高中物理競賽解題方法(三)微元法

1、高中奧林匹克物理競賽解題方法三、微元法方法簡介微元法是分析、解決物理問題中的常用方法，也是從部分到整體的思維方法。用該方法可以使一些復(fù)雜的物理過程用我們熟悉的物理規(guī)律迅速地加以解決，使所求的問題簡單化。在使用微元法處理問題時(shí)，需將其分解為眾多微小的“元過程”，而且每個(gè)“元過程”所遵循的規(guī)律是相同的，這樣，我們只需分析這些“元過程”，然后再將“元過程”進(jìn)行必要的數(shù)學(xué)方法或物理思想處理，進(jìn)而使問題求解。使用此方法會(huì)加強(qiáng)我們對(duì)已知規(guī)律的再思考，從而引起鞏固知識(shí)、加深認(rèn)識(shí)和提高能力的作用。賽題精講例1：如圖31所示，一個(gè)身高為h的人在燈以悟空速度v沿水平直線行走。設(shè)燈距地面高為H，求證人影的頂端C點(diǎn)是

2、做勻速直線運(yùn)動(dòng)。解析：該題不能用速度分解求解，考慮采用“微元法”。設(shè)某一時(shí)間人經(jīng)過AB處，再經(jīng)過一微小過程t（t0），則人由AB到達(dá)AB，人影頂端C點(diǎn)到達(dá)C點(diǎn)，由于SAA=vt則人影頂端的移動(dòng)速度可見vc與所取時(shí)間t的長短無關(guān)，所以人影的頂端C點(diǎn)做勻速直線運(yùn)動(dòng).例2：如圖32所示，一個(gè)半徑為R的四分之一光滑球面放在水平桌面上，球面上放置一光滑均勻鐵鏈，其A端固定在球面的頂點(diǎn)，B端恰與桌面不接觸，鐵鏈單位長度的質(zhì)量為.試求鐵鏈A端受的拉力T.解析：以鐵鏈為研究對(duì)象，由由于整條鐵鏈的長度不能忽略不計(jì)，所以整條鐵鏈不能看成質(zhì)點(diǎn)，要分析鐵鏈的受力情況，須考慮將鐵鏈分割，使每一小段鐵鏈可以看成質(zhì)點(diǎn)，分析

3、每一小段鐵邊的受力，根據(jù)物體的平衡條件得出整條鐵鏈的受力情況.在鐵鏈上任取長為L的一小段（微元）為研究對(duì)象，其受力分析如圖32甲所示.由于該元處于靜止?fàn)顟B(tài)，所以受力平衡，在切線方向上應(yīng)滿足： 由于每段鐵鏈沿切線向上的拉力比沿切線向下的拉力大T，所以整個(gè)鐵鏈對(duì)A端的拉力是各段上T的和，即 觀察 的意義，見圖32乙，由于很小，所以CDOC，OCE=Lcos表示L在豎直方向上的投影R，所以 可得鐵鏈A端受的拉力 例3：某行星圍繞太陽C沿圓弧軌道運(yùn)行，它的近日點(diǎn)A離太陽的距離為a，行星經(jīng)過近日點(diǎn)A時(shí)的速度為，行星的遠(yuǎn)日點(diǎn)B離開太陽的距離為b，如圖33所示，求它經(jīng)過遠(yuǎn)日點(diǎn)B時(shí)的速度的大小.解析：此題可根

4、據(jù)萬有引力提供行星的向心力求解.也可根據(jù)開普勒第二定律，用微元法求解.設(shè)行星在近日點(diǎn)A時(shí)又向前運(yùn)動(dòng)了極短的時(shí)間t，由于時(shí)間極短可以認(rèn)為行星在t時(shí)間內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，線速度為，半徑為a，可以得到行星在t時(shí)間內(nèi)掃過的面積 同理，設(shè)行星在經(jīng)過遠(yuǎn)日點(diǎn)B時(shí)也運(yùn)動(dòng)了相同的極短時(shí)間t，則也有 由開普勒第二定律可知：Sa=Sb 即得 此題也可用對(duì)稱法求解.例4：如圖34所示，長為L的船靜止在平靜的水面上，立于船頭的人質(zhì)量為m，船的質(zhì)量為M，不計(jì)水的阻力，人從船頭走到船尾的過程中，問：船的位移為多大？解析：取人和船整體作為研究系統(tǒng)，人在走動(dòng)過程中，系統(tǒng)所受合外力為零，可知系統(tǒng)動(dòng)量守恒.設(shè)人在走動(dòng)過程中的t時(shí)間內(nèi)

