2019屆高考數(shù)學(xué)專題2.6.1坐標(biāo)系與參數(shù)方程課件.pptx

1、第1課時 坐標(biāo)系與參數(shù)方程,熱點考向一 極坐標(biāo)方程及其應(yīng)用 考向剖析:本考向考查形式為解答題,主要考查極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化、極坐標(biāo)方程的應(yīng)用.考查抽象概括能力和運算求解能力,為中檔題,分值為10分,2019年的高考仍將以解答題形式出現(xiàn),主要考查求極坐標(biāo)方程及其應(yīng)用、特別是與極徑幾何意義有關(guān)的問題,典例1】在直角坐標(biāo)系xOy中,以坐標(biāo)原點為極點,x軸 正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C1:cos =3,曲線 C2:=4cos (1)求C1與C2交點的極坐標(biāo). (2)設(shè)點Q在C2上, ,求動點P的極坐標(biāo)方程,審題導(dǎo)引】(1)看到求C1與C2交點的極坐標(biāo), 聯(lián)想到解_. (2)看到 聯(lián)想到_

2、相等,方程組,對應(yīng)坐標(biāo),解析】(1)聯(lián)立 因為0 所以所求交點的極坐標(biāo)為,2)設(shè)P(,),Q(0,0)且0=4cos 0,0 由已知 所以 =4cos ,點P的極坐標(biāo)方程為 =10cos,名師點睛】 1.極徑的幾何意義及其應(yīng)用 (1)幾何意義:極徑表示極坐標(biāo)平面內(nèi)點M到極點O的距離. (2)應(yīng)用:一般應(yīng)用于過極點的直線與曲線相交,所得的弦長問題,需要用極徑表示出弦長,結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系解題,2.極坐標(biāo)化直角坐標(biāo)的常用技巧 (1)通常要用去乘方程的兩邊,使之出現(xiàn)2, cos ,sin 的形式. (2)含關(guān)于tan 的方程用公式tan,提醒:(1)根據(jù)題目的需要可規(guī)定R,此時(-,)與(,)關(guān)于極

3、點對稱. (2)極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程互化時,要注意變形的等價性,考向精煉】 在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為 (為參數(shù)),直線C2的方程為y= x,以O(shè)為極點,x軸 的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系. (1)求曲線C1和直線C2的極坐標(biāo)方程. (2)若直線C2與曲線C1交于A,B兩點,求,解析】(1)曲線C1的普通方程為(x-2)2+(y-2)2=1, 則C1的極坐標(biāo)方程為2-4cos -4sin +7=0. 由于直線C2過原點,且傾斜角為 , 故其極坐標(biāo)為= (R (或tan =,2)由 得2-(2 +2)+7=0, 故1+2=2 +2,12=7, 所以,易錯警示】解答本題容易忽視以

4、下兩點: (1)根據(jù)圖象直觀判斷直線C2的方程,極坐標(biāo)方程 是= ; (2)忽視極徑的幾何意義1=|OA|,2=|OB,加練備選】 1.(2018吉林梅河口五中一模)已知圓O:x2+y2=4,將 圓O上每一點的橫坐標(biāo)保持不變,縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?, 得到曲線C,1)寫出曲線C的參數(shù)方程. (2)設(shè)直線l:x-2y+2=0與曲線C相交于A,B兩點,以坐標(biāo)原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線m過線段AB的中點,且傾斜角是直線l的傾斜角的2倍,求直線m的極坐標(biāo)方程,解析】(1)設(shè)曲線C上任意一點P(x,y), 則點Q(x,2y)在圓O上,所以x2+(2y)2=4,即 +y2=1, 所以曲線

5、C的參數(shù)方程是 (為參數(shù),2)解 得,A(-2,0),B(0,1), 所以線段AB的中點N的坐標(biāo)為 設(shè)直線l的傾斜角為, 則tan,所以直線m的方程為y= (x+1)+ , 即8x-6y+11=0, 所以直線m的極坐標(biāo)方程為8cos -6sin+11=0,2.(2018合肥三模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線l 的參數(shù)方程為 (t為參數(shù)),圓C的方程 為(x-2)2+(y-1)2=5.以原點O為極點,x軸正半軸為極 軸建立極坐標(biāo)系,1)求直線l及圓C的極坐標(biāo)方程. (2)若直線l與圓C交于A,B兩點,求cosAOB的值,解析】 (1)由直線l的參數(shù)方程 得,其普通方程為y=x+2, 所以直線l

