波動方程及其求解

1、 數(shù)學(xué)文化課程報告 交變電磁場中的波動方程及其求解 成 績_ 交變電磁場中的波動方程及其求解李太和李太和 地物1401 學(xué)號： 聯(lián)系電話：【摘要】利用麥克斯韋方程推導(dǎo)出交變電磁場中的波動方程。當(dāng)電磁場的空間分布從均勻向不均勻變化時，考慮的變量增多，需要用空間中以該點(diǎn)為球心的球面上的平均值來代替該點(diǎn)初始值，然后將問題轉(zhuǎn)化為我們之前熟悉的一維波動方程，利用行波法求解問題?！娟P(guān)鍵詞】麥克斯韋方程組 平均值 行波法 坐標(biāo)變換 在21世紀(jì)中，電磁波扮演著至關(guān)重要的角色，從移動設(shè)備的通信，到衛(wèi)星的信號傳播，都借助于對電磁波的深入了解。所以了解空間中電磁波在傳播過程中是怎樣分布的就顯得很重要了。一、無限域交

2、變電磁場波動方程的建立由麥克斯韋方程組得 上述三式符合三維波動方程的表達(dá)式，下面對一般的三維無限空間的波動方程進(jìn)行求解，即求解下列問題： 二、波動方程的求解對于偏微分方程為簡化計算我們不去考慮波函數(shù)本身，而是考慮u在以M(x,y,z)為球心，以r為半徑的球面上的平均值，則這個平均值當(dāng)x,y,z暫時固定之后就只與r,t有關(guān)這樣就啟發(fā)我們先引入一個函數(shù)，它是函數(shù)u(x,y,z,t)在以點(diǎn)M(x,y,z)為中心、以r為半徑的球面上的平均值，即其中 是球面上點(diǎn)的坐標(biāo)，是以原點(diǎn)為中心的單位球面，是單位球面上的面積元素，dS是上的面積元素，顯然 在球面直角坐標(biāo)系， 由u(x,y,z)的連續(xù)性可知，當(dāng) 時，

3、 ，即 此處的u(M,t)表示函數(shù)在M點(diǎn)及時刻t的值.下面推導(dǎo) 的微分方程下式中 表示所圍成的的球體 表示在流動點(diǎn)的坐標(biāo)，并應(yīng)用高斯定理得 表示的外法向矢量.或 但 故得 下面的問題是由初始條件來確定原來柯西問題的解但 由此可解得 所以 此外還可利用 將拓廣到r0的范圍內(nèi)，并比較上面兩式可知=，即是r的偶函數(shù)，同理和 也是偶函數(shù)，注意到這些后可將寫成下列形式令并利用洛必達(dá)法則得到 或簡記為 三、實(shí)例應(yīng)用假設(shè) 且 滿足以下條件代入公式得經(jīng)計算得 當(dāng) 時1.隨t與z變換的圖像如下所示：2.在某時刻與z的波形圖如下：3.用matlab R2014a繪制波形隨時間變化的動態(tài)圖代碼如下clearfor t=0:10-10:10*10-8 x=0:0.001:20; u=cos(108*t)*sin(x); plot(x,u,r) axis(-inf,inf, -1,1); set(gca,YTick,-1:0.5:1) xlabel(z) ylabel(Ex) pause(0.02);end參考文獻(xiàn)王元明 編.數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù).第三版金績祖 編.場論 關(guān)于數(shù)學(xué)文化課的建議：1、 數(shù)學(xué)文化課對于提高同學(xué)們的數(shù)學(xué)素養(yǎng)與理性思維方面具有一定的作用，建議學(xué)校可以一直開設(shè)這樣一門課。2、 在課程形式方面可以更加的多樣化，適當(dāng)減少一些理論方面的教學(xué)，增加一些同學(xué)們的自由討論