工程力學：第15章能量法

1、材料力學,第15章 能量方法,第15章 能量方法,15.1 變形能的計算 15.2 互等定理 11.3 卡氏第二定理 11.4 莫爾定理(單位力法) 11.5 計算莫爾積分的圖形互乘法 11.6 能量法求解超靜定問題,15.1 變形能的計算,能量原理,能量方法,彈性體內(nèi)部所貯存的變形能，在數(shù)值上等于外力所作的功，即,利用這種功能關(guān)系分析計算可變形固體的位移、變形和內(nèi)力的方法稱為能量方法,大前提：1、小變形； 2、服從鄭玄胡克定律,小前提：緩慢加載,變力做功，功只轉(zhuǎn)成變形位能（不轉(zhuǎn)成動能、熱能,線彈性體的響應(yīng)（內(nèi)力、應(yīng)力和變形）為外載的線性函數(shù),15.1.1 桿件變形能的計算,1.軸向拉壓桿的變

2、形能計算,對于等截面桿，且內(nèi)力N=FP=常數(shù)的情況，線彈性范圍內(nèi)拉壓桿的變形能可表為,2.扭轉(zhuǎn)桿的變形能計算,對于受扭轉(zhuǎn)矩T為常數(shù)的等截面圓桿，則,3.彎曲桿的變形能計算,能量方法,考慮剪力時，有,剪切修正系數(shù),當M為常量時,例15-1 兩根圓截面直桿的材料相同，尺寸如圖所示，其中一根為等截面桿，另一根為變截面桿。試比較兩根桿件的變形能,解 （1）對1桿，由拉桿內(nèi)能公式,2）對2桿，由拉桿內(nèi)能公式,15.1.2 克拉比隆定理,線彈性體的應(yīng)變能等于各廣義力與其相應(yīng)的廣義位移乘積之半的總和,對于拉壓桿、扭轉(zhuǎn)桿、彎曲桿的變形能可統(tǒng)一寫成,F稱為廣義力，而與之相應(yīng)的位移，稱為廣義位移,15.1.3 組

3、合變形桿件變形能的一般表達式,變形能與加載次序無關(guān)；相互獨立的力（矢）引起的變形能可以相互疊加,細長桿，剪力引起的變形能可忽略不計,能量方法,變形能可否按疊加法進行計算,A,L,F,EI,x,O,例15-2 懸臂梁AB如圖15-6，自由端A上有一集中力FP和一力偶M所用，EI是常數(shù)，求梁的應(yīng)變能,解: (1)外力法,2)內(nèi)力功法,例1 圖示半圓形等截面曲桿位于水平面內(nèi)，在A點受鉛垂力P的作 用，求A點的垂直位移,解：用能量法（外力功等于應(yīng)變能,求內(nèi)力,能量方法,A,FP,R,外力功等于應(yīng)變能,變形能,能量方法,例2 用能量法求C點的撓度。梁為等截面直梁,解：外力功等于應(yīng)變能,在應(yīng)用對稱性，得,

4、思考：分布荷載時，可否用此法求C點位移,能量方法,C,a,a,A,FP,B,f,例15-3 試求圖15-7所示正方形所示結(jié)構(gòu)的變形能，并求A、C兩點的相對位移。已知各桿的拉壓剛度EA相同，正方形長度為l,解：（1）平衡條件確定各桿內(nèi)力,2）整個結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能,3） A、C兩點的相對位移,15.2 互等定理,功的互等定理,15.2.1 功的互等定理,先加FP1、 FP2 ，再加FQ1 、 FQ2,先加FQ1 、 FQ2 ，再加FP1、 FP2,15.2.2 位移互等定理,在功的互等定理中，當只有兩個力，有,當兩個力的大小相等時，有,當兩個力的大小都等于1時，有,例15-4 圖15-9所示簡支梁，力

5、FP作用在梁中點C處時，B截面的轉(zhuǎn)角B= FPl2/（16EI），試求在B截面作用力偶M時，C點的位移,解：根據(jù)功的互等定理,15.3 卡氏定理,給Fi 以增量 dFi ，則,1. 先給物體加F1、 F2、 Fn 個力，則,2.先給物體加力 dFi ，則,一、定理證明,能量方法,再給物體加F1、 F2、Fn 個力，則,能量方法,第二卡氏定理,意大利工程師阿爾伯托卡斯提安諾(Alberto Castigliano， 18471884,二、使用卡氏定理的注意事項,V整體結(jié)構(gòu)在外載作用下的線 彈性變形能,Fi 視為變量，結(jié)構(gòu)反力和變形能 等都必須表示為 Fi的函數(shù),i為 Fi 作用點的沿 Fi方向的

