CEV模型下有交易成本的期權(quán)定價(jià)

1、CEV模型下有交易成本的期權(quán)定價(jià) CEV模型下有交易成本的期權(quán)定價(jià) 秦洪元 鄭振龍 （廈門大學(xué)金融系 廈門 361005） Option Pricing with Transaction Costs under CEV Model Hongyuan Qin Zhenlong Zheng (Department of Finance, Xiamen University, Xiamen, 361005) 作者簡(jiǎn)介: 秦洪元：廈門大學(xué)金融系 廈門 361005 電子信箱：hongyuanqinsohu4。研究方向?yàn)榻鹑诠こ?。通信地址：廈門大學(xué)1131信箱，郵政編碼：361005；：05972257

2、6016，13159。 鄭振龍：廈門大學(xué)金融系 廈門 361005；研究方向?yàn)橘Y產(chǎn)定價(jià)、金融工程和風(fēng)險(xiǎn)管理。聯(lián)系地址：廈門大學(xué)金融系，361005；：05922186633電子信箱。個(gè)人主頁：/. 基金項(xiàng)目：本文受教育部人文社科基地重大項(xiàng)目（05JJD790026）資助 CEV模型下有交易成本的期權(quán)定價(jià) 內(nèi)容摘要 Black & Scholes和Merton的兩篇開創(chuàng)性論文對(duì)完全市場(chǎng)下無摩擦的期權(quán)定價(jià)進(jìn)行了研究，而不完全市場(chǎng)下的期權(quán)定價(jià)一直是學(xué)界和業(yè)界都很關(guān)注的問題。假定股票價(jià)格遵循CEV過程，研究存在比例交

3、易成本時(shí)歐式看漲期權(quán)的定價(jià)，給出了在股價(jià)遵循CEV過程時(shí)有交易成本的期權(quán)價(jià)格的數(shù)值計(jì)算方法，并顯示了數(shù)值結(jié)果。 關(guān) 鍵 詞 CEV過程 交易成本 期權(quán) 效用無差異 中圖分類號(hào)：F830.91 Option Pricing with Transaction Costs under CEV Model Abstract: The option pricing under complete market has been studied by two seminal papers of Black & Scholes and Merton. The option pricing under

4、incomplete market is always the focus of academic and practical fields. In this paper the pricing problem of European call is studied when there are proportional transaction costs. Suppose that stock price follows constant elasticity of variance(CEV) process, we present the numerical computing appro

5、ach of option pricing with proportional transaction costs. And the result is illustrated. Keywords: CEV Process; Transaction Costs; Option; Utility Indifference JEL classification: C61, G11, G13 一 引言 期權(quán)定價(jià)理論的突破開始于Black和Scholes(1973)及Merton(1973)的兩篇開創(chuàng)性論文。他們應(yīng)用無套利原理給出了期權(quán)的定價(jià)公式。然而在資本市場(chǎng)出現(xiàn)交易成本時(shí)因?yàn)橥昝缽?fù)制不再適用，因此

6、無套利論證不再有效。由于幾何布朗運(yùn)動(dòng)的無限變化，不論交易成本多么小，連續(xù)復(fù)制策略在任何區(qū)間都將招致無限的交易成本。因此對(duì)于有交易成本的期權(quán)定價(jià)與保值問題，許多學(xué)者建議了大量的方法，其中的大多數(shù)關(guān)注復(fù)制或超復(fù)制期權(quán)回報(bào)的“金融工程”問題(如Leland(1985)，Merton(1990)，Boyle和Vorst(1992)，Bensaid 等(1992)，Edirisinghe等(1993)等文獻(xiàn))。這些方法主要是無偏好模型，在這些模型里不論是否最優(yōu)，在離散時(shí)間區(qū)間內(nèi)都發(fā)生重保值。然而，常識(shí)告訴我們“最優(yōu)”的保值策略應(yīng)該在風(fēng)險(xiǎn)和復(fù)制成本之間達(dá)到最可能的權(quán)衡。意識(shí)到不同投資者的風(fēng)險(xiǎn)偏好不同，因此

