工程力學(xué)：第9章-扭轉(zhuǎn)

1、單輝祖:工程力學(xué)(材料力學(xué)),1,第 9 章 扭 轉(zhuǎn), 剪切基本定理 圓截面軸的扭轉(zhuǎn)應(yīng)力與變形 圓截面軸的扭轉(zhuǎn)強度與剛度 簡單靜不定軸 非圓截面軸扭轉(zhuǎn)簡介,本章主要研究：,單輝祖:工程力學(xué)(材料力學(xué)),2,1 引言 2 動力傳遞與扭矩 3 切應(yīng)力互等定理與剪切胡克定律4 圓軸扭轉(zhuǎn)橫截面上的應(yīng)力5 圓軸扭轉(zhuǎn)強度與合理設(shè)計6 圓軸扭轉(zhuǎn)變形與剛度條件7 非圓截面軸扭轉(zhuǎn)簡介,單輝祖:工程力學(xué)(材料力學(xué)),3,1 引 言, 扭轉(zhuǎn)實例 扭轉(zhuǎn)及其特點,單輝祖:工程力學(xué)(材料力學(xué)),4, 扭轉(zhuǎn)實例,單輝祖:工程力學(xué)(材料力學(xué)),5,M,單輝祖:工程力學(xué)(材料力學(xué)),6, 扭轉(zhuǎn)及其特點,變形特征：各橫截面間繞軸

2、線作相對旋轉(zhuǎn)，軸線仍為 直線扭轉(zhuǎn)變形,外力特征：作用面垂直于桿軸的力偶,扭轉(zhuǎn)與軸：以扭轉(zhuǎn)變形為主要特征的變形形式扭轉(zhuǎn) 以扭轉(zhuǎn)為主要變形的桿件軸,扭力偶矩：扭力偶之矩扭力偶矩或扭力矩,扭 力 偶：作用面垂直于桿軸的力偶扭力偶,單輝祖:工程力學(xué)(材料力學(xué)),7,2 動力傳遞與扭矩, 功率、轉(zhuǎn)速與扭力偶矩的關(guān)系 扭矩與扭矩圖 例題,單輝祖:工程力學(xué)(材料力學(xué)),8, 功率、轉(zhuǎn)速與扭力偶矩的關(guān)系,已知：動力裝置的輸出功率 P（kW）,轉(zhuǎn)速 n（r/min） 試求：傳遞給軸的扭力偶矩 M（N.m）,設(shè)角速度為 (rad/s),單輝祖:工程力學(xué)(材料力學(xué)),9, 扭矩與扭矩圖,扭矩定義矢量方向垂直于橫截面

3、的內(nèi)力偶矩，并用 T 表示,符號規(guī)定按右手螺旋法則將扭矩用矢量表示， 矢量方向與橫截面外法線方向一致 的扭矩為正，反之為負,扭矩,單輝祖:工程力學(xué)(材料力學(xué)),10,扭矩圖,（m軸單位長度內(nèi)的扭力偶矩）,試分析軸的扭矩,表示扭矩沿桿件軸線變化的圖線（T-x曲線）扭矩圖,單輝祖:工程力學(xué)(材料力學(xué)),11, 例 題,例 2-1 MA=76 Nm, MB=191 Nm, MC=115 Nm, 畫扭矩圖,解：,單輝祖:工程力學(xué)(材料力學(xué)),12,3 切應(yīng)力互等定理與剪切胡克定律, 薄圓管的扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力 切應(yīng)力互等定理 剪切胡克定律 例題,單輝祖:工程力學(xué)(材料力學(xué)),13, 當(dāng)變形很小時，各圓周線的大

4、小與間距均不改變,試驗現(xiàn)象, 各圓周線的形狀不變,僅繞軸線作相對轉(zhuǎn)動,由于管壁薄，可近似認為管內(nèi)變形與管表面相同，均僅存在切應(yīng)變g 。, 薄壁圓管扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力,單輝祖:工程力學(xué)(材料力學(xué)),14,假設(shè)：切應(yīng)力沿壁厚均勻分布,應(yīng)力公式,適用范圍：適用于所有勻質(zhì)薄壁桿，包括彈性、非彈性、線性與非線性等情況,精度：線彈性情況下,當(dāng)d R0/10 時,誤差 4.53%,單輝祖:工程力學(xué)(材料力學(xué)),15,在微體互垂截面上，垂直于截面交線的切應(yīng)力數(shù)值相等，方向則均指向或離開該交線,切應(yīng)力互等定理,截面上存在正應(yīng)力時，互等定理仍成立（請自證）, 切應(yīng)力互等定理與純剪切,微體互垂截面上僅存在切應(yīng)力的應(yīng)力狀態(tài)純

