《矩陣及線型方程組》PPT課件.ppt

1、Matlab 與計算方法,華僑大學計算機學院 張國亮 2010.9,第3章 矩陣及線型方程組,3.1.1 數值矩陣的生成 ，遵循下列幾個基本步驟： 用空格或者逗號來區(qū)分一行里不同的元素。 用分號；來區(qū)分不同的行。 用方括號來括住全體元素,3.1 MATLAB矩陣表示和運算,MATLAB，即“矩陣實驗室”，它是以矩陣為基本運算單元,第3章 矩陣及線型方程組,3.1.1 數值矩陣的生成： 例： Time = 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Time = 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X_Data = 2.32 3.43;4.37 5.98 X_Data

2、 = 2.43 3.43 4.37 5.98 vect_a = 1 2 3 4 5 vect_a = 1 2 3 4 5 Null_M = %生成一個空矩陣,3.1 MATLAB矩陣表示和運算,第3章 矩陣及線型方程組,3.1.2 復數矩陣輸入 兩種方式： 1 直接在數組元素中加入復數單位，a+i*b形式； 2 輸入數據矩陣，按照矩陣相乘的方式來表示矩陣 第一種方式 a=2.7;b=13/25; C=1,2*a+i*b,b*sqrt(a); sin(pi/4),a+5*b,3.5+1 C = 1 27/5 + 13/25i 317/371 985/1393 53/10 9/2,3.1 MATL

3、AB矩陣表示和運算,第3章 矩陣及線型方程組,3.1.2 復數矩陣輸入 第2種方式 R=1 2 3;4 5 6, M=11 12 13;14 15 16 R = 1 2 3 4 5 6 M = 11 12 13 14 15 16 CN=R+i*M CN = 1.0000 +11.0000i 2.0000 +12.0000i 3.0000 +13.0000i 4.0000 +14.0000i 5.0000 +15.0000i 6.0000 +16.0000i,3.1 MATLAB矩陣表示和運算,第3章 矩陣及線型方程組,3.1.3 符號矩陣的生成 在MATLAB中輸入符號矩陣的方法和輸入數值類型

4、的矩陣在形式上很相像，只不過要用到符號矩陣定義函數sym，或者是用到符號定義函數syms，先定義一些必要的符號變量，再像定義普通矩陣一樣輸入符號矩陣。 1用命令sym定義矩陣 2. 用命令syms定義矩陣,3.1 MATLAB矩陣表示和運算,第3章 矩陣及線型方程組,3.1.3 符號矩陣的生成 1用命令sym定義矩陣： 這時的函數sym實際是在定義一個符號表達式，這時的符號矩陣中的元素可以是任何的符號或者是表達式，而且長度沒有限制，只是將方括號置于用于創(chuàng)建符號表達式的單引號中。如下例： sym(a b c；Jack，Help Me!，NO WAY!，) sym_matrix = a b c J

5、ack Help Me! NO WAY! sym_digits = sym（1 2 3；a b c；sin（x）cos（y）tan（z） sym_digits = 1 2 3 a b c sin（x）cos（y）tan（z,3.1 MATLAB矩陣表示和運算,第3章 矩陣及線型方程組,3.1.3 符號矩陣的生成 2 用命令syms定義矩陣 先定義矩陣中的每一個元素為一個符號變量，而后像普通矩陣一樣輸入符號矩陣。 例： syms a b c M1 = sym(Classical); M2 = sym(Jazz);M3 = sym(Blues) syms_matrix = a b c; M1, M

6、2, M3 syms_matrix = a b c Classical Jazz Blues,3.1 MATLAB矩陣表示和運算,第3章 矩陣及線型方程組,包含全零陣、單位陣、全一陣、隨機陣 命令 全零陣,函數 zeros 格式 B = zeros(n) %生成nn全零陣 B = zeros(m,n) %生成mn全零陣 B = zeros(m n) %生成mn全零陣 B = zeros(d1,d2,d3) %生成d1d2d3全零陣或數組 B = zeros(d1 d2 d3) %生成d1d2d3全零陣或數組 B = zeros(size(A) %生成與矩陣A相同大小的全零陣 命令 單位陣,函數

