常微分方程答案78850new

1、常微分方程習題答案2.11.,并求滿足初始條件：x=0,y=1的特解. 解：對原式進行變量分離得并求滿足初始條件：x=0,y=1的特解.解：對原式進行變量分離得：3 解：原式可化為： 12解1516解： ，這是齊次方程，令17. 解：原方程化為 令方程組則有令當當另外 19. 已知f(x).解：設f(x)=y, 則原方程化為 兩邊求導得20.求具有性質 x(t+s)=的函數x(t),已知x(0)存在。解：令t=s=0 x(0)= 若x(0)0 得x=-1矛盾。所以x(0)=0. x(t)=) 兩邊積分得arctg x(t)=x(0)t+c 所以x(t)=tgx(0)t+c 當t=0時 x(0)

2、=0 故c=0 所以x(t)=tgx(0)t習題2.2求下列方程的解1=解： y=e (e)=e-e()+c=c e- ()是原方程的解。2+3x=e解：原方程可化為：=-3x+e所以：x=e (e e) =e (e+c) =c e+e 是原方程的解。3=-s+解：s=e(e )=e()= e()= 是原方程的解。4 ， n為常數.解：原方程可化為： 是原方程的解.5+=解：原方程可化為：=- ()= 是原方程的解.6 解： =+令 則 =u因此：= （*） 將帶入 （*）中 得：是原方程的解.13這是n=-1時的伯努利方程。兩邊同除以，令 P(x)= Q(x)=-1由一階線性方程的求解公式

3、=14 兩邊同乘以 令 這是n=2時的伯努利方程。兩邊同除以 令 P（x）= Q(x)=由一階線性方程的求解公式 = =15 這是n=3時的伯努利方程。兩邊同除以 令 = P(y)=-2y Q(y)= 由一階線性方程的求解公式 =16 y=+P(x)=1 Q(x)= 由一階線性方程的求解公式 = =c=1y=設函數(t)于t0,使得又是齊線性方程組的基本解組非齊線性方程組的解又對于非齊線性方程組的滿足初始條件的解x(t)，都存在固定的常數使得從而故上面方程的每一個解在上有界b) 時，當tN時由a)的結論故時，原命題成立 11、給定方程組 （5.15）這里A(t)是區(qū)間上的連續(xù)矩陣，設是（5.1

4、5）的一個基解矩陣，n維向量函數F(t,x)在，上連續(xù)，試證明初值問題： （*）的唯一解是積分方程組 （*）的連續(xù)解。反之，（*）的連續(xù)解也是初值問題（8）的解。證明：若是（*）的唯一解則由非齊線性方程組的求解公式即（*）的解滿足（*）反之，若是（*）的解，則有兩邊對t求導：即（*）的解是（*）的解習題5.3假設A是nn矩陣，試證：對任意常數、都有exp(A+A)=expAexpA對任意整數k,都有(expA)=expkA (當k是負整數時，規(guī)定(expA)(expA)證明：a) （A）（A）（A）（A） exp(A+A)= expAexpAb) k0時，(expA)expAexpAexpA

5、exp（A+A+A） expkA k0 (expA)(expA)=exp(-A) = exp(-A)exp(-A)exp(-A) exp(-A)(-k) expkA 故k，都有(expA)=expkA試證：如果是=Ax滿足初始條件的解，那么expA(t-t)證明：由定理8可知(t)-1(t0) (t) 又因為(t)= expAt , -1(t0)=( expAt0)-1= exp(-At0), f(s)=0,又因為矩陣 （At）（- At0）=（- At0）（At）所以 expA(t-t)試計算下面矩陣的特征值及對應的特征向量a） b）c） d）解：a）det（EA）=(5)(+1)=0=5,

6、 =1對應于=5的特征向量u=, ()對應于=1的特征向量v=, ()det（EA）=(+1)(+2)(2)01，2，2對應于1的特征向量u1， （ 0 ）對應于2的特征向量u2， （ ）對應于2的特征向量u3， （ ）c）det（EA）=(+1)2(3)0 1（二重），3對應于1（二重）的特征向量u， （ 0 ）對應于3的特征向量v, （ ）det（EA）=(+3)(+1)(+2)=0 1，2，3 對應于1的特征向量u1， （ 0 ） 對應于2的特征向量u2， （ ） 對應于3的特征向量u3， （ ）試求方程組=Ax的一個基解矩陣，并計算expAt，其中A為：a） b）c） d）解：a）de

7、t（EA）=0得，對應于的特征向量為u， （ 0 ）對應于的特征向量為v， （ ）u，v是對應于，的兩個線性無關的特征向量(t)=是一個基解矩陣 ExpAt=由det（EA）=0得5，1解得u，v是對應于，的兩個線性無關的特征向量則基解矩陣為(t)(0) 1(0)則expAt(t) 1(0) c） 由det（EA）=0得2，2，1 解得基解矩陣(t)1(0) 則expAt(t) 1(0)d）由det（EA）=0得3，2，2 解得基解矩陣(t)則expAt(t) 1(0)5、試求方程組=Ax的基解矩陣，并求滿足初始條件 解：a）由第4題（b）知，基解矩陣為 所以 b）由第4題（d）知，基解矩陣為

8、 (t) 所以由3（c）可知，矩陣A的特征值為3，1（二重） 對應的特征向量為u1，u2 解得 求方程組=Axf（t）的解：解：a）令=Ax的基解矩陣為(t)解得(t)， 則1(t)1(0)求得b）由det（EA）=0得1，2，3 設對應的特征向量為v1，則 （EA）v1=0，得v1 取v1，同理可得v2 ，v3 則(t)從而解得c）令=Ax的基解矩陣為(t)由det（EA）=0得1，2解得對應的基解矩陣為(t)1(t) 從而1(0)假設m不是矩陣A的特征值。試證非齊線性方程組 有一解形如 其中c，p是常數向量。 證：要證是否為解，就是能否確定常數向量p則p（mEA）c由于m不是A的特征值故m

9、EA存在逆矩陣那么pc（mEA）1 這樣方程就有形如的解給定方程組 試證上面方程組等價于方程組u=Au,其中u，A=試求a）中的方程組的基解矩陣試求原方程組滿足初始條件x1(0)=0, x1(0)=1, x2(0)=0的解。 證：a）令 則方程組化為即uu=Au 反之，設x1=u1,x1=u2,x2=u3 則方程組化為 b）由det（EA）=0得0，1，2由 得同理可求得u2和u3取則是一個基解矩陣c）令，則化為等價的方程組且初始條件變?yōu)槎鴿M足此初始條件的解為： 于是根據等價性，滿足初始條件的解為式試用拉普拉斯變換法解第5題和第6題。證明：略。求下列初值問題的解：解：a)根據方程解得 ， t，t01 1 t100 0 t綜上：t1 tb）對方程兩邊取拉普拉斯變換，得 解得c）對方程兩邊取拉普拉斯變換，得假設y是二階常系數線性微分方程初值問題 的解，試證是方程 的解，這里f（x）為已知連續(xù)函數。 證明：y y 習題6.3試