7、在期權(quán)定價(jià)與保值里，考慮投資者對(duì)待風(fēng)險(xiǎn)的態(tài)度就顯得十分必要。 經(jīng)濟(jì)學(xué)家使用確定性等價(jià)和等邊際效用原理已經(jīng)有很多年了。最近，這些概念被應(yīng)用到衍生證券定價(jià)領(lǐng)域。現(xiàn)代金融通常利用一個(gè)效用函數(shù)來描述風(fēng)險(xiǎn)。預(yù)期效用理論聲稱個(gè)體好像最大化某個(gè)可能結(jié)果的某個(gè)效用函數(shù)的期望那樣行為。Hodges和Neuberger(1989)基于這個(gè)理論開創(chuàng)了期權(quán)定價(jià)與保值方法。Davis等(1993)對(duì)一個(gè)僅有比例交易成本的市場(chǎng)詳細(xì)發(fā)展了Hodges和Neuberger(1993)模型。在一個(gè)有比例交易成本的市場(chǎng)里，基于效用的期權(quán)定價(jià)方法的研究進(jìn)一步由Clewlow和Hodges(1997)、Damgaard(2003，2

8、006)、Monoyios（2004）等發(fā)展。但在這些文獻(xiàn)里，他們都假設(shè)股票價(jià)格遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng)。誠(chéng)如所知，對(duì)數(shù)正態(tài)假定并沒有取得股票價(jià)格和股票指數(shù)的實(shí)證檢驗(yàn)，因此，作為替代方法的隨機(jī)過程就受到了關(guān)注并廣泛地應(yīng)用到期權(quán)定價(jià)，例如Cox和Rubinstein(1985)就對(duì)CEV（CEV：Constant Elasticity of Variance，常方差彈性）過程作了研究。近幾年來國(guó)內(nèi)也有一些學(xué)者關(guān)注CEV過程，肖建武等(2004, 2005, 2006)為養(yǎng)老基金的管理建立了CEV模型，吳云和何建敏(2003)利用二叉樹為股價(jià)服從CEV過程的幾何亞式期權(quán)進(jìn)行了定價(jià)，杜雪樵和丁華(2006)

9、用有限差分方法為股價(jià)服從CEV的二值期權(quán)定價(jià)進(jìn)行了數(shù)值研究。但就作者所知，將交易成本引入到CEV過程的研究還十分鮮見，本文將比例交易成本引入到CEV過程，詳細(xì)給出了在股價(jià)遵循CEV過程時(shí)含有交易成本的期權(quán)數(shù)值計(jì)算步驟和方法，并且給出了數(shù)值計(jì)算結(jié)果。本文結(jié)構(gòu)如下：第一節(jié)是引言；第二節(jié)介紹利用效用最大化的期權(quán)定價(jià)；第三節(jié)引入交易成本；第四節(jié)引入指數(shù)效用函數(shù)；數(shù)值計(jì)算方法和數(shù)值結(jié)果在第五節(jié)給出；最后是結(jié)論。 二 利用效用最大化的期權(quán)定價(jià) 在這一節(jié)，首先介紹一下基于效用最大化的期權(quán)定價(jià)方法。在一個(gè)時(shí)間區(qū)間0,T，考慮一個(gè)股票價(jià)格S(t)，假定它是給定概率空間(,F,P)上的隨機(jī)過程。投資者也能以現(xiàn)金形

10、式保存他們的資金，也就是說一個(gè)無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，用B表示。在0時(shí)刻，我們希望對(duì)一個(gè)T時(shí)刻執(zhí)行的關(guān)于股票S(t)的歐式期權(quán)給出一個(gè)可行的價(jià)格。 讓F(B)表示一個(gè)在0時(shí)刻具有現(xiàn)金量B且不持有股票的投資者可行的交易策略集。指定一個(gè)具有隨機(jī)過程(B(t),y(t),t0,T的元素F(B)，這里B(t)表示現(xiàn)金持有量，y(t)表示股票持有量，交易可能產(chǎn)生交易成本。特別地，c(y,S)是股票數(shù)量y的清算現(xiàn)金值，也就是說，當(dāng)多頭（y>0）清空，空頭（y<0）平掉時(shí)的剩余現(xiàn)金值，我們令c(0,S)=0。 一個(gè)關(guān)于股票S(t)的期權(quán)是在時(shí)刻T以執(zhí)行價(jià)格K買一份股票的權(quán)利，執(zhí)行價(jià)格K可能是常數(shù)（在簡(jiǎn)單的看

