概率論 第三版 龍永紅概率輔導2

1、2隨機變量及其分布21基本要求隨機變量的引入在概率論發(fā)展史中意義十分重大，這一概念的引入使得試驗結果數(shù)量化了。因此，隨機變量與它的分布是概率統(tǒng)計討論的核心內(nèi)容。1理解隨機變量及其概率分布的概念。2理解分布函數(shù)的概念及性質(zhì)，會計算與隨機變量相聯(lián)系的事件的概率。3理解離散型隨機變量及其概率分布的概念，側重把握它的分布律（列）及其性質(zhì)，其中，從實際問題出發(fā)建立分布律是學習中的難點。在眾多的離散型分布中，重點是掌握兩點分布、二項分布、超幾何分布和泊松分布及其應用。4了解泊松定理的結論和應用條件，會用泊松分布近似表示二項分布。5理解連續(xù)型隨機變量的概念，重點是把握它的概率密度及其性質(zhì)，并能深入掌握均勻分

2、布、指數(shù)分布、正態(tài)分布與它們的特征，會用這些分布解決一些簡單的問題。6熟練掌握分布函數(shù)與分布律、概率密度的互求，這既是難點也是應用中的重點。7會根據(jù)自變量的概率分布求其簡單函數(shù)的概率分布。22內(nèi)容提要221隨機變量與它的分布函數(shù)1隨機變量的概念隨機變量x是定義在樣本空間W上的實值集函數(shù)，它具有取值的不確定性(隨機性)和取值范圍及相應概率的確定性(統(tǒng)計規(guī)律性)兩大特征。特別是后一特征表明，對于任意實數(shù)x，事件xx都有確定的概率。常用的隨機變量按取值方式可分為離散型和連續(xù)型兩類。2分布函數(shù)與它的基本性質(zhì)對于隨機變量x 以及任意實數(shù)x，稱一元函數(shù) F(x)=Pxx 為x的分布函數(shù)。由此可見，分布函數(shù)

3、是定義域為、值域為0，1的實函數(shù)。其基本性質(zhì)是：(1) ，對一切成立；(2)F(x)是一個單調(diào)不減函數(shù)，即當時，有 ；(3)F(x)是右連續(xù)的，即F(x +0)=F(x)；(4)。反之，具有這四條性質(zhì)的函數(shù)一定是某個隨機變量的分布函數(shù)。若F(x)為隨機變量x的分布函數(shù)，則對于任意的a，b(aa時，。則稱服從以n，N，M為參數(shù)的超幾何分布。簡記為。注：若n 是一取定的自然數(shù)，且，則有。即當N充分大時，隨機變量就近似服從二項分布B(n,p)。（4）泊松分布若隨機變量有分布律為常數(shù)則稱服從參數(shù)為的泊松分布，簡記為。注：泊松分布的背景是與泊松定理分不開的，即設0是一常數(shù)，n 是任意正整數(shù)，設，則對于任

4、一固定的非負整數(shù)k，有 。故當n很大，p很小時(np10)的二項分布可用下式近似計算：由此發(fā)現(xiàn)，在大量試驗中稀有事件出現(xiàn)的次數(shù)常可用泊松分布來描述。3分布律與分布函數(shù)的計算（1）分布律已知時分布函數(shù)的求解當分布律給定時，運用逐段求和可求得分布函數(shù)，即 ?？梢?，離散型場合下的分布函數(shù)是一個右連續(xù)的分段階梯函數(shù)，在處有跳躍。（2）分布函數(shù)已知時分布律的求解當分布函數(shù)已知時，通過逐段求差可求得分布律。隨機變量的取值即為分布函數(shù)的間斷點，而取值的概率由下式給出： 綜上所述，離散型隨機變量的分布律和分布函數(shù)可以相互唯一確定。223連續(xù)型隨機變量及其概率密度1概率密度與它的基本性質(zhì)設對于隨機變量x的分布函