6、的極坐標(biāo)方程為sin =cos +2. 又因為圓C的方程為(x-2)2+(y-1)2=5,將 代入并化簡得=4cos +2sin , 所以圓C的極坐標(biāo)方程為=4cos +2sin,2)將直線l:sin =cos +2, 與圓C:=4cos +2sin 聯(lián)立,得 (4cos +2sin )(sin -cos )=2, 整理得sin cos =3cos2,所以= , 或tan =3,不妨記點A對應(yīng)的極角為 ,點B對應(yīng)的極角為, 且tan =3. 于是,cosAOB=cos,3.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線C的方程為x2=4y+4. (1)以坐標(biāo)原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系, 求C的

7、極坐標(biāo)方程. (2)直線l的參數(shù)方程是 (t為參數(shù)),l與C交于 A,B兩點,|AB|=8,求l的斜率,解析】(1)由x=cos ,y=sin 可得拋物線C的極坐標(biāo)方程2cos2-4sin -4=0,2)在(1)中建立的極坐標(biāo)系中,直線l的極坐標(biāo)方程為=(R), 設(shè)A,B所對應(yīng)的極徑分別為1,2,將l的極坐標(biāo)方程代入C的極坐標(biāo)方程得2cos2-4sin-4=0,因為cos20(否則,直線l與拋物線C沒有兩個公共點), 于是1+2= ,12= |AB|=|1-2|= 由|AB|=8得cos2= ,tan =1, 所以l的斜率為1或-1,4.以平面直角坐標(biāo)系的原點為極點,x軸的正半軸為極 軸,建立

8、極坐標(biāo)系,兩種坐標(biāo)系中取相同的單位,已知 圓C的參數(shù)方程為 (為參數(shù)),直線l的極坐 標(biāo)方程為= 點P在l上,1)過P向圓C作切線,切點為F,求|PF|的最小值. (2)射線OP交圓C于R,點Q在OP上,且滿足|OP|2= |OQ|OR|,求Q點軌跡的極坐標(biāo)方程,解析】(1)圓C的參數(shù)方程為 (為參數(shù)), 可得圓C的普通方程為x2+y2=4, 直線l的極坐標(biāo)方程為= 即有sin +cos =4, 即直線l的直角坐標(biāo)方程為x+y-4=0,由|PO|2=|PF|2+|OF|2, 由P到圓心O(0,0)的距離d最小時, |PF|取得最小值. 由點到直線的距離公式可得dmin= 可得|PF|最小值為,

9、2)設(shè)P,Q,R的極坐標(biāo)分別為(1,),(,),(2,), 由1= ,2=2, 又|OP|2=|OQ|OR|,可得 =2,即有= 即Q點軌跡的極坐標(biāo)方程為,熱點考向二參數(shù)方程及其應(yīng)用 考向剖析:本考向考查形式為解答題,主要考查直線、圓、橢圓的參數(shù)方程及其應(yīng)用.考查抽象概括能力和運算求解能力,為中檔題,分值為10分,2019年的高考仍將以解答題形式出現(xiàn),主要考查參數(shù)方程與普通方程的互化、直線參數(shù)方程中參數(shù)幾何意義的應(yīng)用,典例2】(2018全國卷)在平面直角坐標(biāo)系xOy 中,O的參數(shù)方程為 (為參數(shù)),過點 且傾斜角為的直線l與O交于A,B兩點. (1)求的取值范圍. (2)求AB中點P的軌跡的參

