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1、推論2.2.1(到上的投影映射)設(shè)是Hilbert空間的閉線性子空間,是定義在上的恒等映射,則存在唯一的把映到上的映射,使把映到上,稱為到上的投影映射.引理2.2.3(投影映射的性質(zhì))設(shè)是Hilbert空間, 是由到閉子空間上的投影映射,則（1）對(duì),有（2）（3）對(duì)任一，存在有唯一的正交分 解 （4）如果當(dāng)時(shí)，則當(dāng) 時(shí)，（5）的充分必要條件是（6）的充分必要條件是（7）的充分必要條件是對(duì)一切，有預(yù)報(bào)方程設(shè)是Hilbert空間, 是的閉線性子空間,是中的給定元素，則是中唯一與距離最近的元素，使得對(duì)一切，有 （2.2.12）稱(2.2.12)為預(yù)報(bào)方程.例4.(平穩(wěn)過程的最小均方差線性預(yù)報(bào))例5.

2、四、Hilbert空間的正交系定義2.2.4(線性閉包)設(shè)是Hilbert空間,的線性閉包定義為包含每一的最小閉線性子空間,記為有限集的線性閉包定義為定義2.2.5(正交系)設(shè)是內(nèi)積空間,如果對(duì)一切,有 (2.2.13)成立,則稱是的一正交系.例6. 例7.定理2.2.2設(shè)是內(nèi)積空間的正交系,則對(duì)一切和,有(1) (2.2.14)(2) (2.2.15)(3) (2.2.16)必要條件是等號(hào)成立的充分 稱為關(guān)于正交系Fourier系數(shù).推論(Bessel不等式)設(shè)是內(nèi)積空間的正交系,對(duì)任一,有 (2.2.17)定義2.2.6(完備正交系)設(shè)是Hilbert空間的正交系,如果,則稱是的完備正交系.定義2.2.7(可分Hilbert空間)設(shè)是Hilbert空間,如果,其中是有限集或可列集,則稱是可分Hilbert空間.定理2.2.3設(shè)是可分Hilbert空間,是的正交系,則對(duì)有以下結(jié)論成立:(1) 所張成的集在中稠密,即對(duì)任意,存在整數(shù)和常數(shù),使得(2),當(dāng)時(shí),(3)(4) -

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