5、數(shù)F(x)，如果存在非負可積函數(shù)f(x)， 使得對任意的實數(shù)x，都有 成立,則稱x為連續(xù)型隨機變量，f(x)便是x的概率密度（或分布密度）。概率密度具有如下基本性質(zhì)：(1) (非負性)；(2) (規(guī)范性)；(3)對任何實數(shù)c，有；對任意的實數(shù)a，b(aa為常數(shù)。則稱服從區(qū)間(a, b)上的均勻分布，簡記為。均勻分布是等可能概型在連續(xù)情形下的推廣。（2）指數(shù)分布若隨機變量的概率密度為 其中0為常數(shù)，則稱服從參數(shù)為的指數(shù)分布，簡記為。服從指數(shù)分布的隨機變量具有“無記憶性”，即對任意的s,t0，有 （3）分布設隨機變量有概率密度 其中0, 0為常數(shù)。則稱服從參數(shù)為，的分布，簡記為。這里是以(0)為參

6、變量的函數(shù)。值得一提的是，G函數(shù)以及與此有關的若干個積分，例如，等，在某些連續(xù)型隨機變量概率計算中化繁為簡的作用非常突出。一般情況下，凡是被積函數(shù)是冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的乘積，而積分區(qū)間是(0，)或者可以轉化為(0，)的情形，運用G函數(shù)完成計算特別方便。（4）正態(tài)分布設隨機變量有概率密度 其中，為常數(shù)。則稱服從參數(shù)為，的正態(tài)分布，簡記為 。特別，當=0，=1時，有 。此時稱服從標準正態(tài)分布。簡記為N(0，1)。 3概率密度與分布函數(shù)的互求當概率密度給定時，運用逐段積分可求得分布函數(shù)。即 ，如此得到的分布函數(shù)是定義在整個實數(shù)軸上的連續(xù)函數(shù)。反之，當分布函數(shù)已知時，在f(x)的連續(xù)點上運用逐段微分可求

7、得概率密度。即 。可見，連續(xù)型隨機變量的概率密度和分布函數(shù)亦可以相互唯一確定。224給定分布時的概率計算小結(1)分布律已知時的概率計算公式是 。(2)概率密度已知時的概率計算公式是 。(3)分布函數(shù)已知時的概率計算公式是 。(4)正態(tài)分布下的概率計算公式是 ， 其中rvx；F(x)為標準正態(tài)分布函數(shù)。當x0時其數(shù)值可查標準正態(tài)分布函數(shù)數(shù)值表(以下簡稱正態(tài)分布表)直接得到；對于負實數(shù)x，在公式F(x)=1-F(-x)轉化下，仍可查表求值。225隨機變量函數(shù)的分布隨機變量x的函數(shù)在一定條件下仍是隨機變量。h的分布可由x的已知分布確定。但在求h的分布具體處理方法上，離散型和連續(xù)型是有區(qū)別的。1離散

8、型隨機變量x的函數(shù)分布設x為一離散型隨機變量，其分布律為x1x2xnpip1p2pn則當諸的值互異時，h的分布律為pip1p2pn 如果中有某些值相同時，則將相應概率相加之后予以合并處理，必要時重新排序后寫出h的分布律?？梢?，在離散型場合下，h的分布律完全由x的分布律確定。2連續(xù)型隨機變量x的函數(shù)分布設x為連續(xù)型隨機變量，其概率密度為，則仍為連續(xù)型隨機變量，其概率密度的計算步驟為：(1) 根據(jù)x的概率密度，求出的分布函數(shù) 其中，(2) 對求導得的概率密度在函數(shù)可導且嚴格單調(diào)時，的概率密度為 ，其中是嚴格單調(diào)可微函數(shù)(與對應的普通函數(shù))的反函數(shù)。至于的取值范圍，原則上將由中x的取值范圍及中的的允