10、數(shù)方程,審題導(dǎo)引】 (1)看到求的取值范圍,聯(lián)想到根據(jù)l與O相交求 _的取值范圍. (2)看到求線段AB中點P的軌跡的參數(shù)方程,聯(lián)想到 點P對應(yīng)的_,代入直線l的_方程,斜率,參數(shù),參數(shù),解析】(1)O的直角坐標(biāo)方程為x2+y2=1. 當(dāng)= 時,l與O交于兩點. 當(dāng) 時,記tan =k,則l的方程為y=kx- . l與O交于兩點當(dāng)且僅當(dāng) 1, 即 或 . 綜上,的取值范圍是,2)l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù), ). 設(shè)A,B,P對應(yīng)的參數(shù)分別為tA,tB,tP,則tP= 且tA,tB滿足t2-2 tsin +1=0,于是tA+tB=2 sin ,tP= sin . 又點P的坐標(biāo)(x,y)滿足 所

11、以點P的軌跡的參數(shù)方程是 (為參數(shù), ,名師點睛】 1.參數(shù)方程化為普通方程消去參數(shù)的方法 (1)代入消參法:將參數(shù)解出來代入另一個方程消去參 數(shù),直線的參數(shù)方程通常用代入消參法. (2)三角恒等式法:利用sin2+cos2=1消去參數(shù),圓 的參數(shù)方程和橢圓的參數(shù)方程都是運用三角恒等式法,3)常見消參數(shù)的關(guān)系式,2.關(guān)于直線參數(shù)方程中參數(shù)t的幾何意義及應(yīng)用 (1)幾何意義:參數(shù)t的絕對值等于直線上動點M到定點 M0的距離,若t0,則 的方向向上;若t0,則 的方向向下;若t=0,則點M與M0重合,2)應(yīng)用:一般應(yīng)用于過定點的直線與圓錐曲線交于A,B兩點,與弦長|AB|及其相關(guān)的問題,解決的方法

12、是首先用t表示出弦長,再結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系構(gòu)造方程、函數(shù)式等解決問題,考向精煉】 在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1過點P(a,1),其參數(shù)方 程為 (t為參數(shù),aR),以坐標(biāo)原點為極點, 以x軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線C2的極坐標(biāo)方 程為cos2+2cos -=0,1)寫出曲線C1的普通方程和曲線C2的直角坐標(biāo)方程. (2)已知曲線C1和曲線C2交于A,B兩點(P在A,B之間),且|PA|=2|PB|,求實數(shù)a的值,解析】(1)C1的參數(shù)方程 消參得普通方程為x+y-a-1=0, C2的極坐標(biāo)方程為cos2+2cos -=0, 兩邊同乘得2cos2+2cos -2=0, 即y2=2x

13、,2)將曲線C1的參數(shù)方程代入曲線C2:y2=2x得 t2+2 t+1-2a=0,設(shè)A,B對應(yīng)的參數(shù)為t1,t2, 由題意得|t1|=2|t2|且P在A,B之間,則t1=-2t2, 由題意得 解得a,加練備選】 1.(2018湖北八校第二次聯(lián)考)在直角坐標(biāo)系xOy中, 直線l的參數(shù)方程為: 為參數(shù),00,), 以坐標(biāo)原點為極點,以x軸的正半軸為極軸,建立極坐 標(biāo)系,圓C的極坐標(biāo)方程為:,1)在直角坐標(biāo)系xOy中,求圓C的圓心的直角坐標(biāo). (2)設(shè)點P(1, ),若直線l與圓C交于A,B兩點,求證:|PA|PB|為定值,并求出該定值,解析】(1)圓C:x2+y2-4x-4 y=0, 圓心坐標(biāo)C(

14、2,2,2) 將 代入C:x2+y2-4x-4 y=0, 所以t2-(2 sin +2cos )t-12=0, 設(shè)點A,B所對應(yīng)的參數(shù)為t1,t2,則t1t2=-12, 所以|PA|PB|=|t1t2|=12,2.(2017衡水一模)已知直線l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù)),圓C的參數(shù)方程為 (為參數(shù)). (1)若直線l與圓C的相交弦長不小于 ,求實數(shù)m的取 值范圍. (2)若點A的坐標(biāo)為(2,0),動點P在圓C上,試求線段PA 的中點Q的軌跡方程,解析】(1)直線l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù)), 普通方程為y=mx, 圓C的參數(shù)方程為 (為參數(shù)), 普通方程為x2+(y-1)2=1. 圓心到直線l