11、漲期權(quán)情形），或更一般地，是一個(gè)F可測(cè)隨機(jī)變量（允許更奇異T的情形，像回溯期權(quán)）。假定期權(quán)賣家為了保值期權(quán)形成一個(gè)組合，并且在時(shí)刻T清算這個(gè)組合。讓(B,y,S)相應(yīng)地表示在時(shí)刻T的現(xiàn)金，股票持有量和股票價(jià)格。如果S(T)K，期權(quán)不被執(zhí)行，組合的現(xiàn)金值是B+c(y,S)；如果S(T)>K，那么買家支付賣家現(xiàn)金K，賣家交割一份股票給買家。交易發(fā)生后賣家的組合值是B+K+c(y?1,S)。 讓u: 是賣家的效用函數(shù)，該函數(shù)凹，并且單調(diào)上升。u(x)對(duì)正和負(fù)的x都有定義?，F(xiàn)在定義如下的值函數(shù)： V(B)=supu(B(T)+Ic(y(T),S(T) w(S(T)K)F(B) +Ic(y(T)?

12、1,S(T)+K) (1) (S(T)>K)這里表示期望，I是事件A的示性函數(shù)。假定對(duì)所有的B ，V(B)<，并且V(B)Aww是B的一個(gè)連續(xù)單調(diào)上升函數(shù)。注意V(B)是給定初始稟賦B，賣家通過清算他的組合來w償付他對(duì)買家的債務(wù)后，在時(shí)刻T可達(dá)到的最大效用。現(xiàn)在定義 B=inf:V(B)0 (2) wwF(B)賣家因此在以下兩種情形下無差異：（a）什么都不作，（b）接受B，賣期權(quán)。讓 wV(B)=supu(B(T)+c(y(T),S(T) (3) 1F(B)定義初始稟賦B為： 1B=inf:V(B)0 (4) 11F(B)直觀上，?B可以認(rèn)為賣家準(zhǔn)備進(jìn)入市場(chǎng)的“入門費(fèi)”。期權(quán)賣價(jià)因

13、此可以由B與B的差1w1給出： p=B?B (5) ww1在這個(gè)價(jià)格，賣家進(jìn)入市場(chǎng)保值他的期權(quán)和進(jìn)入自己的帳戶在效用相等意義下沒有差異。 三 有交易成本的市場(chǎng) 下面考慮由一個(gè)無風(fēng)險(xiǎn)債券和風(fēng)險(xiǎn)股票組成的市場(chǎng)。債券價(jià)格滿足如下的常微分方程： dB(t)=rB(t)dt (6) 股票價(jià)格S(t)，這里假定它遵循CEV過程： dS(t)=S(t)dt+S(t)dW(t),0<1 (7) 這里W(t):0tT是一個(gè)定義在完全概率空間(,F,P)上的一維標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，r,分別表示無風(fēng)險(xiǎn)利率、股票增長(zhǎng)率、常數(shù)和方差彈性系數(shù)。交易股票招致比例交易成本，也即在價(jià)格S購(gòu)買v股股票減少債券持有財(cái)富(1+)vS

14、，這里(0<1)表示bbb和購(gòu)買股票相結(jié)合的比例交易費(fèi)用比率。類似地，在價(jià)格S賣v股股票增加債券持有財(cái)富(1?)vS，這里(0<1)表示和賣股票相結(jié)合的比例交易費(fèi)用比率。在其他所有的方sss面假定市場(chǎng)是“完美”的。 考慮兩個(gè)控制組合選擇的函數(shù)：L(t)和M(t)，分別是在時(shí)刻t買或賣股票的累計(jì)數(shù)量，可以寫作如下的形式： tL(t)=l()d (8) 0tM(t)=m()d (9) 0這里l和m有上界k（k<），在連續(xù)時(shí)間下控制債券、股票數(shù)量和股價(jià)的微分方程是： dB(t)=rB(t)?(1+)S(t)dL(t)+(1?)S(t)dM(t) (10) bsdy(t)=dL(t)

