高二數(shù)學(xué)概率專題

1、高二數(shù)學(xué)概率專題相關(guān)名詞：1.必然事件：2.不可能事件3.隨機(jī)事件： 4.必然事件和不可能事件的統(tǒng)稱為確定事件，確定事件和隨機(jī)事件統(tǒng)稱為事件，其一般用大寫字母A、B、C表示； 5. 基本事件：在一次試驗(yàn)中，我們常常要關(guān)心的是所有可能發(fā)生的基本結(jié)果。它們是試驗(yàn)中不能再分的最簡單的隨機(jī)事件，其他事件可以用它們來描繪，這樣的事件稱為基本事件。6基本事件具備如下性質(zhì)：（1）不能或不必分解為更小的隨機(jī)事件；（2）不同的基本事件不可能同時(shí)發(fā)生。一、正確判斷事件類型是解概率題的關(guān)鍵正確理解等可能事件（也叫隨機(jī)事件），互斥事件，對立事件，獨(dú)立事件，獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概念是解概率題的基礎(chǔ)，熟練掌握這些概念之間的關(guān)系

2、是正確解題的保證等可能事件強(qiáng)調(diào)的是在一定條件下基本事件出現(xiàn)的機(jī)會均等，在計(jì)算概率時(shí)，每一次試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果是有限的互斥事件與對立事件的區(qū)別與聯(lián)系：兩事件對立，則一定互斥，兩事件互斥，但不一定對立，故兩事件互斥是兩事件對立的必要不充分條件互斥事件與獨(dú)立事件的區(qū)別與聯(lián)系：共同點(diǎn)：都是研究兩個(gè)事件的關(guān)系，不同點(diǎn)：兩事件互斥是指同一次試驗(yàn)中兩事件不能同時(shí)發(fā)生，兩事件相互獨(dú)立是指不同試驗(yàn)下，兩者互不影響兩個(gè)相互獨(dú)立事件不一定互斥，即可能同時(shí)發(fā)生，而互斥事件不可能同時(shí)發(fā)生所以互斥事件一定不獨(dú)立，獨(dú)立事件不一定互斥其實(shí)生活中有這樣兩種事件，它們既不獨(dú)立，也不互斥?；コ馐录卣鞣治觯旱谝?，互斥事件研究

3、的是兩個(gè)事件之間的關(guān)系;第二，所研究的兩個(gè)事件是在一次試驗(yàn)中涉及的;第三，兩個(gè)事件互斥是從試驗(yàn)的結(jié)果不能同時(shí)出現(xiàn)來確定的從集合角度來看，A、B兩個(gè)事件互斥，則表示A、B這兩個(gè)事件所含結(jié)果組成的集合的交集是空集。相互獨(dú)立事件特征分析：第一，相互獨(dú)立是研究兩個(gè)事件的關(guān)系；第二，所研究的兩個(gè)事件是在兩次試驗(yàn)中得到的；第三，兩個(gè)事件相互獨(dú)立是從“一個(gè)事件的發(fā)生對另一個(gè)事件的發(fā)生的概率沒有影響”來確定的.概率公式：1、 等可能事件的概率公式2、 P（AB）P(A)+P(B) 互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率公式3、.P（）1P(A) 對立事件的概率公式4、P（AB）P（A）P（B）相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率5、

4、 在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件A恰好發(fā)生k次的概率公式理解：1、 符號理解AB是指“事件A或B發(fā)生”AB是指“事件A且（同時(shí)）B發(fā)生”；2、 對于A、B的是否發(fā)生應(yīng)該分四類情況，（1）A發(fā)生同時(shí)B發(fā)生；（2）A發(fā)生同時(shí)B不發(fā)生；（3）A不發(fā)生同時(shí)B發(fā)生（4）A不發(fā)生同時(shí)B不發(fā)生。 分別記為 ， ， ，他們彼此互斥其中（1）讀為“A、B都發(fā)生”；其中（4）讀為“A、B都不發(fā)生”；其中（1）與（2）可以合并為“A發(fā)生”，即A=+；其中（3）與（4）可以合并為“B發(fā)生”，即B=+ ；其中（2）與（3）可以合并為“A、B恰有一個(gè)發(fā)生”;其中（2）、（3）與（4）可以合并為“A、B至少一個(gè)發(fā)生”;其中（1