15、的距離d,相交弦長= 所以 所以m-1或m1,2)設(shè)P(cos ,1+sin ),Q(x,y),則 x= (cos +2),y= (1+sin ), 消去,整理可得線段PA的中點Q的軌跡方程 (x-1)2,3.(2017惠州一模)已知曲線C的極坐標(biāo)方程是 =4cos ,以極點為平面直角坐標(biāo)系的原點,極軸 為x軸的正半軸,建立平面直角坐標(biāo)系,直線l的參數(shù) 方程是 (t是參數(shù),1)將曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程. (2)若直線l與曲線C相交于A,B兩點,且|AB|= , 求直線l的傾斜角的值,解析】(1)因為cos =x,sin =y,2=x2+y2, 所以曲線C的極坐標(biāo)方程=4cos 可化

16、為 2=4cos , 所以x2+y2=4x,所以(x-2)2+y2=4,2)將 代入圓的方程(x-2)2+y2=4得: (tcos -1)2+(tsin )2=4, 化簡得t2-2tcos -3=0. 設(shè)A,B兩點對應(yīng)的參數(shù)分別為t1,t2, 則,所以|AB|=|t1-t2| 因為|AB|= , 所以 所以cos =,因為0,),所以= 或= . 所以直線的傾斜角= 或=,熱點考向三 極坐標(biāo)與參數(shù)方程的綜合應(yīng)用高頻考向,類型一極徑和參數(shù)幾何意義的靈活應(yīng)用 【典例3】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C的參數(shù)方程 為 (為參數(shù)),A,B在曲線C上,以坐標(biāo)原點 O為極點,x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中

17、,A,B兩點 的極坐標(biāo)為,1)求曲線C的極坐標(biāo)方程. (2)設(shè)曲線C的中心為M,求MAB的面積,大題小做,解析】(1)由 消去,得 (x-3)2+(y-4)2=25, 即x2+y2-6x-8y=0,將x=cos ,y=sin , 代入得曲線C的極坐標(biāo)方程為2-6cos - 8sin =0, 即-6cos -8sin =0,2)將 代入(1)所得的極坐標(biāo)方程, 得1=4+3 ,2=8, 所以|AB|= 曲線C的中心M到弦AB的距離為d= 所以SMAB,類型二求最值或取值范圍問題 【典例4】(2018信陽二模)已知直線l的參數(shù)方程為 (其中t為參數(shù)),曲線C1:2cos2+ 32sin2-3=0,

18、以坐標(biāo)原點為極點,x軸正半軸為極 軸,建立極坐標(biāo)系,兩種坐標(biāo)系中取相同長度單位,1)求直線l的普通方程及曲線C1的直角坐標(biāo)方程. (2)在曲線C1上是否存在一點P,使點P到直線l的距離最大?若存在,求出距離的最大值及點P的直角坐標(biāo);若不存在,請說明理由,審題導(dǎo)引】 (1)要求直線l的普通方程需要用加減消去參數(shù)t,要求 曲線C1的直角坐標(biāo)方程需要根據(jù)_,_ 進行轉(zhuǎn)化. (2)要求點P到直線l的距離最大,需要借助曲線C1的 _方程,轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問題,x=cos,y=sin,參數(shù),解析】(1)直線l的普通方程為x-y+1=0, 曲線C1的直角坐標(biāo)方程為 +y2=1,2)由(1)可知C1: (

19、其中為參數(shù)),所以點 P到直線l的距離 d= 所以dmax= 此時cos =1,即+ =2k(kZ,即=2k- (kZ), 所以xP= cos = ,yP=sin =- , 即P（ ，- ）. 故存在這樣的點P （ ，- ）,使點P到直線l的 距離最大且為,探究追問】 1.若將例4直線l的方程改為“ ”, 曲線C1的方程改為“2cos2+42sin2-4=0”, 其他條件不變,試求點P到直線l的距離的最大值,解析】將曲線C1的極坐標(biāo)方程2cos2+42sin2-4=0化為普通方程為 +y2=1,化為參數(shù)方程為 (為參數(shù)), 直線l的普通方程為x+y+1=0,設(shè)P到直線l的距離為d, d= 所以