9、許范圍討論確定?？梢姡B續(xù)型場合下，的概率密度完全由x的概率密度確定。23典型例題分析例1有甲、乙 兩個口袋，兩袋分別裝有3個白球和2個黑球?，F(xiàn)從甲袋中任取一球放入乙袋，再從乙袋任取4個球，求從乙袋中取出的4個球中包含的黑球數(shù)的分布律。解： 設A=甲袋中取出的一球為黑球，Bi= 從乙袋中取出的四球中有i個黑球，則 由全概公式可得類似可得 。故的分布律為0123注: 從求解中看到，求分布律的過程實際上是求一系列隨機事件的概率，所以隨機變量這一概念遠比隨機事件廣泛而深刻。例2 假設某射擊運動員，其射擊的命中率為0.7。試求：(1)該運動員進行1次射擊，命中次數(shù)的分布律；(2)該運動員進行4次射擊，

10、命中次數(shù)的分布律；(3)頂多射擊4次且命中即停止射擊，該運動員停止射擊時，射擊次數(shù)的分布律。解： (1)記射擊1次時的命中次數(shù)為隨機變量x。于是，x服從p=0.7的兩點分布。另記命中與“1”對應，不命中與“0”對應，故有rvxB(1，0.7)，即所求的分布律為 。(2)記射擊4次的命中次數(shù)為隨機變量h。于是，h服從n=4、p=0.7的二項分布，即rvhB(4，0.7)，故其分布律為 (3)記停止射擊時射擊次數(shù)為隨機變量z，其可能取值為1，2，3，4。如果停止射擊發(fā)生在前3次中的某一次，則射擊次數(shù)的概率為 ，停止射擊發(fā)生在第4次射擊，則情況有所不同：可以是第4次命中而停止射擊；也可以是第4次射擊

11、未命中但由于頂多射擊4次而停止射擊。故此時射擊次數(shù)的概率為 。綜上，停止射擊時射擊次數(shù)的分布律為1234pi0.70.210.0630.027 注： 這是一個識別分布類型的基礎性訓練題，尤其（3）不要與幾何分布混淆。求解這類題，建立滿足題設要求的分布律，有以下三個步驟：1)明確題設中試驗的意義及相應隨機變量所有可能取值；2)逐一求出隨機變量每個可能取值的概率；3)檢驗概率和為1之后，按規(guī)范形式寫出分布律。例3 設服從 Poisson 分布，且已知，求。解 由 P=1=P=2,即得解出，但應是正數(shù)，故舍去，取，故 。例4 某商店出售某種商品,據(jù)歷史記載分析,月銷售量服從泊松分布，參數(shù)為5，問在月

12、初進貨時至少要庫存多少件此種商品，才能以0.999的概率滿足顧客的需要。解： 設 表示商品的月銷售量，則由服從參數(shù)為5的泊松分布，其概率分布為 由題意，應確定 m 使得 ，即 ，查泊松分布表得 m+1=14,或 m=13，即在月初進貨時，至少要庫存13件此種商品。注: 這類題目涉及到管理、營銷等方面的優(yōu)化對策問題，是來自實際的問題。而且貫穿其中的解題思路很有代表性，有較高的應用價值。例5 一批產(chǎn)品中有15%的次品，現(xiàn)進行獨立重復抽樣檢查，共抽取20個樣品，問抽出的20個樣品中最大可能的次品數(shù)是多少？并求其概率。分析：設抽出的20個樣品中次品數(shù)為，則有。問題是當k多大時，最大。設時最大，則有 。

13、解：考慮與的比故當且僅當。同理，當且僅當。因此，當最大時，k只能取3，且注：一般，若，則當(n+1)p不是整數(shù)時，k=(n+1)p時，最大；則當(n+1)p是整數(shù)時，k= (n+1)p或k= (n+1)p-1時，最大。對泊松分布有類似的結論。若，則當不是整數(shù)時，當時，最大；當是整數(shù)時，當或時，取得最大值。例6 設在6只零件中有4只是正品，從中抽取4次，每次任取1只，以表示取出正品的只數(shù)，分別在有放回、不放回抽樣下。（1）求的分布律，（2）求的分布函數(shù)并畫出圖形。解：（1）在有放回抽樣下，服從 為參數(shù)的二項分布，其分布律為。01234在不放回抽樣下，服從 為參數(shù)的超幾何分布，其分布列為。234(