6、變形,當無與 i對應(yīng)的 Fi 時，先加一沿 i 方向的 Fi ，求偏導(dǎo)后， 再令其為零,能量方法,三、特殊結(jié)構(gòu)（桿）的卡氏定理,能量方法,例15-5 用卡氏定理求階梯懸臂梁截面B的撓度,解：求截面B的撓度wB,沒有與wB 相對應(yīng)的力，加之,求內(nèi)力,將內(nèi)力對MA求偏導(dǎo)后，令F=0,x,O,變形（ 注意：F=0,例15-7 圖15-12所示簡支梁在B端作用有一集中力偶M，求此梁的B端的轉(zhuǎn)角,解,1）求反力,2）求內(nèi)力,3）求變形能,4）求轉(zhuǎn)角，由卡氏第二定理,例5 結(jié)構(gòu)如圖，用卡氏定理求A 面的撓度和轉(zhuǎn)角,變形,求內(nèi)力,解：(1)求撓度，建坐標系,將內(nèi)力對FA求偏導(dǎo),能量方法,A,L,F,EI,2

7、)求轉(zhuǎn)角 A,求內(nèi)力,沒有與A向相對應(yīng)的力（廣義力），加之,負號”說明 A與所加廣義力MA反向,將內(nèi)力對MA求偏導(dǎo)后，令M A=0,求變形（ 注意：M A=0,能量方法,L,x,O,A,F,M,A,例6 結(jié)構(gòu)如圖，用卡氏定理求梁的撓曲線,解：求撓曲線任意點的撓度 w（x,求內(nèi)力,將內(nèi)力對Fx 求偏導(dǎo)后，令Fx=0,沒有與w（x）相對應(yīng)的力，加之,能量方法,F,A,L,x,C,變形（ 注意：Fx=0,能量方法,15.4 莫爾定理(單位力法,求任意點A的位移f A,一、定理的證明,能量方法,a,A,圖,wA,wA,莫爾定理(單位力法,二、普遍形式的莫爾定理,能量方法,三、使用莫爾定理的注意事項,M

8、0(x)與M(x)的坐標系必須一致，每段桿的坐標系可 自由建立,莫爾積分必須遍及整個結(jié)構(gòu),M0去掉主動力，在所求 廣義位移 點，沿所求 廣義位移 的方向加廣義單位力 時，結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的內(nèi)力,M(x)：結(jié)構(gòu)在原載荷下的內(nèi)力,所加廣義單位力與所求廣義位移之積，必須為功的量綱,能量方法,例3 用能量法求C點的撓度和轉(zhuǎn)角。梁為等截面直梁,解：畫單位載荷圖,求內(nèi)力,能量方法,B,q,x,變形,能量方法,x,求轉(zhuǎn)角，重建坐標系（如圖,能量方法,例15-8 位于水平面內(nèi)的圓截面彎桿 ABC(AB垂直BC)，如圖所示。已知干橫截面的幾慣性矩和對中性軸的慣性矩分別為IP和Iz，材料的彈性模量和剪切彈性模量分別為E和

9、G，用單位荷載法求截面C的鉛垂位移,解：在待求的位移方向界單位力FP ，列出外力和單位力對應(yīng)的內(nèi)力方程,代入莫爾積分方程,例15-10 試求圖15-16a所示剛架C點的水平位移和轉(zhuǎn)角，EI為常數(shù),解（1）求水平位移，則在C處加單位水平力,代入莫爾積分方程,2）求水平位移，則在C處加單位水平力,代入莫爾積分方程,例15-3 試求圖15-7所示正方形所示結(jié)構(gòu)的變形能，并求A、C兩點的相對位移。已知各桿的拉壓剛度EA相同，正方形長度為l,解：（1）為求兩點間的相對位移，在BD兩點沿BD連線戒一對方向相反的單位力,2）將桿編號，分別求出各桿在外載和單位力作用下的軸力，將所得的軸力和各桿的長度列于表中,