5、）、（2）與（3）可以合并為“A、B至多一個(gè)發(fā)生”;3、公式P（AB）P(A)+P(B) 使用的前提是A與B互斥，是指在同次實(shí)驗(yàn)中A與B不會同時(shí)發(fā)生；P（AB）P（A）P（B） 使用的前提是A與B獨(dú)立，是指在一次實(shí)驗(yàn)中A的發(fā)生不影響下一次實(shí)驗(yàn)中B的發(fā)生.4、二、解概率題的具體操作方法通過對事件的理解與對詞語的把握來解決問題概率問題的主要考查是五種事件(等可能事件、互斥事件、對立事件、相互獨(dú)立事件、n次獨(dú)立重復(fù)事件)的判斷識別以及事件發(fā)生概率的計(jì)算,每種事件的識別關(guān)鍵是對概念的理解和對定義關(guān)鍵字詞的把握.在審題中閱讀題目，建議三讀：一讀是否有概率數(shù)（數(shù)字特征），二讀是否互斥，三讀是否獨(dú)立（互不影

6、響）(字特征)例 甲乙兩人參加普法知識競賽，其中選擇題6個(gè)，判斷題4個(gè)，甲、乙二人依次各抽一題（）甲抽到選擇題、乙抽到判斷題是多少？（）甲、乙二人中至少有一人抽到選擇題的概率是多少？分析 由于對每道題被抽到的可能性相等,故本題是一個(gè)等可能性事件的概率問題.同時(shí)注意到“甲、乙二人依次各抽一題”在解題中的作用：指明一次實(shí)驗(yàn)是“甲、乙二人依次各抽一題”，那么實(shí)驗(yàn)的結(jié)果會有4類情況：甲選同時(shí)乙選甲選同時(shí)乙判甲判同時(shí)乙選甲判同時(shí)乙判解: （1） 甲抽到選擇題、乙抽到判斷題的概率，（）甲、乙二人中至少有一人抽到選擇題的概率。求解古典概型事件A的概率一般遵循如下步驟： （1）先確定一次試驗(yàn)是什么，此時(shí)一次試

7、驗(yàn)的可能性結(jié)果有多少，即算出基本事件的總個(gè)數(shù)n；（2）再確定所研究的事件A是什么，事件A包括結(jié)果有多少,即求出m；（3）應(yīng)用等可能性事件概率公式計(jì)算。 注意：求P(A)時(shí)，要首先判斷是否是古典概型；確定m、n的數(shù)值是關(guān)鍵所在。我們可以提出改省套的思維模式。 求基本事件數(shù)的方法：（1）窮舉法；（2）樹形圖；（3）排列組合法。利用排列組合知識中的分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理，必須做到不重復(fù)不遺漏。二、通過應(yīng)用分類討論的思想來解決問題一個(gè)復(fù)雜事件可以拆分為兩個(gè)或兩個(gè)以上的互斥事件或相互獨(dú)立事件的和事件，拆分所遵循的原則是分類的不重、不漏，其實(shí)對事件中某個(gè)元素進(jìn)行分類討論。 解題的關(guān)鍵是分析實(shí)驗(yàn)是否可以