14、2)離散型場合下，求分布函數(shù)是按公式 對x的不同取值實施逐段求和。于是，先就不放回抽取進行逐段討論。當x2時，有 ；當2x3時，有 ；當3x4時，有 ；當x4時，有 。綜合逐段求和的結果，有 其直觀形象由圖2-1所示。求分布函數(shù)的逐段求和，實際上就是在x由小到大的排序下，相應分布函數(shù)的取值從0開始逐段將概率累加即可。例如，放回抽取下的分布函數(shù)可按如下方法求解：其直觀形象由圖2-2所示。 圖2-1 圖2-2注: 離散型場合下分布函數(shù)的求法，本題給出兩種具體方案：不放回抽取下寫出了逐段求和的全過程；放回抽取下只是給出了求和的結果。前者思路清晰，便于理解，但書寫繁瑣；后者書寫簡便。如果讀者確實對逐段

15、求和的求解思路是清楚的，那么，具體解題時可采用書寫簡便的后一種解法。分布函數(shù)的定義域是(),因而只有就整個實數(shù)范圍給出的表達式才是完整答案。離散型場合下，分布函數(shù)的圖象是位于實數(shù)軸上方的階梯曲線，左右兩側應該延伸至無窮。因此，如果只從某一點開始沿實數(shù)軸向右給出圖示是錯誤的。此外，作為分布函數(shù)F(x)的分段區(qū)間必為左閉右開。理由請讀者思考。例7 已知離散型隨機變量x有分布函數(shù) 試求：(1) x的分布律；(2) (用兩種方法)。解：(1) 已知分布函數(shù)求分布律是按公式 依據(jù)逐段求差的思路進行的，注意到分布函數(shù)F(x)的間斷點即為隨機變量的取值。于是有 , , 。故有 -1230.30.20.5(2

16、) 或 。例8 確定下列函數(shù)中的待定系數(shù)a，使它們成為概率密度，并求它們的分布函數(shù)。（1），（2） 。解：（1）。因分布函數(shù)是定義在全體實數(shù)上的，而概率密度函數(shù)是分段定義的，故分布函數(shù)的求解要分段討論。當時，f(x)=0，所以。當時，當時，綜上有（2）。類似（1）的分段討論可得注: 確定隨機變量的概率密度f(x)中的參數(shù)時，一般用性質(zhì)來求解；此外，連續(xù)型場合下分布函數(shù)是以概率密度f(x)為被積函數(shù)的變上限的廣義積分。與離散型場合不同的是，它是自變量x的連續(xù)函數(shù)，其圖象是位于實數(shù)軸上方介于0,1之間的連續(xù)曲線。由概率密度f(x)求分布函數(shù)時，由于概率密度常常是分段給出的，故分布函數(shù)的計算也要分段

17、討論計算。例9設隨機變量的概率密度為,且是隨機變量的分布函數(shù),則對任意實數(shù)a 有 ,試證之。分析：因題中不涉及具體函數(shù)，故證明要用分布函數(shù)的定義來討論。證： 有 ，所以 。例10 設連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)為求：（1）A，B的值；（2）的概率密度；（3）。解： （1）由連續(xù)型隨機變量的性質(zhì)可知，F(xiàn)(x)是連續(xù)的函數(shù)?？紤]F(x)在x=0，x=1兩點的連續(xù)性，有, 因此A=B （1）又 , 可知B=1-A （2）由（1），（2）兩式，得。于是，得（2）的概率密度為（3）或 注：確定連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)中的常數(shù)，一般可用分布函數(shù)的性質(zhì)及其連續(xù)性。*例11 設k在(0,5)上服從均勻分布，求方程