5、為勻速運(yùn)動(dòng)，則可計(jì)算出船的位移.設(shè)v1、v2分別是人和船在任何一時(shí)刻的速率，則有 兩邊同時(shí)乘以一個(gè)極短的時(shí)間t， 有 由于時(shí)間極短，可以認(rèn)為在這極短的時(shí)間內(nèi)人和船的速率是不變的，所以人和船位移大小分別為， 由此將式化為 把所有的元位移分別相加有 即 ms1=Ms2 此式即為質(zhì)心不變?cè)? 其中s1、s2分別為全過程中人和船對(duì)地位移的大小， 又因?yàn)?L=s1+s2 由、兩式得船的位移 例5：半徑為R的光滑球固定在水平桌面上，有一質(zhì)量為M的圓環(huán)狀均勻彈性繩圈，原長為R，且彈性繩圈的勁度系數(shù)為k，將彈性繩圈從球的正上方輕放到球上，使彈性繩圈水平停留在平衡位置上，如圖35所示，若平衡時(shí)彈性繩圈長為，求

6、彈性繩圈的勁度系數(shù)k.解析：由于整個(gè)彈性繩圈的大小不能忽略不計(jì)，彈性繩圈不能看成質(zhì)點(diǎn)，所以應(yīng)將彈性繩圈分割成許多小段，其中每一小段m兩端受的拉力就是彈性繩圈內(nèi)部的彈力F.在彈性繩圈上任取一小段質(zhì)量為m作為研究對(duì)象，進(jìn)行受力分析.但是m受的力不在同一平面內(nèi)，可以從一個(gè)合適的角度觀察.選取一個(gè)合適的平面進(jìn)行受力分析，這樣可以看清楚各個(gè)力之間的關(guān)系.從正面和上面觀察，分別畫出正視圖的俯視圖，如圖35甲和235乙.先看俯視圖35甲，設(shè)在彈性繩圈的平面上，m所對(duì)的圓心角是，則每一小段的質(zhì)量 m在該平面上受拉力F的作用，合力為因?yàn)楫?dāng)很小時(shí)， 所以再看正視圖35乙，m受重力mg，支持力N，二力的合力與T平衡

7、.即 現(xiàn)在彈性繩圈的半徑為 所以 因此T= 、聯(lián)立，解得彈性繩圈的張力為： 設(shè)彈性繩圈的伸長量為x 則 所以繩圈的勁度系數(shù)為：例6：一質(zhì)量為M、均勻分布的圓環(huán)，其半徑為r，幾何軸與水平面垂直，若它能經(jīng)受的最大張力為T，求此圓環(huán)可以繞幾何軸旋轉(zhuǎn)的最大角速度.解析：因?yàn)橄蛐牧=mr2，當(dāng)一定時(shí)，r越大，向心力越大，所以要想求最大張力T所對(duì)應(yīng)的角速度，r應(yīng)取最大值.如圖36所示，在圓環(huán)上取一小段L，對(duì)應(yīng)的圓心角為，其質(zhì)量可表示為，受圓環(huán)對(duì)它的張力為T，則同上例分析可得 因?yàn)楹苄?，所以，?解得最大角速度 例7：一根質(zhì)量為M，長度為L的鐵鏈條，被豎直地懸掛起來，其最低端剛好與水平接觸，今將鏈條由靜止