8、分拆為幾個(gè)獨(dú)立的小實(shí)驗(yàn)，特別地如果小實(shí)驗(yàn)可以視為相同實(shí)驗(yàn)，問題可以化為獨(dú)立重復(fù)。羅列實(shí)驗(yàn)的結(jié)果，按照某個(gè)條件將結(jié)果分類，轉(zhuǎn)化為互斥事件。例 某單位6個(gè)員工借助互聯(lián)網(wǎng)開展工作，每個(gè)員工上網(wǎng)的概率都是0.5（相互獨(dú)立）（）求至少3人同時(shí)上網(wǎng)的概率；（）至少幾人同時(shí)上網(wǎng)的概率小于0.3？分析 讀題發(fā)現(xiàn)關(guān)鍵詞“相互獨(dú)立”，那么用“同時(shí)”研讀實(shí)驗(yàn)-某單位6個(gè)員工借助互聯(lián)網(wǎng)開展工作。實(shí)驗(yàn)就是1號員工借助互聯(lián)網(wǎng)開展工作同時(shí)2號員工借助互聯(lián)網(wǎng)開展工同時(shí)。每個(gè)人實(shí)驗(yàn)的結(jié)果分上網(wǎng)和不上網(wǎng)，大實(shí)驗(yàn)的結(jié)果應(yīng)該有種?？梢詫⒔Y(jié)果按照上網(wǎng)人數(shù)的多少應(yīng)分類，共分7類：恰有i人同時(shí)上網(wǎng)（i=0，1，2，3，4，5，6）。 “至

9、少3人同時(shí)上網(wǎng)”則包含為恰有3人同時(shí)上網(wǎng)，恰有4人同時(shí)上網(wǎng)，恰有5人同時(shí)上網(wǎng)，恰有6人同時(shí)上網(wǎng)的四種類型，注意大實(shí)驗(yàn)分成6個(gè)小實(shí)驗(yàn)，6個(gè)小實(shí)驗(yàn)可以看做獨(dú)立重復(fù)的。解：（）至少3人同時(shí)上網(wǎng)的概率（）至少4人同時(shí)上網(wǎng)的概率，至少5人同時(shí)上網(wǎng)的概率，故至少5人同時(shí)上網(wǎng)的概率小于0.3。三、通過合理運(yùn)用公式來解決問題當(dāng)一個(gè)復(fù)雜事件直接解答比較困難時(shí)（復(fù)雜事件包含的實(shí)驗(yàn)結(jié)果較多），我們可以從它的對立事件（包含的實(shí)驗(yàn)結(jié)果少）入手解決，羅列實(shí)驗(yàn)結(jié)果，從正面和反面都去思考實(shí)驗(yàn)結(jié)果的包含情況，舉一反三，有利于盡快盡好地理解掌握求事件概率的方法。例3 甲、乙兩人參加一次英語口語考試，已知在備選的10道試題中，甲能

10、答對其中的6題，乙能答對其中的8題.規(guī)定每次考試都從備選題中隨機(jī)抽出3題進(jìn)行測試，至少答對2題才算合格. 求甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率.解：設(shè)甲、乙兩人考試合格的事件分別為A、B，則P(A)=，P(B)=.因?yàn)槭录嗀、B相互獨(dú)立，方法一：（運(yùn)用對立事件概率求解）甲、乙兩人考試均不合格的概率為P()=P()P()=（1)(1)=.甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率為P=1P()=1=.方法二：（分類討論方法求解）甲、乙兩人至少有一個(gè)考試合格的概率為P=P(A)+P(B)+P(AB)=P(A)P()+P()P(B)+P(A)P(B)=+=.答：甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率為.強(qiáng)化訓(xùn)練

11、1、在某次趣味運(yùn)動(dòng)會中，甲、乙、丙三名選手進(jìn)行單循環(huán)賽（即每兩人比賽一場），共賽三場，每場比賽勝者得1分，輸者得0分，沒有平局；在每一場比賽中，甲勝乙的概率為，甲勝丙的概率為，乙勝丙的概率為（）求甲獲得小組第一且丙獲得小組第二的概率；（）求三人得分相同的概率；（）求甲不是小組第一的概率.解：（）設(shè)甲獲小組第一且丙獲小組第二為事件A,(A)=；4分（）設(shè)三場比賽結(jié)束后，三人得分相同為事件B,即每人勝一場輸兩場,有以下兩種情形：甲勝乙，乙勝丙，丙勝甲，概率為=；6分甲勝丙，丙勝乙，乙勝甲，概率為=；8分三人得分相同的概率為=+=9分（3）設(shè)甲不是小組第一為事件C,解法一： =1=；13分解法二：該