18、有實根的概率。解： 依題意得k的分布函數(shù)為：又，方程有實根的條件是：即解得或，因不在區(qū)間（0，5）上，故舍去，最后得。因此，所求概率為.例12 已知隨機變量x有分布律x-2 0 1 2 5pi0.3 0.2 0.25 0.1 0.15試求：的分布律。解： 用對應列表的思路，先給出輔助表格，再據(jù)此重新排序后直接寫出分布律。x-2 0 1 2 55 1 2 5 268 2 -1 -4 -13pi0.3 0.2 0.25 0.1 0.15于是與的分布律分別為：-13-4-128pi0.150.10.250.20.3 12526pi0.20.250.40.15*例13 在電源電壓不超過200V，在20

19、0240V和超過240V三種情況下，某種電子元件損壞的概率分別為0.1, 0.001和0.2。假設電源電壓服從正態(tài)分布N(220, 252)，試求：（1）該電子元件損壞的概率；（2）該電子元件損壞時，電源電壓在200240V的概率.解：引進下列事件：A1=電壓不超過200V，A2=電壓在200V240V，A3=電壓超過240V，B=電子元件損壞。由于N(220, 252)，因此由題設知 P(B|A1)=0.1, P(B|A2)=0.001, P(B|A3)=0.2。（1）由全概率公式 注：本例為正態(tài)分布與古典概率相結合的問題。利用全概公式和貝葉斯公式是解決問題的關鍵，一定要找全“原因”及“結果

20、”。例14 某學校擬招生155人，按考試成績錄取?，F(xiàn)有526名學生報名，其考試成績，已知90分以上有12人，60分以下有83人，若從高分到低分依次錄取，某人成績?yōu)?8分，問此人能否錄??？分析：本題首先應根據(jù)條件求出正態(tài)分布的兩個參數(shù)，其次求出錄取分數(shù)線或該生的排名即可解決問題。解： 根據(jù)題設條件有：，從而故 =0.9772反查標準正態(tài)分布表可得： （1）同樣，根據(jù)題設條件有：，同上可得1時，所以 故 最后得 （3），y=|x|，不是x的嚴格單調(diào)函數(shù)，故不能直接引用定理求解。與（2）一樣用分布函數(shù)法分段討論求解。當，y0，此時 故 當y19.6出現(xiàn)的次數(shù)，服從參數(shù)為n=100, p=0.05的二

21、項分布，所求概率由，泊松定理，近似服從參數(shù)為=np=1000.05=5的泊松分布，從而注：該例為一個綜合應用題，第二步的計算也可用中心極限定理，但由于這里p10=1-P10=1-F(10)因表示一個月他未等到服務而離開的次數(shù)，故取值為0，1，2，3，4，5。由貝努利概型知 。所以的分布律為且 注：本題考察利用貝努利概型求解連續(xù)型隨機變量中的相關概率問題，這類題型曾多次出現(xiàn)在考研題中。*例19 設隨機變量的概率密度為 F(x)是的分布函數(shù)，求隨機變量=F()的分布函數(shù)。解：先求的分布函數(shù)F(x).易見，當x8時，F(xiàn)(x)=1。對于，有。設G(y)是隨機變量=F()的分布函數(shù)。顯然，當時，G(y)

22、=0；當時，G(y)=1。對于0y1，有于是，隨機變量=F()的分布函數(shù)為即隨機變量=F()服從均勻分布。注： 事實上，只要隨機變量的分布函數(shù)F(x)是連續(xù)函數(shù)，則隨機變量=F()就服從均勻分布，請讀者思考證之。例20 生活富裕了，設某段時間去汽車交易市場購買小轎車的顧客數(shù)服從參數(shù)為的泊松分布，而在市場里每個顧客購買小轎車的概率為p，問在這段時間里，恰有k個顧客購買小轎車的概率多大？分析：記為這段時間里購買小轎車的顧客數(shù)，所求概率為P=k。但事件=k是與這段時間去汽車交易市場購買小轎車的顧客數(shù)有關的，故此問題應用全概公式處理。解：以和分別表示這段時間里進入市場的總人數(shù)和購買小轎車的人數(shù)，則由全

