全國高中數(shù)學(xué)說課大賽教學(xué)設(shè)計(jì)一等獎作品：《空間中直線與直線的位置關(guān)系》

1、“空間中直線與直線的位置關(guān)系”教學(xué)設(shè)計(jì)教學(xué)目標(biāo) 知識與技能通過學(xué)習(xí)能知道空間直線的三種位置關(guān)系；初步理解異面直線的概念，會判斷兩直線的異面關(guān)系，初步理解異面直線的襯托畫法，初步理解異面直線所成角的概念，運(yùn)用平移的方法求異面直線所成的角；初步理解與運(yùn)用公理4解決問題，初步了解等角定理過程與方法通過學(xué)習(xí)經(jīng)歷異面直線的概念的形成過程，借助平面的襯托，體會異面直線的直觀畫法，通過對等角定理的溫故知新的探究，解決了異面直線的定義，并能求簡單的異面直線所成的角；借助長方體的模型，發(fā)現(xiàn)與感知平行線的傳遞性質(zhì)情感、態(tài)度與價值觀 經(jīng)歷師生的教與學(xué)的互動活動，讓學(xué)生初步體會化歸思想與空間想象能力的養(yǎng)成意義，通過學(xué)

2、習(xí)讓學(xué)生獲得對空間直線 的位置關(guān)系有一個清晰的認(rèn)識，把問題交給學(xué)生解決，讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)問題與解決問題，養(yǎng)成獨(dú)立思考的習(xí)慣重點(diǎn)、難點(diǎn)與關(guān)鍵點(diǎn) 重點(diǎn)：異面直線的概念、異面直線所成的角與簡單角的求法；公理4的運(yùn)用 難點(diǎn)：異面直線概念的理解與求法 關(guān)鍵點(diǎn)：異面直線的襯托畫法，找異面直線的角教學(xué)準(zhǔn)備：空間四邊形模型、長方體模型，直線、平面教具，教學(xué)課件教學(xué)過程設(shè)計(jì)： 思考問題：空間直線與直線的位置關(guān)系有幾種？ 設(shè)計(jì)意圖：由教科書第44頁“思考”中的問題，引起學(xué)生注意，誘發(fā)學(xué)生探知的欲望，養(yǎng)成思考問題的習(xí)慣 師生活動：（虛擬）教師放課件圖片，引導(dǎo)學(xué)生觀察：日光燈所在直線與黑板左右兩側(cè)所在直線的位置關(guān)系，讓

3、學(xué)生發(fā)現(xiàn)，直線與直線有既不平行又不相交的位置關(guān)系我們今天上課的內(nèi)容是： 板書：空間中直線與直線的位置關(guān)系觀察：如圖21-13，長方體ABCD-A1B1C1D1中，線段A1B1所在直線與線段BC所在直線的位置關(guān)系如何？（虛擬）學(xué)生：既不相交，又不平行教師：這種關(guān)系我們定義為異面直線板書：1異面直線的定義：把不同在任何一個平面內(nèi)的兩直線叫做異面直線（關(guān)鍵點(diǎn)：不同在任何一個平面內(nèi)）概念辨析：下列說法是否正確？請同學(xué)思考后回答：如圖，AD1平面，BC平面，問AD1，BC是否是異面關(guān)系。教師：同學(xué)們要理解定義中關(guān)鍵詞“不同在任何一個平面內(nèi)”，雖然直線AD1，BC是不在同一底面上，但它們卻在對角面A1BC

4、D1內(nèi)，因此，它們不是異面直線。（虛擬）由學(xué)生歸納空間直線的位置關(guān)系有且僅有三種：（幻燈片）：2空間直線的位置關(guān)系：板書：板書：3異面直線畫法：（幻燈片給出圖形及小標(biāo)題）：（1）一個平面襯托畫法： （2）兩個平面襯托畫法： 動畫設(shè)置：（教師與學(xué)生互動）（虛擬）把襯托平面移走，再看直線a與直線b的位置的異面關(guān)系是否直觀？很顯然，當(dāng)把襯托平面移走后，異面直線很不明顯，所以異面直線的平面襯托是很重要的，注意下列關(guān)鍵點(diǎn)：強(qiáng)調(diào)關(guān)鍵點(diǎn)：1）（一個平面襯托法）直線b與平面交點(diǎn)在直線a外； 2）（兩個平面襯托法）直線a，b與棱都相交，且交點(diǎn)不重合師生活動：如圖，長方體ABCD-A1B1C1D1中，AA1BB1

5、，CC1BB1，那么AA1與CC1平行嗎？（虛擬互動）：由幻燈片閃爍AA1BB1，CC1BB1，再閃爍AA1CC1，由學(xué)生觀察得到結(jié)論板書（幻燈片）：4公理4 平行于同一直線的兩直線互相平行 即 若AA1BB1，CC1BB1，則AA1CC1教師與學(xué)生共同探出：公理是判斷空間直線平行的依據(jù)；平行線的性質(zhì)是具有傳遞性學(xué)以致用（1）：例2 如圖21-17，空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)求證：四邊形EFGH是平行四邊形師生互動：（虛擬）教師先給學(xué)生觀察空間四邊形的教具，分析與回顧平行四邊形定義，三角形中位線的性質(zhì)，平行線與等式的傳遞性，要證明四邊形是平行四邊形，