12、小組第一是乙或丙的概率為+=+=，=+=.13分期末教學(xué)目標(biāo)檢測有甲、乙、丙、丁四名網(wǎng)球運(yùn)動(dòng)員，通過對過去戰(zhàn)績的統(tǒng)計(jì)，在一場比賽中，甲對乙、丙、丁取勝的概率分別為. （）若甲和乙之間進(jìn)行三場比賽，求甲恰好勝兩場的概率；（）若四名運(yùn)動(dòng)員每兩人之間進(jìn)行一場比賽，求甲恰好勝兩場的概率（）解：甲和乙之間進(jìn)行三場比賽，甲恰好勝兩場的概率為 6分（）解：記“甲勝乙”，“甲勝丙”，“甲勝丁”三個(gè)事件分別為則，.則四名運(yùn)動(dòng)員每兩人之間進(jìn)行一場比賽，甲恰好勝兩場的概率為 13分某課程考核分理論與實(shí)驗(yàn)兩部分進(jìn)行，每部分考核成績只記“合格”與“不合格”，兩部分考核都是“合格”，則該課程考核“合格”，若甲、乙、丙三人

13、在理論考核中合格的概率分別為0.9，0.8，0.7；在實(shí)驗(yàn)考核中合格的概率分別為0.8，0.7，0.9，所有考核是否合格相互之間沒有影響。 （I）求甲、乙、丙三人在理論考核中至少有兩人合格的概率； （II）求這三個(gè)人該課程考核都合格的概率（結(jié)果保留三位小數(shù)）。解：設(shè)“甲理論考核合格”為事件A1，“乙理論考核合格”為事件A2，“丙理論考核合格”為事件A3，設(shè)“甲實(shí)驗(yàn)考核合格”為事件B1，“乙實(shí)驗(yàn)考核合格”為事件B2，“丙實(shí)驗(yàn)考核合格”為事件B3。 （I）設(shè)“理論考核中至少有兩人合格”為事件C，為C的對立事件， =0.902.6分 所以，理論考核中至少有兩人合格的概率為0.902. （II）設(shè)“三

14、個(gè)人該課程考核都合格”為事件D。 =0.90.80.80.70.70.9=0.254.13分 所以，這三個(gè)人該課程考核都合格的概率為0.254.某城市有30的家庭訂閱了A報(bào)，有60的家庭訂閱了B報(bào)，有20的家庭同時(shí)訂閱了A報(bào)和B報(bào)，從該城市中任取4個(gè)家庭. （）求這4個(gè)家庭中恰好有3個(gè)家庭訂閱了A報(bào)的概率；（）求這4個(gè)家庭中至多有3個(gè)家庭訂閱了B報(bào)的概率；（）求這4個(gè)家庭中恰好有2個(gè)家庭A,B報(bào)都沒有訂閱的概率.解：（）設(shè)“這4個(gè)家庭中恰好有3個(gè)家庭訂閱了A報(bào)”的事件為A， 1分 4分答：這4個(gè)家庭中恰好有3個(gè)家庭訂閱了A報(bào)的概率為.（）設(shè)“這4個(gè)家庭中至多有3個(gè)家庭訂閱了B報(bào)”的事件為B，