8、釋放，讓它落到地面上，如圖37所示，求鏈條下落了長度x時(shí)，鏈條對(duì)地面的壓力為多大？解析：在下落過程中鏈條作用于地面的壓力實(shí)質(zhì)就是鏈條對(duì)地面的“沖力”加上落在地面上那部分鏈條的重力.根據(jù)牛頓第三定律，這個(gè)沖力也就等于同一時(shí)刻地面對(duì)鏈條的反作用力，這個(gè)力的沖量，使得鏈條落至地面時(shí)的動(dòng)量發(fā)生變化.由于各質(zhì)元原來的高度不同，落到地面的速度不同，動(dòng)量改變也不相同.我們?nèi)∧骋粫r(shí)刻一小段鏈條（微元）作為研究對(duì)象，就可以將變速?zèng)_擊變?yōu)楹闼贈(zèng)_擊.設(shè)開始下落的時(shí)刻t=0，在t時(shí)刻落在地面上的鏈條長為x，未到達(dá)地面部分鏈條的速度為v，并設(shè)鏈條的線密度為.由題意可知，鏈條落至地面后，速度立即變?yōu)榱?從t時(shí)刻起取很小一

9、段時(shí)間t，在t內(nèi)又有M=x落到地面上靜止.地面對(duì)M作用的沖量為 因?yàn)?所以 解得沖力：，其中就是t時(shí)刻鏈條的速度v，故 鏈條在t時(shí)刻的速度v即為鏈條下落長為x時(shí)的即時(shí)速度，即v2=2gx，代入F的表達(dá)式中，得 此即t時(shí)刻鏈對(duì)地面的作用力，也就是t時(shí)刻鏈條對(duì)地面的沖力.所以在t時(shí)刻鏈條對(duì)地面的總壓力為 例8：一根均勻柔軟的繩長為L，質(zhì)量為m，對(duì)折后兩端固定在一個(gè)釘子上，其中一端突然從釘子上滑落，試求滑落的繩端點(diǎn)離釘子的距離為x時(shí)，釘子對(duì)繩子另一端的作用力是多大？解析：釘子對(duì)繩子另一端的作用力隨滑落繩的長短而變化，由此可用微元法求解.如圖38所示，當(dāng)左邊繩端離釘子的距離為x時(shí)，左邊繩長為，速度 ，

10、右邊繩長為 又經(jīng)過一段很短的時(shí)間t以后，左邊繩子又有長度的一小段轉(zhuǎn)移到右邊去了，我們就分析這一小段繩子，這一小段繩子受到兩力：上面繩子對(duì)它的拉力T和它本身的重力為繩子的線密度），根據(jù)動(dòng)量定理，設(shè)向上方向?yàn)檎?由于t取得很小，因此這一小段繩子的重力相對(duì)于T來說是很小的，可以忽略，所以有 因此釘子對(duì)右邊繩端的作用力為例9：圖39中，半徑為R的圓盤固定不可轉(zhuǎn)動(dòng)，細(xì)繩不可伸長但質(zhì)量可忽略，繩下懸掛的兩物體質(zhì)量分別為M、m.設(shè)圓盤與繩間光滑接觸，試求盤對(duì)繩的法向支持力線密度.解析：求盤對(duì)繩的法向支持力線密度也就是求盤對(duì)繩的法向單位長度所受的支持力.因?yàn)楸P與繩間光滑接觸，則任取一小段繩，其兩端受的張力大小

11、相等，又因?yàn)槔K上各點(diǎn)受的支持力方向不同，故不能以整條繩為研究對(duì)象，只能以一小段繩為研究對(duì)象分析求解.在與圓盤接觸的半圓形中取一小段繩元L，L所對(duì)應(yīng)的圓心角為，如圖39甲所示，繩元L兩端的張力均為T，繩元所受圓盤法向支持力為N，因細(xì)繩質(zhì)量可忽略，法向合力為零，則由平衡條件得：當(dāng)很小時(shí)， N=T又因?yàn)?L=R則繩所受法向支持力線密度為 以M、m分別為研究對(duì)象，根據(jù)牛頓定律有 MgT=Ma Tmg=ma 由、解得： 將式代入式得：例10：粗細(xì)均勻質(zhì)量分布也均勻的半徑為分別為R和r的兩圓環(huán)相切.若在切點(diǎn)放一質(zhì)點(diǎn)m，恰使兩邊圓環(huán)對(duì)m的萬有引力的合力為零，則大小圓環(huán)的線密度必須滿足什么條件？解析：若要直接