15、?dM(t) (11) dS(t)=S(t)dt+S(t)dW(t) (12) (10)(12)是具有漂移項(xiàng)的隨機(jī)微分方程，現(xiàn)在可以得到對(duì)于值函數(shù)V和V的控制方程，即w1+k對(duì)于(t,B,y,S)0,TRRR的Bellman方程V(j=1,w)是： j kkkk?V?V?2?V?V?2?jjjjmax?(1+)Sl?(1?)Sm ?2?bs0l,mkyByB?kkk2k?V?V?V?V1jjjj22+rB+S+S=0 (13) 2?t?B?S2?Skkkk?V?V?V?Vjjjj令 f=?(1+)S,f=?(1?)S 1b2syByB則最優(yōu)交易策略由如下的三種情形確定。 （1）f0,f>

16、0，最大化通過l=k,m=0得到； 12（2）f<0,f0，最大化通過l=0,m=k得到； 12（3）f0,f0，最大化通過l=0,m=0得到。 12因?yàn)橹岛瘮?shù)是B和y的上升函數(shù)，因此所有其他的組合都不可能成立。 上面的結(jié)果表明優(yōu)化問題是一個(gè)定義在投資者四維狀態(tài)空間的自由邊界問題，最優(yōu)交易策略由上面的三組不等式給出，狀態(tài)空間相應(yīng)地也被分成三個(gè)區(qū)域，分別稱為買區(qū)域、賣區(qū)域和不交易區(qū)域，分別對(duì)應(yīng)以上三種情形。顯然，因?yàn)橥瑫r(shí)買賣不是最優(yōu)的，因此買區(qū)域和賣區(qū)域不相交。不交易區(qū)域和買賣區(qū)域的邊界分別用?B和?S表示。 當(dāng)k時(shí)，可行的交易策略集便是對(duì)應(yīng)于方程(10)(12)中的某對(duì)右連續(xù)F可測(cè)上升t

17、過程(L(t),M(t)的二維右連續(xù)可測(cè)過程(B(t),y(t)的可行的交易策略集。狀態(tài)空間仍被分成買區(qū)域、賣區(qū)域和不交易區(qū)域，如果狀態(tài)在買區(qū)域或者賣區(qū)域，最優(yōu)交易策略立即交易到買區(qū)域或者賣區(qū)域的邊界?B或?S。因此，每個(gè)值函數(shù)滿足如下的方程集； (1) 在買區(qū)域，值函數(shù)沿著由最優(yōu)交易策略決定的狀態(tài)路徑保持不變，因此 V(t,B,y,S)=V(t,B?(1+)Sl,y+l,S) (14) jjb讓l0，則上式變?yōu)??V?Vjj?(1+)S=0 byB(2) 類似地，在賣區(qū)域，值函數(shù)沿著由最優(yōu)交易策略決定的狀態(tài)路徑保持不變，因此 V(t,B,y,S)=V(t,B+(1?)Sl,y?l,S) (1

18、5) jjs讓l0，則上式變?yōu)??V?Vjj?(1?)S=0 syB(3) 在不交易區(qū)域，值函數(shù)遵循從絕對(duì)連續(xù)交易策略類得到的同樣的方程，因此值函數(shù)由下式給出： 2?V?V?V?V1jjjj22+rB+S+S=0 (16) 2?t?B?S2?S 注意：由于值函數(shù)的連續(xù)性，如果在非交易區(qū)域它是已知的，則相應(yīng)地，通過(14)和(15)能夠決定在買區(qū)域和賣區(qū)域的值函數(shù)。 因此，上面的等式集壓縮為如下的完全非線性偏微分方程： ?V?V?V?V?2?2?jjjjmax?(1+)S,?(1?)S ?2?b?s?yByB?2VVVV?1?jjjj22+rB+S+S=0 (17) ?2?t?B?S2?S? 四

19、 指數(shù)效用下的期權(quán)定價(jià) 為了計(jì)算上面的偏微分方程，必須指定一個(gè)效用函數(shù)。遵循Hodges和Neuberge(1989)和Davis等(1993)方法，設(shè)投資者的效用函數(shù)是具有固定風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)的指數(shù)形式： u(W)=1?exp(?W) (18) 利用指數(shù)形式的效用函數(shù)，投資者的最優(yōu)交易策略獨(dú)立于他持有的無風(fēng)險(xiǎn)財(cái)富。使用指數(shù)形式的效用函數(shù)，主要是為了簡(jiǎn)化優(yōu)化問題的維數(shù)。 令 Q(t,y,S)=1?V(t,0,y,S)，則Q(t,y,S)是y和S的凸的，單調(diào)非上升的連續(xù)jjj函數(shù)，因此 ?B?2V(t,B,y,S)=1?exp?Q(t,y,S) (19) ?j(T,t)?這里(T,t)=exp(?r

