2011年陜西高考理科數(shù)學試題及答案詳解

1、.2011年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試理科數(shù)學（必修+選修）(陜西卷)一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的（本大題共10小題，每小題5分，共50分）1設(shè)，是向量，命題“若，則”的逆命題是 （ ）（A）若，則 （B）若，則（C）若，則 （D）若，則【分析】首先確定原命題的條件和結(jié)論，然后交換條件和結(jié)論的位置即可得到逆命題?！窘狻窟xD 原命題的條件是，作為逆命題的結(jié)論；原命題的結(jié)論是，作為逆命題的條件，即得逆命題“若，則”，故選D2設(shè)拋物線的頂點在原點，準線方程為，則拋物線的方程是 （ ）（A） （B） （C） （D）【分析】由準線確定拋物線的位置和開口方向是判斷的關(guān)鍵

2、【解】選B 由準線方程得,且拋物線的開口向右（或焦點在軸的正半軸），所以3設(shè)函數(shù)（R）滿足，則函數(shù)的圖像是 （ ）【分析】根據(jù)題意，確定函數(shù)的性質(zhì)，再判斷哪一個圖像具有這些性質(zhì)【解】選B 由得是偶函數(shù)，所以函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，可知B，D符合；由得是周期為2的周期函數(shù)，選項D的圖像的最小正周期是4，不符合，選項B的圖像的最小正周期是2，符合，故選B4（R）展開式中的常數(shù)項是 （ ）（A） （B） （C）15 （D）20【分析】根據(jù)二項展開式的通項公式寫出通項，再進行整理化簡，由的指數(shù)為0，確定常數(shù)項是第幾項，最后計算出常數(shù)項.【解】選C ，令，則，所以，故選C5某幾何體的三視圖如圖所示，則它的

3、體積是 （ ）（A）（B）（C）（D）【思路點撥】根據(jù)已知的三視圖想象出空間幾何體，然后由幾何體的組成和有關(guān)幾何體體積公式進行計算【精講精析】選A 由幾何體的三視圖可知幾何體為一個組合體，即一個正方體中間去掉一個圓錐體，所以它的體積是.6函數(shù)在內(nèi) （ ）（A）沒有零點 （B）有且僅有一個零點（C）有且僅有兩個零點 （D）有無窮多個零點【分析】利用數(shù)形結(jié)合法進行直觀判斷，或根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)（值域、單調(diào)性等）進行判斷?！窘狻窟xB （方法一）數(shù)形結(jié)合法，令，則，設(shè)函數(shù)和，它們在的圖像如圖所示，顯然兩函數(shù)的圖像的交點有且只有一個，所以函數(shù)在內(nèi)有且僅有一個零點；（方法二）在上，所以；在，所以函數(shù)是增函數(shù)，

4、又因為，所以在上有且只有一個零點7設(shè)集合，為虛數(shù)單位，R，則為（ ）（A）（0，1） （B）， （C）， （D），【分析】確定出集合的元素是關(guān)鍵。本題綜合了三角函數(shù)、復(fù)數(shù)的模，不等式等知識點?！窘狻窟xC ，所以；因為，所以，即，又因為R，所以，即；所以，故選C.8右圖中，為某次考試三個評閱人對同一道題的獨立評分，為該題的最終得分，當，時，等于（ ）（A）11 （B）10 （C）8 （D）7【分析】先讀懂右圖的邏輯順序，然后進行計算判斷，其中判斷條件是否成立是解答本題的關(guān)鍵【解】選C ，,不成立,即為“否”，所以再輸入；由絕對值的意義（一個點到另一個點的距離）和不等式知，點到點的距離小于點到的距

5、離，所以當時，成立，即為“是”，此時，所以，即，解得，不合題意；當時，不成立，即為“否”，此時，所以，即，解得，符合題意，故選C9設(shè)，是變量和的個樣本點，直線是由這些樣本點通過最小二乘法得到的線性回歸方程（如圖），以下結(jié)論中正確的是 （ ）（A）和的相關(guān)系數(shù)為直線的斜率（B）和的相關(guān)系數(shù)在0到1之間（C）當為偶數(shù)時，分布在兩側(cè)的樣本點的個數(shù)一定相同（D）直線過點【分析】根據(jù)最小二乘法的有關(guān)概念：樣本點的中心，相關(guān)系數(shù)線，性回歸方程的意義等進行判斷【解】選D選項具體分析結(jié)論A相關(guān)系數(shù)用來衡量兩個變量之間的相關(guān)程度，直線的斜率表示直線的傾斜程度；它們的計算公式也不相同不正確B相關(guān)系數(shù)的值有正有負，

