雙線性變換法設計數(shù)字濾波器

1、.雙線性變換法設計IIR數(shù)字濾波器一：實驗目的1） 熟悉用雙線性變換法設計IIR數(shù)字濾波器的原理和方法。2） 掌握數(shù)字濾波器設計的計算機仿真方法。3） 觀察對心電圖信號的實際濾波作用，獲得數(shù)字濾波器的感性認識。二：實驗原理在濾波器的設計過程中，畢竟那是一個重要環(huán)節(jié)，所謂逼進就是根據(jù)性能指標的要求，對理想特性進行逼進，以求得一個因果、穩(wěn)定且客戶實現(xiàn)的傳遞函數(shù)。目前模擬濾波器的頻域設計理論已經發(fā)展的相當成熟，它不僅具有簡單而嚴格的設計公式，而且設計參數(shù)已經表格化了。借助模擬濾波器的逼進方法，用模擬與大樹自語的某種變換，完成數(shù)字濾波器的逼進，這是一類簡單而又行之有效的方法。雙線性變換法采用非線性頻率

2、壓縮方法，將整個頻域軸上的頻率范圍壓縮到-/T/T之間，再用z=轉換到z平面上。也就是說，第一步現(xiàn)將整個S平面壓縮映射到S1平面的-/T/T一條橫帶里；第二步再通過標準變換關系將此橫帶變換到整個z平面上去。這樣就使S平面與Z平面建立了一一對應的膽汁關系，消除了多只變換性，也就消除了頻譜混跌現(xiàn)象，映射關系如圖所示。 /T 0 0 -1 0 1 -/T 為了將S平面的整個虛軸壓縮到軸上的-/T到/T段上，可以通過以上的正切的變換實現(xiàn)=2/Ttan(T/2)（1-1） 式中，T仍是采樣間隔。當由-/T經過0變化到/T時，由-經過0變化到+，也即映射了整個軸。將上式（1-1）寫成 （1-2）將此關系解

3、析延拓到整個S平面和，令=s, =S1,則得(1-3)再將S1平面通過以下標準變換關系映射到Z平面：z=（1-4）從而得到S平面和Z平面的單值映射關系為;(1-5) (1-6)式（1-5）和式（1-6）是S平面與Z平面之間的單值映射關系，這種變換都是兩個線性函數(shù)之比，因此成為雙線性變換。依靠雙線性變換是建立起來s平面和z平面的單值映射關系，由上式我們可以得到模擬頻率和數(shù)字頻率之間的關系： （1-7）從上式可知，當時，終止在折疊頻率=處，整個軸是單值地對應于單位元的一周。因此雙線性變換法不同于脈沖響應不變法，它不存在頻率混淆問題。由于S平面的左半平面映射到Z平面的單位圓內，S平面的右半平面映射到

4、Z平面的單位圓外，S平面的虛軸映射到Z平面的單位圓上。因此，穩(wěn)定的模擬濾波器經雙線性變換后所得到的數(shù)字濾波器也一定是穩(wěn)定的。但是，它的頻率變換關系是非線性畸變。這種非線性即便可以通過預畸變來校正。用雙線性變換設計數(shù)字濾波器時，一般總是先將數(shù)字濾波器的各臨界頻率經式（1-7）的頻率預畸變，求得相應參考模擬濾波器的各臨界頻率，然后設計參考模擬濾波器的傳遞函數(shù)，最后通過雙線性變換公式球的數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)。這樣通過雙線性變換，正好將這些頻率點映射到我們所需要的位置上。下面我們走即利用模擬濾波器設計IIR數(shù)字低通濾波器的步驟。a)確定數(shù)字低通濾波器的技術指標：同代截止頻率、同代衰減、阻帶截止頻率、阻

5、帶衰減。b)將數(shù)字低通濾波器的技術指標轉換成模擬低通濾波器的技術指標。采用雙線性變換法，便捷頻率的轉換關系為c)按照模擬低通濾波器的技術指標設計模擬低通濾波器。d）將模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)Ha(S)從s平面轉換到z平面，得到數(shù)字低通濾波器系統(tǒng)反函數(shù)Ha(z)。H(z)=Ha（S）|三：實驗內容：1） 用雙線性變換法設計巴特沃斯IIR數(shù)字濾波器。設計指標為：通帶內頻率低于0.2時，最大衰減小于1dB；在阻帶0.3，頻帶區(qū)間上，最小衰減小于15dB。2） 以0.02為采樣間隔，繪出數(shù)字濾波器在頻率區(qū)間0，/2上的幅度響應特性曲線。3） 用所設計的濾波器對實際心電圖信號采樣序列進行仿真濾波處理，并分別會

6、出濾波前后的波形圖，觀察總結濾波作用與效果。實際心電圖信號采樣樣本x(n)序列為-4,-2,0,-4,-6,-4,-2,-4,-6,-6,-4,-4,-6,-6,-2,6,12,8,0,-16,-38,-60,-84,-90,-66,-32,-4,-2,-4,8,12,12,10,6,6,6,4,0,0,0,0,0,-2,-4,0,0,0,-2,-2,0,0,-2,-2,-2,-2,0,0四：試驗步驟1） 復習有關巴特沃斯模擬濾波器內容和用雙線性變換法設計IIR數(shù)字濾波器內容。2） 編制濾波器仿真程序，計算H(z)對心電圖采樣序列的相應序列y(n).3） 運行程序，并繪出圖形，完成實驗內容2）