6、需要什么條件？請學(xué)生口述，教師寫板書（板書）：證明：連結(jié)BD， EH是ABD的中位線， EHBD，且EH=，同理，F(xiàn)GBD，且FG=， EHFG，且EH=FG， 四邊形EFGH是平行四邊形 更上一層樓，變式探究：在例2中，若加條件AC=BD，那么四邊形EFGH又是什么圖形？ 溫故而知新：“如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等或互補(bǔ)”空間中，結(jié)論是否成立？教師提供圖形，由學(xué)生在課后完成 5等角定理 完善體系：探究刻畫異面直線的位置關(guān)系，引入異面直線所成的角的概念 6異面直線所成角的定義 引入：由幻燈片閃爍異面直線AA1和BC，B1D1和BC它們都是異面關(guān)系，但又有明顯的區(qū)別

7、，可以引入異面直線所成的角來刻畫這種區(qū)別。（幻燈片）：如圖，已知兩異面直線a，b，空間任取一點(diǎn)O，經(jīng)過點(diǎn)O作直線，把與所成的銳角或直角叫做異面直線a與b所成的角（或稱夾角）特殊情形，若兩異面直線成直角，則稱兩異面直線互相垂直，記作ab教師與學(xué)生共同探討，得到結(jié)論：異面直線所成的角可以通過平移變換，把異面直線成角化歸成相交直線成角學(xué)以致用（2）：（由幻燈給出）例3 如圖，已知正方體中（1） 哪些棱所在的直線與直線是異面直線？（2） 求棱和所成角；（3） 求和所成的角。 （虛擬互動）先由學(xué)生獨(dú)立思考，再讓學(xué)生舉手發(fā)言，教師作補(bǔ)充、訂正和結(jié)論（按三維方向或三對面分類進(jìn)行分析） 課堂練習(xí)：在例3中，直

8、線和AC所成的角是多少？ 課后思考：1若，則直線和是異面直線；（ ）2如圖，則直線和是異面直線；（ ）3若，則（ ）教科書第48頁練習(xí) 課堂小結(jié)1.異面直線的定義：不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線2.空間兩直線的位置關(guān)系3.異面直線的畫法：平面襯托4.公理4：平行于同一直線的兩條直線互相平行5等角定理：如果一個角的兩邊分別平行于另一個角的兩邊，那么它們相等或互補(bǔ)6異面角的求法：一作（找）二說三求。課后練習(xí)：1 舉出你生活環(huán)境中異面直線的實(shí)例兩例；2 完成教科書第48頁上練習(xí)；3第47頁探究問題：如圖21-18，觀察長方體ABCD-A1B1C1D1中，（1）有沒有兩條棱所在的直線是互相垂直的異面直

9、線？（2）如果兩條平行直線中的一條與另一條直線垂直，那么，另一條直線是否也與這條直線垂直？（3）垂直于同一直線的兩條直線是否垂直？設(shè)計(jì)意圖：1讓學(xué)生養(yǎng)成借助長方體模型的判斷問題的習(xí)慣；2克服平面內(nèi)兩直線定勢思維的影響課后研究：（用泡沫紙做成教具）圖21-15是一個正方體的展開圖，如果將它還原成正方體，那么AB，CD，EF，GH這四條線段所在直線是異面直線的有 對（互動）：由一名學(xué)生上臺把（教具）展開圖還原成正方體，二名學(xué)生上臺畫還原圖；教師與學(xué)生共同歸納規(guī)律：1選取一個正對面，然后確定左右兩側(cè)面，上下底面，最后定對面；2這些線段都是面對角線板書設(shè)計(jì)空間中直線與直線的位置關(guān)系1 2公理4：平行于

10、同一直線的兩條直線互相平行 3異面直線的畫法 4 例2 證明：連結(jié)BD， EH是ABD的中位線， EHBD，且EH=，同理，F(xiàn)GBD，且FG=， EHFG，且EH=FG， 四邊形EFGH是平行四邊形“空間中直線與直線的位置關(guān)系”教學(xué)設(shè)計(jì)說明（1） 本課數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)、地位、作用分析本課數(shù)學(xué)內(nèi)容是空間直線與直線的位置關(guān)系的分類，異面直線的定義、畫法、成角定義，平行公理和等角定理。本課地位是體現(xiàn)公理化思想的基礎(chǔ)，作用在空間線面平行（垂直）、面面平行（垂直）的轉(zhuǎn)化的基礎(chǔ)。設(shè)計(jì)以長方體為載體，讓學(xué)生直觀認(rèn)識空間直線的位置關(guān)系和異面直線成角的定義，用空間四邊形的模型來應(yīng)用平行公理。（2） 教學(xué)目標(biāo)分析了解空間兩直線的三種位置關(guān)系，理解異面直線的定義，掌握平行