6、還可以是0；當相關(guān)系數(shù)在0到1之間時，兩個變量為正相關(guān)，在到0之間時，兩個變量負相關(guān)不正確C兩側(cè)的樣本點的個數(shù)分布與的奇偶性無關(guān)，也不一定是平均分布不正確D回歸直線一定過樣本點中心；由回歸直線方程的計算公式可知直線必過點正確10甲乙兩人一起去游“2011西安世園會”，他們約定，各自獨立地從1到6號景點中任選4個進行游覽，每個景點參觀1小時，則最后一小時他們同在一個景點的概率是 （ ）（A） （B） （C） （D）【分析】本題抓住主要條件，去掉次要條件（例如參觀時間）可以簡化解題思路，然后把問題簡化為兩人所選的游覽景點路線的排列問題【解】選D 甲乙兩人各自獨立任選4個景點的情形共有（種）；最后一

7、小時他們同在一個景點的情形有（種），所以二、填空題：把答案填在答題卡相應(yīng)題號后的橫線上（本大題共5小題，每小題5分，共25分）11設(shè)，若，則 【分析】分段函數(shù)問題通常需要分布進行計算或判斷，從算起是解答本題的突破口.【解】因為，所以，又因為，所以，所以，【答案】112設(shè)，一元二次方程有整數(shù)根的充要條件是 【分析】直接利用求根公式進行計算，然后用完全平方數(shù)、整除等進行判斷計算【解】，因為是整數(shù)，即為整數(shù)，所以為整數(shù)，且，又因為，取，驗證可知符合題意；反之時，可推出一元二次方程有整數(shù)根【答案】3或413觀察下列等式1=12+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49照此規(guī)

8、律，第個等式為 .【分析】歸納總結(jié)時，看等號左邊是子的變化規(guī)律，右邊結(jié)果的特點，然后歸納出一般結(jié)論行數(shù)、項數(shù)及其變化規(guī)律是解答本題的關(guān)鍵【解】把已知等式與行數(shù)對應(yīng)起來，則每一個等式的左邊的式子的第一個數(shù)是行數(shù)，加數(shù)的個數(shù)是；等式右邊都是完全平方數(shù)， 行數(shù) 等號左邊的項數(shù)1=1 1 12+3+4=9 2 33+4+5+6+7=25 3 54+5+6+7+8+9+10=49 4 7 所以，即【答案】14植樹節(jié)某班20名同學在一段直線公路一側(cè)植樹，每人植一棵，相鄰兩棵樹相距10米開始時需將樹苗集中放置在某一樹坑旁邊，使每位同學從各自樹坑出發(fā)前來領(lǐng)取樹苗往返所走的路程總和最小，這個最小值為 （米）【分

9、析】把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學模型,然后列式轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題【解】（方法一）設(shè)樹苗放在第個樹坑旁邊（如圖）， 1 2 19 20那么各個樹坑到第i個樹坑距離的和是，所以當或時，的值最小，最小值是1000，所以往返路程的最小值是2000米.（方法二）根據(jù)圖形的對稱性，樹苗放在兩端的樹坑旁邊，所得路程總和相同，取得一個最值；所以從兩端的樹坑向中間移動時，所得路程總和的變化相同，最后移到第10個和第11個樹坑旁時，所得的路程總和達到另一個最值，所以計算兩個路程和即可。樹苗放在第一個樹坑旁，則有路程總和是；樹苗放在第10個（或第11個）樹坑旁邊時，路程總和是，所以路程總和最小為2000米.【答案】200

10、015（考生注意：請在下列三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題評分）A（不等式選做題）若關(guān)于的不等式存在實數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是 【分析】先確定的取值范圍，再使得能取到此范圍內(nèi)的值即可【解】當時，；當時，；當時，；綜上可得，所以只要，解得或，即實數(shù)的取值范圍是【答案】B（幾何證明選做題）如圖，B=D，且AB=6，AC=4，AD=12，則BE= 【分析】尋找兩個三角形相似的條件，再根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例求解【解】因為，所以AEB=，又因為B=D，所以AEBACD，所以,所以，在RtAEB中，【答案】C（坐標系與參數(shù)方程選做題）直角坐標系中，以原點O為極點，軸的正半軸為極軸建立極

11、坐標系，設(shè)點A，B分別在曲線：（為參數(shù)）和曲線：上，則的最小值為 【分析】利用化歸思想和數(shù)形結(jié)合法，把兩條曲線轉(zhuǎn)化為直角坐標系下的方程【解】曲線的方程是，曲線的方程是，兩圓外離，所以的最小值為【答案】3三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟（本大題共6小題，共75分）16（本小題滿分12分）如圖，在ABC中，ABC=，BAC，AD是BC上的高，沿AD把ABD折起，使BDC（1）證明：平面ADB平面BDC；（2）設(shè)E為BC的中點，求與夾角的余弦值【分析】（1）確定圖形在折起前后的不變性質(zhì)，如角的大小不變，線段長度不變，線線關(guān)系不變，再由面面垂直的判定定理進行推理證明；（2）在（1）的