7、 eye 格式 Y = eye(n) %生成nn單位陣 Y = eye(m,n) %生成mn單位陣 Y = eye(size(A) %生成與矩陣A相同大小的單位陣,3.2 特殊矩陣的生成,第3章 矩陣及線型方程組,命令 全1陣, 函數 ones 格式 Y = ones(n) %生成nn全1陣 Y = ones(m,n) %生成mn全1陣 Y = ones(m n) %生成mn全1陣 Y = ones(d1,d2,d3) %生成d1d2d3全1陣或數組 Y = ones(d1 d2 d3) %生成d1d2d3全1陣或數組 Y = ones(size(A) %生成與矩陣A相同大小的全1陣,3.2

8、特殊矩陣的生成,第3章 矩陣及線型方程組,命令 均勻分布隨機矩陣 ,函數 rand 格式 Y = rand(n) %生成nn隨機矩陣，其元素在（0，1）內 Y = rand(m,n) %生成mn隨機矩陣 Y = rand(m n) %生成mn隨機矩陣 Y = rand(m,n,p,) %生成mnp隨機矩陣或數組 Y = rand(m n p) %生成mnp隨機矩陣或數組 Y = rand(size(A) %生成與矩陣A相同大小的隨機矩陣 例：產生一個34隨機矩陣 R=rand(3,4) R = 0.9501 0.4860 0.4565 0.4447 0.2311 0.8913 0.0185 0

9、.6154 0.6068 0.7621 0.8214 0.7919 隨機矩陣每次產生的數據是不同的,3.2 特殊矩陣的生成,第3章 矩陣及線型方程組,3.3.1 加、減運算 運算符：“”和“” 。 運算規(guī)則：對應元素相加、減，即按線性代數中矩陣的“十”，“一”運算進行。 A = 1, 1, 1; 1, 2, 3; 1, 3, 6 B = 8, 1, 6; 3, 5, 7; 4, 9, 2 A+B A-B 結果顯示：A+B= 9 2 7 4 7 10 5 12 8 A-B= -7 0 -5 -2 -3 -4 -3 -6 4,3.3 矩陣運算,第3章 矩陣及線型方程組,3.3.2 矩陣相乘 運算符

10、：* 運算規(guī)則：按線性代數中矩陣乘法運算進行，即放在前面的矩陣的各行元素，分別與放在后面的矩陣的各列元素對應相乘并相加。 1兩個矩陣相乘 X= 2 3 4 5; 1 2 2 1 Y=0 1 1; 1 1 0;0 0 1;1 0 0 Z=X*Y 結果顯示為： Z= 8 5 6 3 3 3,3.3 矩陣運算,第3章 矩陣及線型方程組,3.3.2 矩陣相乘 運算符：.* 2 矩陣的數乘 例：a=2*X， 則顯示：a = 4 6 8 10 2 4 4 2 向量的點乘（內積）：維數相同的兩個向量的點乘。 數組乘法： A.*B表示A與B對應元素相乘,3.3 矩陣運算,第3章 矩陣及線型方程組,3.3.2

11、矩陣相乘 3 矩陣(向量)的點乘（內積） 函數 dot 格式 C = dot(A,B) %若A、B為向量，則返回向量A與B的點積，A與 % B長度相同；若為矩陣，則A與B有相同的維數。 C = dot(A,B,dim) %在dim維數中給出A與B的點積 例: X=-1 0 2; Y=-2 -1 1; Z=dot(X, Y) 則顯示：Z = 4,3.3 矩陣運算,第3章 矩陣及線型方程組,3.3.2 矩陣相乘 4 向量叉乘 函數 cross 格式 C = cross(A,B) % 若A、B為向量，則返回A與B的叉 乘，即C=AB；矩陣同理。 C = cross(A,B,dim) % 在dim維數

12、中給出向量A與B的叉積。 A和B必須具有相同的維數，size(A,dim)和 size(B,dim)必須是3。 例 計算垂直于向量(1, 2, 3)和(4, 5, 6)的向量。 a=1 2 3; b=4 5 6; c=cross(a,b) 結果顯示： c= -3 6 -3,3.3 矩陣運算,第3章 矩陣及線型方程組,3.3.2 矩陣相乘 5 混合積 混合積由cross 、 dot函數實現： 例： 計算向量a=(1, 2, 3)、b=(4, 5, 6)和c=(-3, 6, -3) 的混合積解： a=1 2 3; b=4 5 6; c=-3 6 -3; x=dot(a, cross(b, c) 結