23、概公式有由于服從參數(shù)為的泊松分布，即 另一方面，在已知有=n名顧客進入市場的條件下，購買小轎車的人數(shù)=k的條件分布為二項分布，故有從而 注：計算表明，這段時間里購買小轎車的顧客數(shù)仍然服從泊松分布，只是參數(shù)為。這一性質(zhì)是泊松分布在隨機選擇下的不變性。*例21假設隨機變量的絕對值不大于1；，；在事件-11出現(xiàn)的條件下，在（-1，1）內(nèi)的任一子區(qū)間上取值的條件概率與該子區(qū)間的長度成正比，試求（1）的分布函數(shù)F(x)=Px；（2）取負值的概率p。解： （1）據(jù)已知，x-1時，F(xiàn)(x)=0; x1時，F(xiàn)(x)=1；以下考慮-1x1時的情形，由于 ，故 另據(jù)條件，有于是，對于-1x1，有(-1, x) (

24、-1,1)，因此綜上，有24練習與測試1. 設某批電子元件的正品率為，次品率為，現(xiàn)從中任取一個對其測試，如果是次品，再取一個測試，直至測得正品為止，則測試次數(shù)的分布律是 。*2. 設相互獨立的兩個隨機變量具有同一分布律，且的分布律為：，則隨機變量=max的分布律為： 。3. 設隨機變量服從參數(shù)為的兩點分布，隨機變量，則的分布函數(shù)= ，的分布函數(shù)= 。4. 設隨機變量的分布函數(shù)在數(shù)軸某區(qū)間的表達式為，而在其余部分為常數(shù)，試寫出此分布函數(shù)的下述完整表達式： = *5. 若隨機變量在（1，6）上服從均勻分布，則方程x2+x+1=0有實根的概率是 。*6. 若隨機變量服從均值為2，方差為2的正態(tài)分布，

25、且P24=0.3，則P0= 。7函數(shù)在a,b上的表達式為，其他地方為0。則當a,b為（ ）時，可以成為隨機變量的密度函數(shù)。（A）（B）（C）（D）8設隨機變量與均服從正態(tài)分布N(， 42)， N(，52)，而 ，則( )。(A)對任何實數(shù)，都有p1=p2 (B)對任何實數(shù)，都有p1p29設隨機變量服從標準正態(tài)分布，表示其分布函數(shù)，且已知P(x)=a，則x= ( )。 （A）（B）（C）（B）10試判斷下列數(shù)表能否成為某個隨機變量的分布律？說明理由，并對于否定的情形稍作修正，使其成為分布律。；(p為任意實數(shù))；11確定下列概率密度中的待定系數(shù)k：(1)rvx，為參數(shù)）；(2) rvx。12設離散

26、型隨機變量的可能取值為1，3，6。對應概率，之比為1：2：4。試求分布律。13. 從一批有10個合格品與3個次品的產(chǎn)品中，一件一件地抽取產(chǎn)品，設各種產(chǎn)品被抽到的可能性相同，在下列三種情形下，分別求出直到取出合格品為止所需抽取次數(shù)的分布律：（1）每次取出的產(chǎn)品立即放回該批產(chǎn)品中，然后再取下一件產(chǎn)品；（2）每次取出的產(chǎn)品都不放回該批產(chǎn)品中；（3）每次取出一件產(chǎn)品后總以一件合格品放回該批產(chǎn)品中。14. 經(jīng)調(diào)查獲悉某地區(qū)人群身高(單位：m)x，房地產(chǎn)開發(fā)商按部頒規(guī)范將公共建筑物的門高按1.9m設計。試求在此設計下，出入房門時因門高不夠而遇到麻煩的人數(shù)比例。15某地抽樣調(diào)查結果表明，考生的外語成績（百分制）近似正態(tài)分布，平均成績?yōu)?2分，96分以上的占考生總數(shù)的2.3%，試求考生的外語成績在60分至84分之間的概率。16設離散型隨機變量服從參數(shù)為l0的泊松分布，且。試求、。17設某河流每年