15、5分 8分答：這4個(gè)家庭中至多有3個(gè)家庭訂閱了B報(bào)的概率為.（III） 設(shè)“這4個(gè)家庭中恰好有2個(gè)家庭A,B報(bào)都沒有訂閱”的事件為C， 9分因?yàn)橛?0的家庭訂閱了A報(bào)，有60的家庭訂閱了B報(bào)，有20的家庭同時(shí)訂閱了A報(bào)和B報(bào).所以兩份報(bào)紙都沒有訂閱的家庭有30. 所以 12分體育課上練習(xí)投籃， 甲、乙兩名學(xué)生在罰球線投球的命中率分別為、， 每人投球次（）求兩人都恰好投進(jìn)球的概率；（）求甲恰好贏乙球的概率解：（）記甲、乙兩人都恰好投進(jìn)球?yàn)槭录?. 1分 由于甲、乙兩人各投進(jìn)兩球?yàn)橄嗷オ?dú)立事件 ， 則甲乙兩人都恰好投進(jìn)球的概率為 . 5分 （）記甲贏乙球?yàn)槭录?. 6分 甲贏乙球共有三種情況： 甲

16、投中球乙沒中, 甲投中球乙投中球, 甲投 中球乙投中球，這三種情況彼此互斥 . 8分 則甲贏乙球的概率為 . 12分甲、乙兩人進(jìn)行投籃訓(xùn)練，已知甲投球命中的概率是，乙投球命中的概率是.假設(shè)兩人投球命中與否相互之間沒有影響. （）如果兩人各投球1次，求恰有1人投球命中的概率； （）如果兩人各投球2次，求這4次投球中至少有1次命中的概率.（）解：記 “甲投球1次命中”為事件，“乙投球1次命中”為事件.根據(jù)互斥事件的概率加法公式和相互獨(dú)立事件的概率乘法公式，所求的概率是 7分 （）解： 事件“兩人各投球2次均不命中”的概率為，10分 兩人各投球2次，這4次投球中至少有1次命中的概率為 13分甲盒中裝

17、有7個(gè)標(biāo)號為1、2、3、4、5、6、7的小球，乙盒中裝有個(gè)標(biāo)號為的小球，（1）從甲盒中有放回地抽取小球3次，每次抽取一個(gè)球，求恰有兩次抽取7號球的概率；（2）現(xiàn)將兩盒球均勻混合，從中隨機(jī)抽取一個(gè)小球，若抽取的標(biāo)號為的小球的概率為，求的值。解：（1）恰有2次抽取7號球的概率為5分（2）由題意，得：當(dāng)時(shí)，。當(dāng)時(shí)，有，不合題意舍去。13分某班要從5名男生和3名女生中任選4名同學(xué)參加奧運(yùn)知識競賽.（I）求所選的4人中恰有2名女生的概率；（）求所選的4人中至少有1名女生的概率；（）若參加奧運(yùn)知識競賽的選手獲獎(jiǎng)的概率均為，則恰有2名選手獲獎(jiǎng)的概率是多少?解：（I）設(shè)所選的4人中恰有2名女生為事件， 則.4

18、分（）設(shè)所選的4人中至少有1名女生為事件， 則. 8分（）設(shè)參加奧運(yùn)知識競賽恰有2名選手獲獎(jiǎng)為事件， 則. 13分概率的訓(xùn)練題1.某商場經(jīng)銷某商品，顧客可采用一次性付款或分期付款購買。根據(jù)以往資料統(tǒng)計(jì)，顧客采用一次性付款的概率是0.6，經(jīng)銷一件該商品，若顧客采用一次性付款，商場獲得利潤200元；若顧客采用分期付款，商場獲得利潤250元。（）求3位購買該商品的顧客中至少有1位采用一次性付款的概率；（）求3位顧客每人購買1件該商品，商場獲的利潤不超過650元的概率。2.從某批產(chǎn)品中，有放回地抽取產(chǎn)品二次，每次隨機(jī)抽取1件，假設(shè)事件A：“取出的2件產(chǎn)品中至多有1件是二等品”的概率P（A）=0.96(