13、果顯示：x = 54 注意：先叉乘后點乘，順序不可顛倒,3.3 矩陣運算,第3章 矩陣及線型方程組,3.3.2 矩陣相乘 6 矩陣的卷積和多項式乘法 函數 conv 格式 w = conv(u,v) % u、v為向量，其長度可不相同。 說明: 長度為m的向量序列u和長度為n的向量序列v的卷積定義為： w(1) = u(1)*v(1) w(3) = u(1)*v(3)+u(2)*v(2)+u(3)*v(1) w(n) = u(1)*v(n)+u(2)*v(n-1)+ +u(n)*v(1),3.3 矩陣運算,第3章 矩陣及線型方程組,3.3.2 矩陣相乘 6 矩陣的卷積和多項式乘法 例: 展開多項

14、式 w=conv(1,2,2,conv(1,4,1,1) w = 1 7 16 18 8 P=poly2str(w,s) %將w表示成多項式 P = s4 + 7 s3 + 16 s2 + 18 s + 8 注意：沒有的項要用“0”來表示。,3.3 矩陣運算,第3章 矩陣及線型方程組,3.3.3 除法運算 Matlab提供了兩種除法運算：左除（）和右除（/）。一般情況下， x=ab是方程a*x =b的解，而x=b/a是方程x*a=b的解。 例：a=1 2 3; 4 2 6; 7 4 9 b=4; 1; 2; x=ab （區(qū)分x=b/a) 則顯示：x=-1.5000 2.0000 0.5000,

15、3.3 矩陣運算,第3章 矩陣及線型方程組,3.3.3 除法運算 如果矩陣a為非奇異矩陣，則ab和b/a可通過a的逆矩陣與b陣得到： ab = inv(a)*b b/a = b*inv(a) 注意:解方程組的時候inv()函數應用很少，因為很多情況下無法滿足非奇異的條件。 數組除法： A./B表示A中元素與B中元素對應相除,3.3 矩陣運算,第3章 矩陣及線型方程組,3.3.4 矩陣乘方 運算符： 運算規(guī)則： （1）當A為方陣，P為大于0的整數時，AP表示A的P次方，即A自乘P次； P為小于0的整數時，AP表示A的-|P|次方。 （2）當A為方陣，p為非整數時，則 ,其中V為A的特征向 量，

16、為特征值對角矩陣。如果有重根，以上指令不成立。 其中V為A的特征向量， （3）標量的數組乘方P.A，標量的數組乘方定義為 數組乘方：A.P：表示A的每個元素的P次乘方,3.3 矩陣運算,第3章 矩陣及線型方程組,3.3.5 重要矩陣函數 方陣指數，函數 expm 矩陣的對數，函數 logm 格式 Y = expm(A) Y = logm(X) %計算矩陣X的對數，它是expm(X)的反函數。 例 A=1 1 0;0 0 2;0 0 -1; Y=expm(A) Y = 2.7183 1.7183 1.0862 0 1.0000 1.2642 0 0 0.3679 A=logm(Y) A = 1.

17、0000 1.0000 0.0000 0 0 2.0000 0 0 -1.0000,3.3 矩陣運算,第3章 矩陣及線型方程組,3.3.6方陣的函數 函數 funm 格式 F = funm(A,fun) %A為方陣，計算由fun指定的A的矩陣函數，fun可以是任意基本函數，如sin、cos等等，例如：funm(A, exp)=expm(A) 與前面指數運算的方式是一樣的,3.3 矩陣運算,第3章 矩陣及線型方程組,3.3.7 矩陣轉置 運算符： 運算規(guī)則：若矩陣A的元素為實數，則與線性代數中矩陣的轉置相同。 若A為復數矩陣，則A轉置后的元素由A對應元素的共軛復數構成,3.3 矩陣運算,第3章

18、矩陣及線型方程組,3.3.8方陣的行列式 函數 det 格式 d = det(X) 例： A=1 2 3;4 5 6;7 8 9 A = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 D=det(A) D = 0,3.3 矩陣運算,第3章 矩陣及線型方程組,3.3.9 逆與偽逆 命令 逆, 函數 inv 格式 Y=inv(X) %求方陣X的逆矩陣。若X為奇異陣或 近似奇異陣，將給出警告信息。 例: 求的逆矩陣 A=1 2 3; 2 2 1; 3 4 3; Y=inv(A) 則結果顯示為 Y = 1.0000 3.0000 -2.0000 -1.5000 -3.0000 2.5000 1.0000 1.0

