高考數(shù)學一輪復習人教版(理)第8章第3講圓的方程學案

1、名校名 推薦第 3 講圓的方程 考綱解讀 1.掌握確定圓的幾何要素，圓的標準方程與一般方程，能根據不同的條件，采取標準式或一般式求圓的方程 (重點 )2.掌握點與圓的位置關系，能求解與圓有關的軌跡方程(難點 ) 考向預測 從近三年高考情況來看， 本講為高考中的熱點 預測 2020 年將會考查：求圓的方程；根據圓的方程求最值；與圓有關的軌跡問題試題以客觀題的形式呈現(xiàn)，難度不會太大，以中檔題型呈現(xiàn) .1圓的定義及方程2點與圓的位置關系平面上的一點 m(x0，y0)與圓 c： (xa)2 (y b)2 r2 之間存在著下列關系：設 d 為點 m(x0，y0)與圓心 (a，b)的距離(1)dr? m

2、在圓外，即 (x0a)2(y0b)2r 2? m 在01 圓外；(2)dr? m 在圓上，即 (x0a)2 (y0 b)2r 2? m 在02 圓上；(3)dr? m 在圓內，即 (x0a)2(y0b)20，解得 m22.(2)圓 c 的直徑的兩個端點分別是 a(1,2)， b(1,4)，則圓 c 的標準方程為_答案x2 (y3)22解析設圓心 c 的坐標為 (a，b)，1 1則 a2 0， b 2 2 4 3，故圓心 c(0,3)半徑 r 11 2 42 2 2.2|ab|211 所以圓 c 的標準方程為 x2(y3)22.(3) 若原點在圓 (x 2m)2 (y m)2 5 的內部，則實數(shù)

3、m 的取值范圍是_答案( 1,1)解析因為原點在圓 (x 2m)2 (y m)2 5 的內部，所以 (0 2m)2 (0m)25.解得 1m0)令 y0，得 x2 dxf 0，所以 x1 x2 d.令 x0，得 y2 eyf 0，所以 y1y2 e.由題意知 d e2，即 d e 2 0.又因為圓過點 a，b，所以 1644d 2e f 0.19d3e f0.3名校名 推薦解組成的方程組得d 2，e0，f 12.22條件探究 1把舉例說明1 三點坐標改為“ (1,3)， (4,2)， (1， 7)”，求此圓的方程解設圓的方程為 x2y2dxeyf0，則d3ef10 0，d 2，4d 2e f

4、200，解得e4，d7ef50 0.f 20.圓的方程為 x2y2 2x4y200.條件探究 2把舉例說明 2 條件“在兩坐標軸上的四個截距的和為2”改為“在 x 軸截得的弦長等于213”，其他條件不變，求此圓的方程解設所求圓的方程為x2 y2 dxeyf0(d2 e2 4f0)，令 y0 得 x2dxf0，設 x1，x2 是方程的兩個根，則 x1x2 d， x1x2f.由 |x1 x2|2 13得 d2 4f52，又因為圓過 (4,2)，(1,3)，所以1644d2e f0，1 9 d 3e f 0，4d 2e f 20，即d3ef10，解組成的方程組得d 2，e 0，f 12 或 d 54

5、，e 260，f716.故所求圓的方程為x2y22x12 0 或 x2 y254x260y7160.求圓的方程的兩種方法(1)直接法：根據圓的幾何性質， 直接求出圓心坐標和半徑， 進而寫出方程見舉例說明 1 解法二(2)待定系數(shù)法若已知條件與圓心 (a，b)和半徑 r 有關，則設圓的標準方程，依據已知條件列出關于 a，b，r 的方程組，從而求出 a，b，r 的值見鞏固遷移 1.若已知條件沒有明確給出圓心或半徑，則選擇圓的一般方程， 依據已知條件列出關于 d，e， f 的方程組，進而求出d，e，f 的值見舉例說明2.4名校名 推薦1圓心在 y 軸上，且過點 (3,1)的圓與 x 軸相切，則該圓的

6、方程是()ax2 y2 10y0b x2y210y 0cx2y2 10x0d x2y210x 0答案b解析設該圓的方程為 (xa)2(yb)2r 2(r0)a0，由題意得|b| r，3 a 2 1 b 2 r2，b2 r2 ，所以 9 1 b 2r 2.解得 b5， r 5，所以該圓的方程為x2 (y5)2 25，即 x2y2 10y0.2232圓(x2) y 4關于直線 y3 x對稱的圓的方程是 ()a(x 3)2(y 1)24b(x 2)2 (y 2)24cx2(y 2)2 4d(x1)2(y 3)24答案d223解析設圓 (x 2) y 4的圓心(2,0)關于直線 y3 x 對稱的點的坐

7、標為b 3 1，a 2 3，b)，則有解得 a 1， b3，從而所求圓的方程為 (x(ab3 a 223 2，1)2 (y3)24.故選 d.題型 二與圓有關的最值問題角度 1建立函數(shù)關系求最值1(2018 廈門模擬 )設點 p(x，y)是圓：x2(y 3)2 1 上的動點，定點 a(2,0)，則 的最大值為 _b(2,0)pa pb答案12解析pa (2x， y)， pb(2x， y)，5名校名 推薦 p(x，y)在圓上， 22pax 4y 6y846y 12，pb 2y4， pa 12.pb角度 2借助幾何性質求最值 (多維探究 )撫順模擬已知實數(shù)x， 滿足方程2y24x1 0，則y的最大