12、基礎(chǔ)上確定出三線兩兩垂直，建立空間直角坐標系，利用向量的坐標和向量的數(shù)量積運算求解【解】（1）折起前AD是BC邊上的高，當ABD折起后，ADDC，ADDB，又，AD平面BDC，AD平面ABD，平面ABD平面BDC（2）由BDC及（1）知DA，DB，DC兩兩垂直，不妨設(shè)|DB|=1，以D為坐標原點，以，所在直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，易得：D(0,0,0),B(1,0,0),C(0,3,0),A(0,0,),E(,0)，所以，所以與夾角的余弦值是17（本小題滿分12分）如圖，設(shè)是圓上的動點，點是在軸上投影，為PD上一點，且（1）當P在圓上運動時，求點M的軌跡C的方程；（2）求過點（3，

13、0）且斜率為的直線被C所截線段的長度【分析】（1）動點M通過點P與已知圓相聯(lián)系，所以把點P的坐標用點M的坐標表示，然后代入已知圓的方程即可；（2）直線方程和橢圓方程組成方程組，可以求解，也可以利用根與系數(shù)關(guān)系；結(jié)合兩點的距離公式計算【解】（1）設(shè)點M的坐標是，P的坐標是，因為點是在軸上投影，為PD上一點，且，所以，且，P在圓上，整理得，即C的方程是（2）過點（3，0）且斜率為的直線方程是，設(shè)此直線與C的交點為，將直線方程代入C的方程得：，化簡得，所以線段AB的長度是，即所截線段的長度是18（本小題滿分12分）敘述并證明余弦定理【分析思路點撥】本題是課本公式、定理、性質(zhì)的推導(dǎo)，這是高考考查的常規(guī)

14、方向和考點，引導(dǎo)考生回歸課本，重視基礎(chǔ)知識學習和鞏固【解】敘述: 余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩遍平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦之積的兩倍?；颍涸贏BC中，a，b，c為A，B，C的對邊，有，.證明：（證法一） 如圖， 即 同理可證 ， （證法二）已知中，所對邊分別為，以為原點，所在直線為軸建立直角坐標系，則，即 同理可證 ， 19（本小題滿分12分）如圖，從點P1（0，0）作軸的垂線交曲線于點，曲線在點處的切線與軸交于點再從做軸的垂線交曲線于點，依次重復(fù)上述過程得到一系列點：；，記點的坐標為（）（1）試求與的關(guān)系（）；（2）求【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求切線方程，然后再求切線與

15、軸的交點坐標；（2）嘗試求出通項的表達式，然后再求和【解】（1）設(shè)點的坐標是，在點處的切線方程是，令，則（）（2），于是有，即20（本小題滿分13分）如圖，A地到火車站共有兩條路徑和，據(jù)統(tǒng)計，通過兩條路徑所用的時間互不影響，所用時間落在個時間段內(nèi)的頻率如下表：時間（分鐘）10202030304040505060的頻率的頻率0現(xiàn)甲、乙兩人分別有40分鐘和50分鐘時間用于趕往火車站（1）為了盡最大可能在各自允許的時間內(nèi)趕到火車站，甲和乙應(yīng)如何選擇各自的路徑？（2）用X表示甲、乙兩人中在允許的時間內(nèi)能趕到火車站的人數(shù)，針對（1）的選擇方案，求X的分布列和數(shù)學期望 .【分析】（1）會用頻率估計概率，然

16、后把問題轉(zhuǎn)化為互斥事件的概率；（2）首先確定X的取值，然后確定有關(guān)概率，注意運用對立事件、相互獨立事件的概率公式進行計算，列出分布列后即可計算數(shù)學期望【解】（1）表示事件“甲選擇路徑時，40分鐘內(nèi)趕到火車站”， 表示事件“甲選擇路徑時，50分鐘內(nèi)趕到火車站”，用頻率估計相應(yīng)的概率，則有：，；，甲應(yīng)選擇路徑；，；，乙應(yīng)選擇路徑（2）用A，B分別表示針對（1）的選擇方案，甲、乙在各自允許的時間內(nèi)趕到火車站，由（1）知，又事件A，B相互獨立，的取值是0，1，2，X的分布列為012P0.040.420.5421（本小題滿分14分）設(shè)函數(shù)定義在上，導(dǎo)函數(shù)，（1）求的單調(diào)區(qū)間和最小值；（2）討論與的大小關(guān)系；（3）是否存在，使得對任意成立？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由【分析】（1）先求出原函數(shù)，再求得，然后利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性（單調(diào)區(qū)間），并求出最小值；（2）作差法比較，構(gòu)造一個新的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，并由單調(diào)性判斷函數(shù)的正負；（3）存在性問題通常采用假設(shè)存在，然后進行求解；注意利用前兩問的結(jié)論【解】（1），（為常數(shù)），又，所以，即，；，令，即，解得，