10、3） B、D兩點的相對位移,表15-1 例15-11中各桿軸力及長度,例4 拐桿如圖，A處為一軸承，允許桿在軸承內(nèi)自由轉(zhuǎn)動，但不能上下移動，已知：E=210Gpa，G=0.4E，求B點的垂直位移,解：畫單位載荷圖,求內(nèi)力,能量方法,5,20,A,300,F=60N,B,x,500,C,x1,變形,能量方法,變形,解：畫單位載荷圖,求內(nèi)力,例8 結(jié)構(gòu)如圖，求A、B兩面的拉開距離,F,F,A,B,能量方法,15.5 計算莫爾積分的圖乘法 Multiplicative Graph Method for Calculating Mohr Integration,為了簡化Mohr積分計算,坐標原點取直線

11、與 軸的交點,在單位力作用下， 是一條直線,15.4 能量法求解超靜定問題,能量法求解步驟： （1）確定超靜定次數(shù) （2）以多余約束力代替多與約束，將結(jié)構(gòu)變?yōu)榛眷o定結(jié)構(gòu) （3）用能量法中的任一種方法求解多與約束出的位移 （4）由原結(jié)構(gòu)中多余約束處的位移協(xié)調(diào)條件，建立補充方程 （5）解補充方程。求出多余約束力 （6）用平衡方程求其余未知力，進行強度、剛度、穩(wěn)定性計算 （7）對于剛度，也可以在利用能量法求位移或變形,例15-12 簡支梁受力如圖15-19a所示，若FP、a、EI等均已知，使用圖乘法確定C點的撓度,解：（1）求反力并畫彎矩圖,2）在中點加單位力，并畫單位荷載彎矩圖,3）把彎矩圖分為

12、4段，求出各段的面積和形心對應(yīng)的單位荷載彎矩,4）根據(jù)單位荷載法,例15-13 如圖所示結(jié)構(gòu)，AB梁中點E受力FP作用，已知FP，a，EI，求AB梁中點E的垂直位移（僅考慮彎矩的影響,解：（1）求反力并畫彎矩圖(BCD是二力桿,2）在E點加單位力，并畫單位荷載彎矩圖,3）把彎矩圖分為4部分，求出各段的面積和形心對應(yīng)的單位荷載彎矩,4）根據(jù)單位荷載法,例15-14 已知圖15-21a所示剛架AC和CD兩部分的I=3103cm4，E=200GPa，F(xiàn)P=10kN，l=1m。試求截面D的轉(zhuǎn)角,解：（1）畫出荷載彎矩圖,2）在D點加單位彎矩，并畫單位荷載彎矩圖,3）把彎矩圖分為4部分，求出各段的面積和

13、形心對應(yīng)的單位荷載彎矩,4）根據(jù)單位荷載法,15.6 能量法求解超靜定問題,1）確定超靜定次數(shù)（多余約束數(shù)） （2）以多余約束力代替多余約束，將原結(jié)構(gòu)變?yōu)殪o定結(jié)構(gòu) （3）能量法求多余約束處的位移 （4）根據(jù)多余約束出的位移協(xié)調(diào)條件，建立補充方程 （5）解補充方程，求出多余約束力 （6）利用平衡方程求解其它未知量 （7）進行強度、剛度、穩(wěn)定性計算,例7 等截面梁如圖，用卡氏定理求B 點的撓度,求內(nèi)力,解：1.依 求多余反力,將內(nèi)力對FC求偏導(dǎo),取靜定基如圖,能量方法,F,C,A,L,0.5 L,B,變形,能量方法,2.求,將內(nèi)力對F求偏導(dǎo),求內(nèi)力,能量方法,變形,能量方法,例15-15 懸臂梁BC受均布荷載q=12kN/m作用，兩只成如圖15-22a所示。已知CD桿的截面面積A=100mm2，E1=70GPa，a=7.5m。BC梁的截面慣性矩I=20 106mm4，E2=200GPa，l=3m。求CD桿的軸力,1）解除D處約束，得靜定基如圖,2）變形協(xié)調(diào)條件,3）靜定基的內(nèi)力,4）利用卡氏第二定理， 求靜定基D處的位移,5）由變形協(xié)調(diào)條件， 靜定基D處的位移為零，