12、求整個(gè)圓對(duì)質(zhì)點(diǎn)m的萬有引力比較難，當(dāng)若要用到圓的對(duì)稱性及要求所受合力為零的條件，考慮大、小圓環(huán)上關(guān)于切點(diǎn)對(duì)稱的微元與質(zhì)量m的相互作用，然后推及整個(gè)圓環(huán)即可求解.如圖310所示，過切點(diǎn)作直線交大小圓分別于P、Q兩點(diǎn)，并設(shè)與水平線夾角為，當(dāng)有微小增量時(shí)，則大小圓環(huán)上對(duì)應(yīng)微小線元其對(duì)應(yīng)的質(zhì)量分別為 由于很小，故m1、m2與m的距離可以認(rèn)為分別是 所以m1、m2與m的萬有引力分別為由于具有任意性，若F1與F2的合力為零，則兩圓環(huán)對(duì)m的引力的合力也為零， 即 解得大小圓環(huán)的線密度之比為：例11：一枚質(zhì)量為M的火箭，依靠向正下方噴氣在空中保持靜止，如果噴出氣體的速度為v，那么火箭發(fā)動(dòng)機(jī)的功率是多少？解析：

13、火箭噴氣時(shí)，要對(duì)氣體做功，取一個(gè)很短的時(shí)間，求出此時(shí)間內(nèi)，火箭對(duì)氣體做的功，再代入功率的定義式即可求出火箭發(fā)動(dòng)機(jī)的功率.選取在t時(shí)間內(nèi)噴出的氣體為研究對(duì)象，設(shè)火箭推氣體的力為F，根據(jù)動(dòng)量定理，有Ft=mv 因?yàn)榛鸺o止在空中，所以根據(jù)牛頓第三定律和平衡條件有F=Mg即 Mgt=mv t=mv/Mg 對(duì)同樣這一部分氣體用動(dòng)能定理，火箭對(duì)它做的功為： 所以發(fā)動(dòng)機(jī)的功率 例12：如圖311所示，小環(huán)O和O分別套在不動(dòng)的豎直桿AB和AB上，一根不可伸長的繩子穿過環(huán)O，繩的兩端分別系在A點(diǎn)和O環(huán)上，設(shè)環(huán)O以恒定速度v向下運(yùn)動(dòng)，求當(dāng)AOO=時(shí)，環(huán)O的速度.解析：O、O之間的速度關(guān)系與O、O的位置有關(guān)，即與

14、角有關(guān)，因此要用微元法找它們之間的速度關(guān)系.設(shè)經(jīng)歷一段極短時(shí)間t，O環(huán)移到C，O環(huán)移到C，自C與C分別作為OO的垂線CD和CD，從圖中看出. 因此OC+OC= 因極小，所以ECED，ECED，從而OD+ODOOCC 由于繩子總長度不變，故 OOCC=OC 由以上三式可得：OC+OC= 即 等式兩邊同除以t得環(huán)O的速度為 例13： 在水平位置的潔凈的平玻璃板上倒一些水銀，由于重力和表面張力的影響，水銀近似呈現(xiàn)圓餅形狀（側(cè)面向外凸出），過圓餅軸線的豎直截面如圖312所示，為了計(jì)算方便，水銀和玻璃的接觸角可按180計(jì)算.已知水銀密度，水銀的表面張力系數(shù)當(dāng)圓餅的半徑很大時(shí)，試估算其厚度h的數(shù)值大約為多

15、少？（取1位有效數(shù)字即可）解析：若以整個(gè)圓餅狀水銀為研究對(duì)象，只受重力和玻璃板的支持力，在平衡方程中，液體的體積不是h的簡單函數(shù)，而且支持力N和重力mg都是未知量，方程中又不可能出現(xiàn)表面張力系數(shù)，因此不可能用整體分析列方程求解h.現(xiàn)用微元法求解.在圓餅的側(cè)面取一個(gè)寬度為x，高為h的體積元，如圖312甲所示，該體積元受重力G、液體內(nèi)部作用在面積xh上的壓力F，還有上表面分界線上的張力F1=x和下表面分界線上的張力F2=x.作用在前、后兩個(gè)側(cè)面上的液體壓力互相平衡，作用在體積元表面兩個(gè)彎曲分界上的表面張力的合力，當(dāng)體積元的寬度較小時(shí)，這兩個(gè)力也是平衡的，圖中都未畫出.由力的平衡條件有： 即 解得：