20、P到直線l的距離的最大值為,2.若將例4曲線C1的方程改為“2cos2+32sin2-9=0”,曲線C2 的極坐標(biāo)方程是=2cos ,P,Q 分別是曲線C1和C2 上的任意點,求|PQ| 的最小值,解析】曲線C1的直角坐標(biāo)方程為 =1, 參數(shù)方程是 (為參數(shù)), 曲線C2 的直角坐標(biāo)方程為(x-1)2+y2=1, 曲線C2中,因為=2cos ,所以2=2cos , 所以x2+y2=2x,即(x-1)2+y2=1,設(shè)C1上任意點P 所以P到C2圓心(1,0)的距離 所以|PQ|min= -1,名師點睛】 1.巧解與三角形知識的綜合問題 (1)數(shù)形結(jié)合明確極徑和極角的幾何意義,并表示三角形的有關(guān)元

21、素. (2)利用正弦、余弦定理找到變量,的關(guān)系,2.三角換元求最值問題 (1)適用情景 涉及直線與圓、直線與橢圓位置關(guān)系的最值問題,2)兩種方法 三角換元轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值問題 轉(zhuǎn)化為普通方程或直角坐標(biāo)方程,利用直線與圓、橢圓的知識直接解答,考向精煉】 1.(2018宜賓二模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線 C1的參數(shù)方程為 (為參數(shù)).以平面直角 坐標(biāo)系的原點O為極點,x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極 坐標(biāo)系,直線C2的極坐標(biāo)方程為sin,1) 求曲線C1的極坐標(biāo)方程. (2) 設(shè)C1和C2的交點為A,B,求AOB的面積,解析】(1)曲線C1的參數(shù)方程為 (為參數(shù)) 消去參數(shù)的C1的直角坐標(biāo)方程

22、為x2-4x+y2=0, 所以C1的極坐標(biāo)方程為=4cos,2)解方程組 有4sin cos = 得sin 2= , 所以=2k+ (kZ)或=2k+ (kZ), 當(dāng)=2k+ (kZ)時,=2 , 當(dāng)=2k+ (kZ)時,=2,所以C1和C2交點的極坐標(biāo) 所以SAOB= |AO|BO|sinAOB= 2 2sin = . 故AOB的面積為,2.在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為 (其中為參數(shù)),曲線C2: =1,以原點O為極點, x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號,1)求曲線C1,C2的極坐標(biāo)方程. (2)射線l:=(0)與曲線C1,C2分別交于點A,B (且A,B均異于原

23、點O),當(dāng)0 時,求|OB|2-|OA|2 的最小值,解析】(1)曲線C1的普通方程為(x-1)2+y2=1,C1的 極坐標(biāo)方程為=2cos ,C2的極坐標(biāo)方程為 =1,2cos2+22sin2=8, 2(1+sin2)=8,即2,2)聯(lián)立=(0)與C1的極坐標(biāo)方程得|OA|2=4cos2, 聯(lián)立=(0)與C2的極坐標(biāo)方程得 |OB|2,則|OB|2-|OA|2= -4cos2 = -4(1-sin2) = +4(1+sin2)-8 (當(dāng)且僅當(dāng)sin = 時取等號). 所以|OB|2-|OA|2的最小值為8 -8,加練備選】 1.(2018沈陽二中一模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中, 已知曲線C的參數(shù)方程為 (t0,為參數(shù)), 以坐標(biāo)原點O為極點,x軸的正半軸為極軸,取相同的 長度單位建立極坐標(biāo)系,直線l的極坐標(biāo)方程為,1)當(dāng)t=1時,求曲線C上的點到直線l的距離的最大值. (2)若曲線C上的所有點都在直線l的下方,求實數(shù)t的取值范圍,解析】(1)直線l的直角坐標(biāo)方程為x+y-3=0, 曲線C:x2+y2=1, 所以曲線C為圓,且圓心O到直線l的距離 d= 所以曲線C上的點到直線l的距離的最大值為1+,2)因為曲線C上的所有點均在直線l的下方, 所以對R,有tcos