19、000 -1.0000,3.3 矩陣運算,第3章 矩陣及線型方程組,3.3.9 逆與偽逆 命令 偽逆, 函數 pinv 格式 B = pinv(A) %求矩陣A的偽逆 B = pinv(A, tol) %tol為誤差：max(size(A)*norm(A)*eps 說明:當矩陣為長方陣時，方程AX=I和XA=I至少有一個無解，這時A的偽逆能在某種程度上代表矩陣的逆，若A為非奇異矩陣，則pinv(A) = inv(A)。 A = 1 1 1;2 2 2;1 2 3，inv(A),pinv(A) 關于求偽逆的方法有很多鐘，感興趣的可以參考相關資料，求偽逆是矩陣以及方程組中十分重要的內容,3.3 矩

20、陣運算,第3章 矩陣及線型方程組,3.3.10 矩陣的跡 、秩、范數、條件數 矩陣的跡 函數 trace 格式 b=trace (A) %返回矩陣A的跡，即A的對角線元素之和。 矩陣的秩 函數 rank 格式 k = rank (A) %求矩陣A的秩,3.3 矩陣運算,第3章 矩陣及線型方程組,3.3.10 矩陣的跡 、秩、范數、條件數 矩陣和向量的范數 函數 norm 矩陣的條件數 函數 cond 格式 c = cond(X) %X的最大奇異值和最小奇異值的商。 說明 線性方程組AX=b的條件數是一個大于或者等于1的實數，用來衡量關于數據 中的擾動，也就是A/或b對解X的靈敏度，一個差條件的

21、方程組的條件數很大,3.3 矩陣運算,第3章 矩陣及線型方程組,3.3.11 符號矩陣運算 關于符號計算的問題在第四章來詳細講，這里記住Matlab 把符號矩陣的四則運算簡化為與數值矩陣完全相同的運算方式，其運算符為：加（）、減（）、乘（）、除（/、）等。符號矩陣的其他一些基本運算包括轉置（）、行列式（det）、逆（inv）、秩（rank）、冪（）和指數（exp和expm）等都與數值矩陣相同。 例： A = sym(1/x,1/(x+1);1/(x+2),1/(x+3); B = sym(x,1;x+2, 0); C=B-A 則顯示： C= x-1/x 1-1/(x+1) x+2-1/(x+2

22、) -1/(x+3,3.2 矩陣運算,第3章 矩陣及線型方程組,3.3.12 矩陣關系運算 M AT L A B有用于比較矩陣的六個關系運算符，也可以對矩陣與一個標量進行比較，即矩陣中的每個元素與標量進行比較。 關系運算符如下： 大于 = 大于等于 = = 等于 = 不等于 在一個表達式中，算術運算符優(yōu)先級最高，其次是關系運算符，最低級別是邏輯運算符，圓括號可以改變其順序,3.3 矩陣運算,第3章 矩陣及線型方程組,3.3.13 矩陣邏輯運算 設矩陣A和B都是mn矩陣或其中之一為標量，在MATLAB中定義了如下的邏輯運算： （1）矩陣的與運算 格式 A1 3 5 0,B=1 0 5 3;1 5

23、 0 5 A = 0 2 3 4 1 3 5 0 B = 1 0 5 3 1 5 0 5,3.3矩陣運算,C1=A4 5 6;7 8 9 L,U=lu(A) L = 0.1429 1.0000 0 0.5714 0.5000 1.0000 1.0000 0 0 U = 7.0000 8.0000 9.0000 0 0.8571 1.7143 0 0 0.0000,3.4 矩陣分解,第3章 矩陣及線型方程組,3.4.2 Cholesky分解 函數 chol 格式 R = chol(X) %如果X為n階對稱正定矩陣，則存在一個實的非奇異上三角陣R，滿足R*R = X；若X非正定，則產生錯誤信息。

24、R,p = chol(X) %不產生任何錯誤信息，若X為正定陣，則p=0，R與上相同；若X非正定，則p為正整數，R是有序的上三角陣,3.4 矩陣分解,第3章 矩陣及線型方程組,3.4.2 Cholesky分解 X=pascal(4) %產生4階pascal矩陣 X = 1 1 1 1 1 2 3 4 1 3 6 10 1 4 10 20 R,p=chol(X) R = 1 1 1 1 0 1 2 3 0 0 1 3 0 0 0 1 p = 0,3.4 矩陣分解,第3章 矩陣及線型方程組,3.4.3 特征值分解* 函數 eig 格式 d = eig(A) %求矩陣A的特征值d，以向量形式存放d。

