1本。丙練習(xí)101， 求下列方程的整數(shù)解公式法：

4、x+7y=4, 5x-11y=3整除法：3x+10y=1, 11x+3y=42,求方程的正整數(shù)解：5x+7y=87,5x+3y=1103，一根長10000毫米的鋼材，要截成兩種不同規(guī)格的毛坯，甲種毛坯長300毫米，乙種毛坯長250毫米，有幾種截法可百分之百地利用鋼材？4， 兄弟三人，老大20歲，老二年齡的2倍與老三年齡的5倍的和是97，求兄弟三人的歲數(shù)。5， 下列方程中沒有整數(shù)解的是哪幾個(gè)？答：（填編號(hào)） 4x2y=11, 10x-5y=70, 9x+3y=111,18x-9y=98, 91x-13y=169, 120x+121y=324.6, 一張?jiān)噹営?0道選擇題，選對(duì)每題得5分，選錯(cuò)每題反扣2分，不答得0分，小這軍同學(xué)得48分，他最多得幾分？7用觀察法寫出方程3x+7y=1幾組整數(shù)解：y=142x=參考答案練習(xí)101. 公式法由特解得通解（k為整數(shù)）由特解得通解