高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)常見習(xí)題類型及解法

1、高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)常見習(xí)題類型及解法高考試題中的三角函數(shù)題相對(duì)比較傳統(tǒng)，難度較低，位置靠前，重點(diǎn)突出。因此，在復(fù)習(xí)過程中既要注重三角知識(shí)的基礎(chǔ)性，突出三角函數(shù)的圖象、周期性、單調(diào)性、奇偶性、對(duì)稱性等性質(zhì)。以及化簡(jiǎn)、求值和最值等重點(diǎn)內(nèi)容的復(fù)習(xí)，又要注重三角知識(shí)的工具性，突出三角與代數(shù)、幾何、向量的綜合聯(lián)系，以及三角知識(shí)的應(yīng)用意識(shí)。一、知識(shí)整合1熟練掌握三角變換的所有公式，理解每個(gè)公式的意義，應(yīng)用特點(diǎn)，常規(guī)使用方法等；熟悉三角變換常用的方法化弦法，降冪法，角的變換法等；并能應(yīng)用這些方法進(jìn)行三角函數(shù)式的求值、化簡(jiǎn)、證明；掌握三角變換公式在三角形中應(yīng)用的特點(diǎn)，并能結(jié)合三角形的公式解決一些實(shí)際問題2熟練掌

2、握正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)、余切函數(shù)的性質(zhì)，并能用它研究復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)；熟練掌握正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)、余切函數(shù)圖象的形狀、特點(diǎn)，并會(huì)用五點(diǎn)畫出函數(shù)的圖象；理解圖象平移變換、伸縮變換的意義，并會(huì)用這兩種變換研究函數(shù)圖象的變化二、 高考考點(diǎn)分析2004年各地高考中本部分所占分值在1722分，主要以選擇題和解答題的形式出現(xiàn)。主要考察內(nèi)容按綜合難度分，我認(rèn)為有以下幾個(gè)層次：第一層次：通過誘導(dǎo)公式和倍角公式的簡(jiǎn)單運(yùn)用，解決有關(guān)三角函數(shù)基本性質(zhì)的問題。如判斷符號(hào)、求值、求周期、判斷奇偶性等。第二層次：三角函數(shù)公式變形中的某些常用技巧的運(yùn)用。如輔助角公式、平方公式逆用、切弦互化等。第三層次：充分

3、利用三角函數(shù)作為一種特殊函數(shù)的圖象及周期性、奇偶性、單調(diào)性、有界性等特殊性質(zhì)，解決較復(fù)雜的函數(shù)問題。如分段函數(shù)值，求復(fù)合函數(shù)值域等。三、方法技巧1.三角函數(shù)恒等變形的基本策略。（1）常值代換：特別是用“1”的代換，如1=cos2+sin2=tanxcotx=tan45等。（2）項(xiàng)的分拆與角的配湊。如分拆項(xiàng)：sin2x+2cos2x=(sin2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x；配湊角：=（+），=等。（3）降次與升次。（4）化弦（切）法。（4）引入輔助角。asin+bcos=sin(+)，這里輔助角所在象限由a、b的符號(hào)確定，角的值由tan=確定。2.證明三角等式的思路和方法。（1）

4、思路：利用三角公式進(jìn)行化名，化角，改變運(yùn)算結(jié)構(gòu)，使等式兩邊化為同一形式。（2）證明方法：綜合法、分析法、比較法、代換法、相消法、數(shù)學(xué)歸納法。3.證明三角不等式的方法：比較法、配方法、反證法、分析法，利用函數(shù)的單調(diào)性，利用正、余弦函數(shù)的有界性，利用單位圓三角函數(shù)線及判別法等。4.解答三角高考題的策略。（1）發(fā)現(xiàn)差異：觀察角、函數(shù)運(yùn)算間的差異，即進(jìn)行所謂的“差異分析”。（2）尋找聯(lián)系：運(yùn)用相關(guān)公式，找出差異之間的內(nèi)在聯(lián)系。（3）合理轉(zhuǎn)化：選擇恰當(dāng)?shù)墓?，促使差異的轉(zhuǎn)化。四、例題分析例1已知，求（1）；（2）的值.解：（1）； (2) .說明：利用齊次式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)（如果不具備，通過構(gòu)造的辦法得到），