25、 d = eig(A,B) %A、B為方陣，求廣義特征值d，以向量形式存放d。 V,D = eig(A) %計算A的特征值對角陣D和特征向量V，使 AV=VD成立。 V,D = eig(A,B) %計算廣義特征值向量陣V和廣義特征值陣D，滿足AV=BVD。 說明 一般特征值問題是求解方程： 解的問題。廣義特征值問題是求方程： 解的問題,3.4 矩陣分解,第3章 矩陣及線型方程組,3.4.4 奇異值分解 函數 svd 格式 s = svd (X) %返回矩陣X的奇異值向量 U,S,V = svd (X) %返回一個與X同大小的對角矩陣S，兩個酉矩陣U和V，且滿足A= U*S*V。若A為mn陣，則

26、U為 mm陣，V為nn陣。奇異值在S的對角線上，非負且按降序排列。 U,S,V = svd (X,0) %得到一個“有效大小”的分解，只計算出矩陣U的前n列，矩陣S的大小為nn,3.4 矩陣分解,第3章 矩陣及線型方程組,3.4.4 奇異值分解 例: A=1 2;3 4;5 6;7 8; U,S,V=svd(A) U = -0.1525 -0.8226 -0.3945 -0.3800 -0.3499 -0.4214 0.2428 0.8007 -0.5474 -0.0201 0.6979 -0.4614 -0.7448 0.3812 -0.5462 0.0407,3.4 矩陣分解,S = 14

27、.2691 0 0 0.6268 0 0 0 0 V = -0.6414 0.7672 -0.7672 -0.6414,第3章 矩陣及線型方程組,線性方程的求解分為兩類： 一類是方程組求唯一解或求特解，另一類是方程組求無窮解即通解。兩類問題可以通過系數矩陣的秩來判斷： 若系數矩陣的秩r=n（n為方程組中未知變量的個數），則有唯一解； 若系數矩陣的秩rn，則可能有無窮解； 線性方程組的無窮解 = 對應齊次方程組的通解+非齊次方程組的一個特解；其中，特解的求法屬于解的第一類問題，通解部分屬第二類問題,3.5 線性方程的組的求解,第3章 矩陣及線型方程組,3.5.1 求線性方程組的唯一解或特解（第一

28、類問題） 這類問題的求法分為兩類： 一類主要用于解低階稠密矩陣 直接法； 另一類是解大型稀疏矩陣 迭代法。 1利用矩陣除法求線性方程組的特解（或一個解） 方程：AX=b 解法：X=Ab,3.5 線性方程的組的求解,第3章 矩陣及線型方程組,3.5.1 求線性方程組的唯一解或特解（第一類問題） 求方程組 的解 解： A=5 6 0 0 0； 1 5 6 0 0； 0 1 5 6 0 ； 0 0 1 5 6； 0 0 0 1 5; B=1 0 0 0 1; R_A=rank(A) %求秩 X=AB %求解 運行后結果如下 R_A = 5 X =2.2662 -1.7218 1.0571 -0.59

29、40 0.3188 這就是方程組的解,3.5 線性方程的組的求解,第3章 矩陣及線型方程組,3.5.1 求線性方程組的唯一解或特解（第一類問題） 1利用矩陣除法求線性方程組的特解 例 求方程組 的一個特解。 解： A=1 1 -3 -1;3 -1 -3 4;1 5 -9 -8; B=1 4 0; X=AB %由于系數矩陣不滿秩，該解法可能存在誤差。 X = 0 0 -0.5333 0.6000（一個特解近似值,3.5 線性方程的組的求解,第3章 矩陣及線型方程組,3.5.1 求線性方程組的唯一解或特解（第一類問題） 2 利用矩陣的LU、QR和cholesky分解求方程組的解函數 （1）LU分解： LU分解又稱Gauss消去分解，可把任意方陣分解為下三角矩陣的基本變換形式（行交換）和上三角矩陣的乘積。即A=LU，L為下三角陣，U為上三角陣。 則：A*X=b 變成L*U*X=b 所以X=U(Lb) 這樣可以大大提高運算速度。 說明 這三種分解，在求解大型方程組時很有用。其優(yōu)點是運算速度快、可以節(jié)省磁盤空間、節(jié)省內存,3.5 線性方程的組的求解,第3章 矩陣及線型方程組,3.5.2 求線性齊次方程組的通解 （第二類問題） 在Matlab中，函數null用來求解零空