數(shù)列的單調(diào)性

1、.數(shù)列的單調(diào)性(1)一個(gè)數(shù)列an，如果從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都大于它前面的一項(xiàng)，即an1an，那么這個(gè)數(shù)列叫作遞增數(shù)列(2)一個(gè)數(shù)列，如果從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都小于它前面的一項(xiàng)，即an1an，那么這個(gè)數(shù)列叫作遞減數(shù)列(3)一個(gè)數(shù)列，如果從第2項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)，有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)，這樣的數(shù)列叫作擺動(dòng)數(shù)列(4)如果數(shù)列an的各項(xiàng)都相等，那么這個(gè)數(shù)列叫作常數(shù)列典例已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an，畫出它的圖像，并判斷增減性解圖像如圖所示，該數(shù)列在1,2,3,4上是遞減的，在5,6，上也是遞減的利用數(shù)列的圖像判斷數(shù)列的增減性數(shù)列的圖像可直觀地反映數(shù)列各項(xiàng)的變化趨勢(shì)，從而可判斷數(shù)列的增減性典例已知數(shù)列

2、an的通項(xiàng)公式an，試判斷該數(shù)列的增減性解an1an.因?yàn)閚N，所以1n2n0，所以an1an0，即an1an.故該數(shù)列為遞減數(shù)列應(yīng)用函數(shù)單調(diào)性判斷數(shù)列增減性的方法(1)作差法，將an1an與0進(jìn)行比較；(2)作商法，將與1進(jìn)行比較(在作商時(shí)，要注意an0)題點(diǎn)一：求數(shù)列的最大(小)項(xiàng)1已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式an(n1)n(nN)，試問數(shù)列an有沒有最大項(xiàng)？若有，求最大項(xiàng)和最大項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)；若沒有，說明理由解：法一：假設(shè)數(shù)列an中存在最大項(xiàng)an1an(n2)n1(n1)nn，當(dāng)n0，即an1an；當(dāng)n9時(shí)，an1an0，即an1an；當(dāng)n9時(shí)，an1an0，即an1an.故a1a2a3a11a12

3、，所以數(shù)列中有最大項(xiàng)，最大項(xiàng)為第9、10項(xiàng)，且a9a10.法二：假設(shè)數(shù)列an中有最大項(xiàng)，并設(shè)第k項(xiàng)為最大項(xiàng)，則對(duì)任意的kN且k2都成立即解得9k10.又kN，數(shù)列an中存在最大項(xiàng)是第9項(xiàng)和第10項(xiàng)，且a9a10.題點(diǎn)二：由數(shù)列的單調(diào)性求參數(shù)問題2已設(shè)數(shù)列an的通項(xiàng)公式為：ann2kn(nN)，若數(shù)列an是單調(diào)遞增數(shù)列，求實(shí)數(shù)k的取值范圍 .解：法一：數(shù)列an是單調(diào)遞增數(shù)列，an1an0(nN)恒成立又ann2kn(nN)，(n1)2k(n1)(n2kn)0恒成立即2n1k0.k(2n1)(nN)恒成立而nN時(shí)，(2n1)的最大值為3(n1時(shí))，k3.即k的取值范圍為(3，)法二：結(jié)合二次函數(shù)yx2kx的圖像，要使an是遞增數(shù)列，只要a1a2即可，即1k3，所以k的取值范圍為(3，)題點(diǎn)三：數(shù)列與函數(shù)的綜合應(yīng)用3已知函數(shù)f(x)2x2x，數(shù)列an滿足f(log2an)2n.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)證明數(shù)列an是遞減數(shù)列解：(1)f(x)2x2x，f(log2an)2n，2log2an2log2an2n，an2n，a2na