5、剪切, 剪切胡克定律,引入比例常數(shù)G,在剪切比例極限內(nèi)，切應(yīng)力與切應(yīng)變成正比剪切胡克定律,G切變模量，其量綱與應(yīng)力相同，常用單位為GPa,實驗表明：當(dāng)切應(yīng)力 t 不超過一定限度tp 時,tp剪切比例極限,單輝祖:工程力學(xué)(材料力學(xué)),17, 例 題,例 3-1 圖示板件, 邊寬為a, 已知 Ds = a/1000, G = 80 GPa, 試求板邊切應(yīng)力t = ?,解：,注意：g 雖很小，但 G 很大，切應(yīng)力 t 不小,g 為一很小的量，所以,單輝祖:工程力學(xué)(材料力學(xué)),18,例 3-2 一薄壁圓管，平均半徑為R0，壁厚為d，長度為l，橫截面上的扭矩為T，切變模量為G，試求扭轉(zhuǎn)角j。,解：,

6、單輝祖:工程力學(xué)(材料力學(xué)),19,4 圓軸扭轉(zhuǎn)橫截面上的應(yīng)力, 扭轉(zhuǎn)試驗與假設(shè) 扭轉(zhuǎn)應(yīng)力分析 極慣性矩與抗扭截面系數(shù) 例題,單輝祖:工程力學(xué)(材料力學(xué)),20, 扭轉(zhuǎn)試驗與假設(shè),各橫截面如同剛性平面，僅繞軸線作相對轉(zhuǎn)動, 當(dāng)變形很小時，各圓周線的大小與間距均不改變,扭轉(zhuǎn)平面假設(shè),試驗現(xiàn)象, 各圓周線的形狀不變,僅繞軸線作相對轉(zhuǎn)動,從試驗、假設(shè)入手,綜合考慮幾何、物理與靜力學(xué)三方面,單輝祖:工程力學(xué)(材料力學(xué)),21, 扭轉(zhuǎn)應(yīng)力分析,物理方面,幾何方面,dj / dx扭轉(zhuǎn)角變化率,單輝祖:工程力學(xué)(材料力學(xué)),22,靜力學(xué)方面,應(yīng)力與變形公式,極慣性矩,抗扭截面系數(shù),公式的適用范圍：,圓截面軸

7、；,tmaxtp,單輝祖:工程力學(xué)(材料力學(xué)),23, 極慣性矩與抗扭截面系數(shù), 空心圓截面, 實心圓截面,單輝祖:工程力學(xué)(材料力學(xué)),24, 例 題,例 4-1 已知MC= 2MA= 2MB=200Nm；AB段，d=20mm；BC段，di=15mm，do=25mm。求各段最大扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力。,解：,單輝祖:工程力學(xué)(材料力學(xué)),25,5 圓軸扭轉(zhuǎn)強度與合理設(shè)計, 扭轉(zhuǎn)失效與扭轉(zhuǎn)極限應(yīng)力 圓軸扭轉(zhuǎn)強度條件 圓軸合理強度設(shè)計 例題,單輝祖:工程力學(xué)(材料力學(xué)),26, 扭轉(zhuǎn)失效與極限應(yīng)力,塑性材料,屈服,斷裂,脆性材料,斷裂,扭轉(zhuǎn)屈服應(yīng)力ts ，扭轉(zhuǎn)強度極限tb 扭轉(zhuǎn)極限應(yīng)力tu,圓軸扭轉(zhuǎn)屈服時橫

8、截面上的最大切應(yīng)力扭轉(zhuǎn)屈服應(yīng)力 圓軸扭轉(zhuǎn)斷裂時橫截面上的最大切應(yīng)力扭轉(zhuǎn)強度極限,扭轉(zhuǎn)極限應(yīng)力,扭轉(zhuǎn)失效形式,單輝祖:工程力學(xué)(材料力學(xué)),27, 圓軸扭轉(zhuǎn)強度條件,等截面圓軸:,變截面或變扭矩圓軸:,tu材料的扭轉(zhuǎn)極限應(yīng)力 n - 安全因數(shù),塑性材料：t =（0.50.577）s 脆性材料：t = （0.81.0）st,為保證軸不因強度不夠而破壞，要求軸內(nèi)的最大扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力不得超過扭轉(zhuǎn)許用切應(yīng)力,危險點處于純剪切狀態(tài)，又有,單輝祖:工程力學(xué)(材料力學(xué)),28, 圓軸合理強度設(shè)計,1. 合理截面形狀,若 Ro/d 過大將產(chǎn)生皺褶,空心截面比實心截面好,2. 采用變截面軸與階梯形軸,注意減緩應(yīng)力集中