8、值2 (2018)yxx為 _，最小值為 _答案3 3解析原方程可化為 (x2)2y23，表示以 (2,0)為圓心，3為半徑的圓yyx的幾何意義是圓上一點與原點連線的斜率，所以設xk，即 y kx.|2k 0|如圖所示，當直線 ykx 與圓相切時，斜率 k 取最大值或最小值，此時k213，解得 k 3.y所以 x的最大值為3，最小值為3.結論探究 1若舉例說明 2 中條件不變，求y x 的最大值與最小值解 yx 可看作是直線 y xb 在 y 軸上的截距，如圖所示，當直線yx b 與圓相切時，縱截距 b 取得最大值或最小值，此時|2 0 b|3，解得 b26名校名 推薦 2 6.所以 y x

9、的最大值為 26，最小值為 26.結論探究 2若舉例說明 2 中條件不變，求x2y2 的最大值與最小值解 如圖所示， x2y2 表示圓上的一點與原點距離的平方，由平面幾何知識知，在原點和圓心連線與圓的兩個交點處取得最大值和最小值又圓心到原點的距離為20 2 0 0 22，所以 x2 y2 的最大值是 (23)27 4 3，x2 y2 的最小值是 (23)27 4 3.求解與圓有關的最值問題的方法(1)借助幾何性質求最值處理與圓有關的最值問題， 應充分考慮圓的幾何性質， 并根據代數(shù)式的幾何意義，借助數(shù)形結合思想求解yb形如 xa形式的最值問題，可轉化為動直線斜率的最值問題見舉例說明 2.形如 t

10、axby 形式的最值問題，可轉化為動直線截距的最值問題或轉化為線性規(guī)劃問題見舉例說明2 結論探究 1.形如 (xa)2(yb)2 形式的最值問題，可轉化為動點到定點的距離的平方的最值問題見舉例說明2 結論探究 2.(2)建立函數(shù)關系式求最值根據題中條件列出關于所求目標式子的函數(shù)關系式，再根據函數(shù)知識、 基本不等式求最值見舉例說明1.1圓：x2 y22x 2y10 上的點到直線 xy2 距離的最大值是 ()a12b 27名校名 推薦2c1 2d 2 2 2答案a解析將圓的方程化為 (x1)2(y1)21，即圓心坐標為 (1,1)，半徑為 1，則圓心到直線 xy2 的距離 d|1 1 2|2，故圓

11、上的點到直線 xy2 距2離的最大值為 d121，選 a.2已知圓 o：x2 y21，直線 x2y50 上動點 p，過點 p 作圓 o 的一 條切線，切點為a，則 popa的最小值為 _答案4解析圓心 o 到直線 x2y 5 0 的距離為 5 5，5則|po|min 5. pa 與圓 o 相切， paoa，即 paao0， 2 2 2popa(paao) pa pa |po| |ao| 51 4.題型 三與圓有關的軌跡問題1已知 rtabc 的斜邊為 ab，且 a( 1,0)，b(3,0)求直角頂點 c 的軌跡方程解解法一：設 c(x， y)，因為 a，b， c 三點不共線，所以y0.因為 a

12、cbc，所以 kackbc 1，又 kacy ，kbc y ，所以 y y 1，x1x3x 1 x 3化簡得 x2 y22x30.因此，直角頂點 c 的軌跡方程為 x2y22x30(y0)解法二：設 ab 的中點為 d，由中點坐標公式得d(1,0)，由直角三角形的性1質知 |cd| 2|ab| 2.由圓的定義知，動點c 的軌跡是以 d(1,0)為圓心， 2 為半徑的圓 (由于 a，b， c 三點不共線，所以應除去與x 軸的交點 )222設定點 m(3,4)，動點 n 在圓 x2 y24 上運動，以 om，on 為兩邊作平行四邊形 monp，求點 p 的軌跡8名校名 推薦解 如圖，設 p(x，

13、y)，n(x0，y0)，則線段 op 的中點坐標為x， y，線段22mn 的中點坐標為 x030 4.2，y2因為平行四邊形的對角線互相平分，所以 xx0 3，yy04，2222整理得x0 x 3，y0 y 4.又點 n(x3，y4)在圓 x2y2 4 上，所以 (x3)2(y4)24.所 以 點 p的 軌 跡 是 以 ( 3,4)為 圓 心 ，2為 半 徑 的 圓因為 o， m，p三點不共線，所以應除去兩點 9，12 和 21，28.55551掌握“三方法”2明確“五步驟”9名校名 推薦(2018 坊調研濰 )已知圓 x2 y24 上一定點 a(2,0)，b(1,1)為圓內一點， p，q 為圓上的動點(1)求線段 ap 中點的軌跡方程；(2)若 pbq90，求線段 pq 中點的軌跡方程解 (1)設 ap 的中點為 m(x， y)，由中點坐標公式可知， p 點坐標為 (2x2,