正弦定理課件.ppt

1、第二章:,1.1,1.問題的引入:,.,(1)在我國古代就有嫦娥奔月的神話故事.明月高懸,我們仰望夜空,會有無限遐想,不禁會問,月亮離我們地球有多遠呢?科學家們是怎樣測出來的呢？,(2)設A,B兩點在河的兩岸, 只給你米尺和量角設備,不過河你可以測出它們之間的距離嗎?,A,B,我們這一節(jié)所學習的內容就是解決這些問題的有力工具.,回憶一下直角三角形的邊角關系?,兩等式間有聯(lián)系嗎？,思考:,對一般的三角形,這個結論還能成立嗎?,2.定理的推導,1.1 正弦定理,(1)當 是銳角三角形時,結論是否還成立呢?,D,如圖:作AB上的高是CD,根椐三角形的定義,得到,1.1 正弦定理,E,(2)當 是鈍角

2、三角形時,以上等式是否仍然成立?,1.1.1 正弦定理,D,（1）文字敘述,正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角 的正弦的比相等.,（2）結構特點,（3）方程的觀點,正弦定理實際上是已知其中三個,求另一個.,能否運用向量的方法來證明正弦定理呢?,和諧美、對稱美.,正弦定理:,因為向量 與 在y軸上的射影均為 ，,如圖所示，以A為原點，以射線AB的方向為x軸正方向建立直角坐標系，C點在y軸上的射影為C，,即,所以,即,所以,若A為銳角或直角，也可以得到同樣的結論.,同理，,變式:,正弦定理 在一個三角形中,各邊和它所對角的正弦的比相等,即,剖析定理、加深理解,1、A+B+C=,2、大角對大邊

3、，大邊對大角,剖析定理、加深理解,3、正弦定理可以解決三角形中的問題：,已知兩角和一邊，求其他角和邊,已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊 的對角，進而可求其他的邊和角,剖析定理、加深理解,4、一般地，把三角形的三個角A，B，C和它們的對邊a，b，c叫做三角形的元素。已知三角形的幾個元素求其他元素的過程叫解三角形,剖析定理、加深理解,5、正弦定理的變形形式,6、正弦定理，可以用來判斷三角形的形狀，其主要功能是實現(xiàn)三角形邊角關系的轉化,例1 在 已知 , 解三角形.,通過例題你發(fā)現(xiàn)了什么一般性結論嗎?,小結：知道三角形的兩個內角和任何一邊，利 用正弦定理可以求出三角形中的其它元素。,1.1 正弦定

4、理,3.定理的應用舉例,變式：若將a=2 改為c=2，結果如何？,例 2,已知a=16， b= ， A=30 . 解三角形。,已知兩邊和其中一邊 的對角,求其他邊和角,解：由正弦定理,得,所以,60,或120,C=90,C=30,當120時,4.基礎練習題,1.1 正弦定理,B=300,無解,A,分析：如圖所示，將BD,CE分別延長相交于一點A，在ABC中，已知BC的長及角B與C，可以通過正弦定理求AB，AC的長.,例3.某地出土一塊類似三角形刀狀的古代玉佩(如圖所示)，其一角已破損.現(xiàn)測得如下數(shù)據(jù)：BC=2.57cm，CE=3.57cm，BD=4.38cm, .為了復原,請計算原玉佩兩邊的長

5、（結果精確到0.01cm）.,解：將BD,CE分別延長相交于一點A，在ABC中，BC=2.57cm,B=45,C=120, A=180-(B+C)=180-(45+120)=15. 因為 ,所以 利用計算器算得 AC7.02(cm), 同理,AB8.60(cm).,答：原玉佩兩邊的長分別約為7.02cm,8.60cm.,例4.臺風中心位于某市正東方向300 km處，正以40 km/h的速度向西北方向移動，距離臺風中心250 km范圍內將會受其影響.如果臺風風速不變，那么該市從何時起要遭受臺風影響？這種影響持續(xù)多長時間（結果精確到0.1h）?,分析：如圖所示，臺風 沿著BD運動時，由于|AB|

6、=300 km250 km，所以開 始臺風影響不了城市A，由點A 到臺風移動路徑BD最小距離 |AE|=|AB|sin45 所以臺風在運動過程中肯定要影響城市A. 這就要在BD上求影響A的始點C1和終點C2，然后根據(jù)臺風的速度計算臺風從C1到C2持續(xù)的時間.,解：設臺風中心從點B向西北方向沿射線BD移動，該市位于點B正西方向300 km處的點A. 假設經(jīng)過th，臺風中心到達點C，則在ABC中, AB=300 km，AC=250 km,BC=40t km,B=45.,正弦定理 主要應用,(1) 已知兩角及任意一邊，可以求出其他兩邊和另一角； (2)已知兩邊和其中一邊的對角，可以求出三角形的其他的

7、邊和角。(此時可能有一解、二解、無解）,1.1 正弦定理,小結:,作業(yè),正弦定理（第二課時）,1、復習回顧正弦定理的內容,問題1 由例2我們發(fā)現(xiàn)，已知兩邊和其中一邊的對角，解三角形時會出現(xiàn)兩解的情況.還會出現(xiàn)其他情況嗎？你能從代數(shù)或幾何角度給出解釋嗎？ 提示：已知兩邊及其中一邊的對角，用正弦定理，可能有兩解、一解或無解.在ABC中，已知a，b和A時，解的情況如下：,探究點2 正弦定理解三角形,1.為銳角,2.為鈍角,為直角時，與為鈍角相同， ab時，一解； ab時，無解.,問題2 如圖所示，在RtABC中，斜邊AB是ABC外接圓的直徑（設RtABC外接圓的半徑為R），因此,這個結論對于任意三角形(圖，圖)是否成立？,提示：成立，證明如下.,如圖:,當ABC為銳角三角形時，,當ABC為直角三角形時，容易得證.,問題3,而,所以,小結：,2、在 中，若 ，則 是( ) A.等腰三角形 B.等腰直角三角形 C.直角三角形 D.等邊三角形,1、在 中，一定成立的等式是（ ）,C,D,3.（2013北京高考）在ABC中，a=3,b=5,sinA=,則sinB=( ),A.,B.,C.,D.1,B,B,6.在 中，c=4,a=2,C= ,則 = _.,5.若A,B,C是ABC的三個內角， 則sinA+sinB_sinC.,通過本節(jié)課的學習: 1.掌握正弦定理的表示形式及證明正弦定理的向量