7、和3）。五：實驗程序x=-4,-2,0,-4,-6,-4,-2,-4,-6,-6,-4,-4,-6,-6,-2,6,12,8,. 0,-16,-38,-60,-84,-90,-66,-32,-4,-2,-4,8,12,12,10,6,6,6,. 4,0,0,0,0,0,-2,-4,0,0,0,-2,-2,0,0,-2,-2,-2,-2,0,0;k=1;close all;figure(1)subplot(3,3,1)n=0:56;stem(n,x,.);axis(056-10050);hold on;n=0:60;m=zeros(61);ylabel(x(n);title(心電圖信號采樣序列x

8、(n);B=0.09036 2*0.09036 0.09036;A=1.2686 -0.7051;plot(n,m);xlabel(n);A1=1.0106 -0.3583;A2=0.9044 -0.2155;while(k=3) y=filter(B,A,x); x=y; if k=2 A=A1; end if k=3 A=A2; end k=k+1;endsubplot(3,3,2)n=0:56;stem(n,y,.);axis(0 56 -15 5);hold on;n=0:60;m=zeros(61);plot(n,m);xlabel(n);ylabel(y(n);title(雙線性變

9、換法設計IIR濾波后的心電圖信號);%雙線性變換法設計ButterWorth數(shù)字濾波器幅頻特性A=0.09036,0.1872,0.09036;B1=1,-1.2686,0.7051;B2=1,-1.0106,0.3583;B3=1,-0.9044,0.2155;H1,w=freqz(A,B1,100);%數(shù)字濾波器頻率響應H2,w=freqz(A,B2,100);H3,w=freqz(A,B3,100);H4=H1.*(H2);H=H4.*(H3);mag=abs(H);db=20*log10(mag+eps)/max(mag);subplot(3,3,5)plot(w/pi,db);axi

10、s(0,0.5,-50,10);xlabel(w/);ylabel(20lg|H(ejw|);title(雙線性變換法設計IIR濾波器的幅頻響應曲線);%脈沖響應不變法設計ButterWorth數(shù)字濾波器幅頻特性C1=0.2871-0.4466;C2=-2.14281.1454;C3=1.8558-0.6304;D1=1-0.12970.6949;D2=1-1.06910.3699;D3=1-0.99720.2570;E1,w=freqz(C1,D1,100);E2,w=freqz(C2,D2,100);E3,w=freqz(C3,D3,100);E4=E1+E2;E=E4+E3;mag=ab

11、s(E);db=20*log10(mag+eps)/max(mag);subplot(3,3,6)plot(w/pi,db);axis(0,0.5,-50,10);xlabel(w/);ylabel(20lg|H(ejw|);title(脈沖響應不變法濾波器的幅頻響應曲線);1） 確定濾波階段函數(shù)buttord格式： N,Wn=buttord(Wp,Ws,Rp,Rs)其中N：滿足指標的最低濾波器階數(shù)Wn:巴特沃斯自然頻率Rp:同代最大衰減Rs:阻帶最小衰減Wp、Ws歸一化的通帶和阻帶邊緣頻率。一如：低通：Wp=.1, Ws=.2高通：Wp=.2 Ws=.1帶通:Wp=.2.7,Ws=.1.8帶

12、阻：Wp=.1.8,Ws=.2.7 2)確定地同模擬濾波器原函數(shù)buttap 格式：Z,P,K=buttap(N)其中N:滿足指標的最低濾波器階數(shù)Z:N階歸一化原型巴特沃斯模擬低通濾波器的零點P:N階歸一化原型巴特沃斯模擬低通濾波器的極點K:N階歸一化原型巴特沃斯模擬低通濾波器的增益3)雙線性變換函數(shù)billinear格式：NUMd,DENd=bilinear(NUM,DEN,Fs)其中NUM:s域轉移函數(shù)分子系數(shù)按冪遞減方式排列的行向列 DEN: s域轉移函數(shù)分母系數(shù)按冪遞減方式排列的行向列 Fs:采樣頻率 NUMd:z域轉移函數(shù)分子系數(shù)按冪遞減方式排列的行向列 DENd:z域轉移函數(shù)分母系數(shù)按冪遞減方式排列的行向列4)濾波函數(shù)filter 格式y(tǒng)=filter(b,a,x) 參數(shù)：a=:濾波器系數(shù) b=:濾波器系數(shù) x=輸入序列矢量 y=為濾波器后的輸出及濾波器的洗漱函數(shù)：H(z)=標準形式中=1，若輸入濾波器系數(shù)a中0，系數(shù)給出出錯是信息。4） 繪制幅頻特性曲線函數(shù)freqz六：思考題1. 雙線性變換法和脈沖響應相比較，有哪些優(yōu)點和缺點？為什么？答：雙線性變換法的優(yōu)點是不同于脈沖響應不變