9、,單輝祖:工程力學(xué)(材料力學(xué)),29, 例 題,例 5-1 已知 T=1.5 kN . m，t = 50 MPa，試根據(jù)強度條件設(shè)計實心圓軸與 a = 0.9 的空心圓軸，并進行比較。,解：1. 確定實心圓軸直徑,單輝祖:工程力學(xué)(材料力學(xué)),30,2. 確定空心圓軸內(nèi)、外徑,3. 重量比較,空心軸遠比實心軸輕,單輝祖:工程力學(xué)(材料力學(xué)),31,解：1. 扭矩分析,例 5-2 R050 mm的薄壁圓管，左、右段的壁厚分別為 d1 = 5 mm，d2 = 4 mm，m = 3500 N . m/m，l = 1 m，t = 50 MPa，試校核圓管強度。,單輝祖:工程力學(xué)(材料力學(xué)),32,2.

10、 強度校核,危險截面：,截面 A與 B,單輝祖:工程力學(xué)(材料力學(xué)),33,6 圓軸扭轉(zhuǎn)變形與剛度計算, 圓軸扭轉(zhuǎn)變形 圓軸扭轉(zhuǎn)剛度條件 例題,單輝祖:工程力學(xué)(材料力學(xué)),34, 圓軸扭轉(zhuǎn)變形,扭轉(zhuǎn)變形一般公式,GIp圓軸截面扭轉(zhuǎn)剛度，簡稱扭轉(zhuǎn)剛度,常扭矩等截面圓軸,單輝祖:工程力學(xué)(材料力學(xué)),35, 圓軸扭轉(zhuǎn)剛度條件,圓軸扭轉(zhuǎn)剛度條件,q 單位長度的許用扭轉(zhuǎn)角, 注意單位換算:, 一般傳動軸， q = 0.5 1 ()/m,單輝祖:工程力學(xué)(材料力學(xué)),36, 例 題,例 6-1 已知：MA = 180 N.m， MB = 320 N.m， MC = 140 N.m，Ip= 3105 m

11、m4，l = 2 m，G = 80 GPa，q = 0.5 ()/m 。jAC=? 校核軸的剛度,解：1. 變形分析,單輝祖:工程力學(xué)(材料力學(xué)),37,2. 剛度校核,注意單位換算！,單輝祖:工程力學(xué)(材料力學(xué)),38,例 6-2 試計算圖示圓錐形軸的扭轉(zhuǎn)角,解：,單輝祖:工程力學(xué)(材料力學(xué)),39,例 6-3 試求圖示軸兩端的支反力偶矩,解：1. 問題分析,未知力偶矩2個，平衡方程1個，一度靜不定,需要建立補充方程，才能求解,單輝祖:工程力學(xué)(材料力學(xué)),40,2. 建立補充方程,3. 計算支反力偶矩,聯(lián)立求解方程 (a) 與 (b),單輝祖:工程力學(xué)(材料力學(xué)),41,7 非圓截面軸扭轉(zhuǎn)

12、簡介, 矩形截面軸扭轉(zhuǎn) 橢圓等截面軸扭轉(zhuǎn) 例題,單輝祖:工程力學(xué)(材料力學(xué)),42, 矩形截面軸扭轉(zhuǎn), 圓軸平面假設(shè)不適用于非圓截面軸,試驗現(xiàn)象, 橫截面翹曲, 角點處 g 為零, 側(cè)面中點處 g 最大,單輝祖:工程力學(xué)(材料力學(xué)),43,應(yīng)力分布特點, 橫截面上角點處，切應(yīng)力為零 橫截面邊緣各點處，切應(yīng)力 / 截面周邊 橫截面周邊長邊中點處，切應(yīng)力最大,單輝祖:工程力學(xué)(材料力學(xué)),44,彈性力學(xué)解,系數(shù) a, b, g 表,長邊中點 t 最大,單輝祖:工程力學(xué)(材料力學(xué)),45, 橢圓等非圓截面軸扭轉(zhuǎn), Wt , It 的量綱分別與 Wp, Ip 相同 Wt , It 的計算公式見工程力學(xué)之附錄 C,橢圓、三角形等非圓截面軸,橢圓截面：,單輝祖:工程力學(xué)(材