19、)求從該批產(chǎn)品中任取1件是二等品的概率p;（）若該批產(chǎn)品共有100件，從中任意抽取2件，求事件B：“取出的2件產(chǎn)品中至少有一件二等品”的概率P（B）。3A、B是治療同一種疾病的兩種藥,用若干試驗(yàn)組進(jìn)行對比試驗(yàn),每個(gè)試驗(yàn)組由4只小白鼠組成,其中2只服用A,另2只服用B,然后觀察療效,若在一個(gè)試驗(yàn)組中,服用A有效的小白鼠的只數(shù)比服用B有效的多,就稱該試驗(yàn)組為甲類組.設(shè)每只小白鼠服用A有效的概率為,服用B有效的概率為.()求一個(gè)試驗(yàn)組為甲類組的概率；()觀察3個(gè)試驗(yàn)組，求這3個(gè)試驗(yàn)組中至少有一個(gè)甲類組的概率.4 9粒種子分種在甲、乙、丙3個(gè)坑內(nèi)，每坑3粒，每粒種子發(fā)芽的概率為，若一個(gè)坑內(nèi)至少有1粒種

20、子發(fā)芽，則這個(gè)坑不需要補(bǔ)種；若一個(gè)坑內(nèi)的種子都沒發(fā)芽，則這個(gè)坑需要補(bǔ)種。（）求甲坑不需要補(bǔ)種的概率；（）求3個(gè)坑中恰有1個(gè)坑不需要補(bǔ)種的概率；（）求有坑需要補(bǔ)種的概率。5甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行一場排球比賽，根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，單局比賽甲隊(duì)勝乙隊(duì)的概率為0.6。本場比賽采用五局三勝制，即先勝三局的隊(duì)獲勝，比賽結(jié)束，設(shè)各局比賽相互間沒有影響，求（）前三局比賽甲隊(duì)領(lǐng)先的概率；（）本場比賽乙隊(duì)以3:2取勝的概率。6設(shè)甲、乙、丙三臺機(jī)器是否需要照顧相互之間沒有影響。已知在某一小時(shí)內(nèi)，甲、乙都需要照顧的概率為0.05，甲、丙都需要照顧的概率為0.1，乙、丙都需要照顧的概率為0.125， （）求甲、乙、丙每臺機(jī)器在這個(gè)小

21、時(shí)內(nèi)需要照顧的概率分別是多少； （）計(jì)算這個(gè)小時(shí)內(nèi)至少有一臺需要照顧的概率. 7從10位同學(xué)（其中6女，4男）中隨機(jī)選出3位參加測驗(yàn).每位女同學(xué)能通過測驗(yàn)的概率均為，每位男同學(xué)能通過測驗(yàn)的概率均為，試求：（）選出的3位同學(xué)中，至少有一位男同學(xué)的概率；（）10位同學(xué)中的女同學(xué)甲和男同學(xué)乙同時(shí)被選中且通過測驗(yàn)的概率.答案1解：（）記表示事件：“位顧客中至少位采用一次性付款”，則表示事件：“位顧客中無人采用一次性付款”. ，.（）記表示事件：“位顧客每人購買件該商品，商場獲得利潤不超過元”.表示事件：“購買該商品的位顧客中無人采用分期付款”.表示事件：“購買該商品的位顧客中恰有位采用分期付款”.則.，.2（）記表示事件“取出的2件產(chǎn)品中無二等品”，表示事件“取出的2件產(chǎn)品中恰有1件二等品”.則互斥，且，故 于是.解得（舍去）.（）記表示事件“取出的2件產(chǎn)品中無二等品”，則.若該批產(chǎn)品共100件，由（1）知其中二等品有件，故3（1）設(shè)表示事件“一個(gè)試驗(yàn)組中，服用A有效的小白鼠有i只”，i=0，1，2， 表示事件“一個(gè)試驗(yàn)組中，服用B有效的小白鼠有i只”，i=0，1，2.依題意有 所求的概率為 4（I）解：因?yàn)榧卓觾?nèi)的3粒種子都不發(fā)芽的概率為(1-0.5)3=,所以甲坑不需要補(bǔ)種的概率 1-=0.875.（II）解：3個(gè)坑恰有一個(gè)