16、由于 故2.7103mhm，碰撞彈力Ng，球與車之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為，則小球彈起后的水平速度可能是（ ）AB0CDv06半徑為R的剛性球固定在水平桌面上.有一質(zhì)量為M的圓環(huán)狀均勻彈性細(xì)繩圈，原長 2a，a=R/2，繩圈的彈性系數(shù)為k（繩伸長s時(shí)，繩中彈性張力為ks）.將繩圈從球的正 上方輕放到球上，并用手扶著繩圈使其保持水平，并最后停留在某個(gè)靜力平衡位置.考 慮重力，忽略摩擦.（1）設(shè)平衡時(shí)彈性繩圈長2b，b=，求彈性系數(shù)k；（用M、R、g表示，g為重力加速度）（2）設(shè)k=Mg/22R，求繩圈的最后平衡位置及長度.7一截面呈圓形的細(xì)管被彎成大圓環(huán)，并固定在豎直平面內(nèi)， 在環(huán)內(nèi)的環(huán)底A處有一質(zhì)量為

17、m、直徑比管徑略小的小球， 小球上連有一根穿過環(huán)頂B處管口的輕繩，在外力F作用 下小球以恒定速度v沿管壁做半徑為R的勻速圓周運(yùn)動(dòng)， 如圖323所示.已知小球與管內(nèi)壁中位于大環(huán)外側(cè) 部分的動(dòng)摩擦因數(shù)為，而大環(huán)內(nèi)側(cè)部分的管內(nèi)壁是光滑 的.忽略大環(huán)內(nèi)、外側(cè)半徑的差別，認(rèn)為均為R.試求小 球從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)過程中F做的功WF.8如圖324，來自質(zhì)子源的質(zhì)子（初速度為零），經(jīng)一 加速電壓為800kV的直線加速器加速，形成電流為1.0mA 的細(xì)柱形質(zhì)子流.已知質(zhì)子電荷e=1.601019C.這束質(zhì)子 流每秒打到靶上的質(zhì)子數(shù)為 .假設(shè)分布在質(zhì)子源 到靶之間的加速電場是均勻的，在質(zhì)子束中與質(zhì)子源相距l(xiāng) 和4l

18、的兩處，各取一段極短的相等長度的質(zhì)子流，其中質(zhì) 子數(shù)分別為n1和n2，則n1: n2 .9如圖325所示，電量Q均勻分布在一個(gè)半徑為R的 細(xì)圓環(huán)上，求圓環(huán)軸上與環(huán)心相距為x的點(diǎn)電荷q所受的 力的大小.10如圖326所示，一根均勻帶電細(xì)線，總電量為Q，彎成半徑為R的缺口圓環(huán)，在細(xì)線的兩端處留有很小的長為L的空隙，求圓環(huán)中心處的場強(qiáng).11如圖327所示，兩根均勻帶電的半無窮長平行直導(dǎo)線（它們的電荷線密度為），端點(diǎn)聯(lián)線LN垂直于這兩直導(dǎo)線，如圖所示.LN的長度為2R.試求在LN的中點(diǎn)O處的電場強(qiáng)度.12如圖328所示，有一均勻帶電的無窮長直導(dǎo)線，其電荷線密度為.試求空間任意一點(diǎn)的電場強(qiáng)度.該點(diǎn)與直導(dǎo)線間垂直距離為r.13如圖329所示，半徑為R的均勻帶電半球面，電 荷面密度為，求球心O處的電場強(qiáng)度.14如圖330所示，在光滑的水平面上，有一垂直向下的勻強(qiáng)磁場分布在寬度為L的區(qū)域內(nèi)，現(xiàn)有一個(gè)邊長為a（aL），質(zhì)量為m的正方形閉合線框以初速v0垂直磁場邊界滑過磁場后，速度變?yōu)関（vv0），求：（1）線框在這過程中產(chǎn)生的熱量Q；（2）線框完全進(jìn)入磁場后的速度v.15如圖331所示，在離水