5、進(jìn)行弦、切互化，就會(huì)使解題過程簡(jiǎn)化。例2求函數(shù)的值域。解：設(shè)，則原函數(shù)可化為，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以，函數(shù)的值域?yàn)?。?已知函數(shù)。（1）求的最小正周期、的最大值及此時(shí)x的集合；（2）證明：函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱。解： (1)所以的最小正周期，因?yàn)?，所以，?dāng)，即時(shí)，最大值為；(2)證明：欲證明函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，只要證明對(duì)任意，有成立，因?yàn)?，所以成立，從而函?shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱。例4 已知函數(shù)y=cos2x+sinxcosx+1 （xR）,（1）當(dāng)函數(shù)y取得最大值時(shí)，求自變量x的集合；（2）該函數(shù)的圖像可由y=sinx(xR)的圖像經(jīng)過怎樣的平移和伸縮變換得到？解：（1）y=cos2x+

6、sinxcosx+1= (2cos2x1)+ +（2sinxcosx）+1=cos2x+sin2x+=(cos2xsin+sin2xcos)+=sin(2x+)+所以y取最大值時(shí)，只需2x+=+2k,（kZ），即 x=+k,（kZ）。所以當(dāng)函數(shù)y取最大值時(shí)，自變量x的集合為x|x=+k,kZ（2）將函數(shù)y=sinx依次進(jìn)行如下變換：（i）把函數(shù)y=sinx的圖像向左平移，得到函數(shù)y=sin(x+)的圖像；（ii）把得到的圖像上各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)y=sin(2x+)的圖像；（iii）把得到的圖像上各點(diǎn)縱坐標(biāo)縮短到原來的倍（橫坐標(biāo)不變），得到函數(shù)y=sin(2x+)的

7、圖像； （iv）把得到的圖像向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)y=sin(2x+)+的圖像。綜上得到y(tǒng)=cos2x+sinxcosx+1的圖像。說明：本題是2000年全國高考試題，屬中檔偏容易題，主要考查三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)。這類題一般有兩種解法：一是化成關(guān)于sinx,cosx的齊次式，降冪后最終化成y=sin (x+)+k的形式，二是化成某一個(gè)三角函數(shù)的二次三項(xiàng)式。本題（1）還可以解法如下：當(dāng)cosx=0時(shí)，y=1；當(dāng)cosx0時(shí)，y=+1=+1化簡(jiǎn)得：2(y1)tan2xtanx+2y3=0tanxR，=38(y1)(2y3) 0,解之得：yymax=，此時(shí)對(duì)應(yīng)自變量x的值集為x|x=k+,kZ

8、例5已知函數(shù) （）將f(x)寫成的形式，并求其圖象對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)； （）如果ABC的三邊a、b、c滿足b2=ac，且邊b所對(duì)的角為x，試求x的范圍及此時(shí)函數(shù)f(x)的值域.解： （）由=0即即對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)為（）由已知b2=ac 即的值域?yàn)?綜上所述， ， 值域?yàn)?. 說明：本題綜合運(yùn)用了三角函數(shù)、余弦定理、基本不等式等知識(shí)，還需要利用數(shù)形結(jié)合的思想來解決函數(shù)值域的問題，有利于培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力，對(duì)知識(shí)進(jìn)行整合的能力。例6在中，a、b、c分別是角A、B、C的對(duì)邊，且，(1)求的值；(2)若，且a=c，求的面積。解：(1)由正弦定理及，有，即，所以，又因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，又，所以?2)在中，由余弦定理可得，又，所以有，所以的面積為。例7已知向量，且，(1)求函數(shù)的表達(dá)式；(2)若，求的最大值與最小值。解：(1)，又，所以，所以，即；(2)由(1)可得，令導(dǎo)數(shù)，解得，列表如下：t1(1，1)1(1，3)導(dǎo)數(shù)00+極大值遞減極小值遞增而所以。例8已知向量，(1) 求的值；(2) (2