20、(T?t)是貼現(xiàn)因子，變換后的偏微分方程為： ?Q?Q+S?S?2(1)(1)?jjbsmin+Q,?+Q ?2j?j?r(T?t)?r(T?t)yeye?2Q?1?jjj22+S+S=0 (20) ?2?t?S2?S?滿足邊界條件： Q(t,y,S)=exp(?c(y,S) (21) 1Q(t,y,S)=exp(?Ic(y,S)+Ic(y?1,S)+K) (22) w(SK)(S>K)期權(quán)賣價(jià)由如下Q(t,0,S)和Q(t,0,S)的顯式函數(shù)給出： 1w?2(T,t)Q(t,0,S)wp=ln (23) w?Q(t,0,S)?1? 五 數(shù)值實(shí)施與計(jì)算結(jié)果 （一）數(shù)值計(jì)算方法 為了數(shù)值計(jì)

21、算期權(quán)價(jià)格，利用Nelson & Ramaswamy(1990)建議的二叉樹方法來逼近上面介紹的連續(xù)時(shí)間市場(chǎng)模型。債券價(jià)格遵循如下的離散時(shí)間過程： B(t)+B(t)B(t+t)=exp(r?t)B(t) (24) 為了使股票價(jià)格能夠形成重組合簡(jiǎn)化二叉樹，為此引入如下的X變換： 1?ss?1? X(s)ZdZ= (25) 0(1?)定義x=X(s)，逆變換由下式給出： 001(1?)?(1?)x,x>0 S(x) (26) ?20,x0?在CEV過程里，由于允許異方差的存在，因此在波動(dòng)率非常小而漂移率不是太小的情況下，需要允許多步跳躍以匹配極限擴(kuò)散情形下的漂移率。為此定義跳躍步數(shù)

22、為： 最小的，奇的，正整數(shù)j使得?+J(x,t) (27) ?2hr?hS(x+jh,t+h)?eS(x,t)0?最小的，奇的，正整數(shù)j使得?J(x,t) (28) ?2hr?hS(x?jh,t+h)?eS(x,t)0?+這里J(x,t)是上跳的最小數(shù)量使得上跳的概率p小于1；它是奇的使得跳躍在存在的樹節(jié)hh?點(diǎn)上移動(dòng)。同樣地，J(x,t)有類似的含義。 h定義函數(shù) +SS(x+Jh,t+h)=S(x,t) (29) hh?SS(x?Jh,t+h)=S(x,t) (30) hh與之相應(yīng)的概率為 r?h?S(x,t)e?S(x,t)+hS>0?h+?S(x,t)?S(x,t) p= (31

23、) ?2hhh?+0,S0?h 利用離散時(shí)間的動(dòng)態(tài)規(guī)劃原理，對(duì)偏微分方程(17)進(jìn)行如下的離散方案： ?()V?V=0 (32) jj這里?()是一個(gè)算子，有下式給出： ?()V=maxV(,B?(1+)Sl,y+l,S), jjb V(,B+(1?)Sl,y?l,S), js V(+h,Bexp(r?t),y,S) (33) j+?其中：h是時(shí)間離散步長(zhǎng)，l表示每次交易可以改變的最少數(shù)量。取值和，概率分別是p和1?p。Davis等(1993)證明了當(dāng)h0時(shí)，(33)的解V收斂于V。 hhj利用指數(shù)函數(shù)減少維數(shù)，(33)所表示的離散動(dòng)態(tài)規(guī)劃問題可以簡(jiǎn)化為： Q(,y,S)=minF(,l,S)

24、Q(,y+l,S), jbjF(,l,S)Q(,y?l,S),Q(+h,y?l,S) (34) sjj這里，F(xiàn)(,l,S)=exp(1+)l?()，F(xiàn)(,l,S)=exp(?(1?)l?()，bbss其中()=exp(r?(T?)。在=T的邊界條件由前面的(21)和(22)給出。因?yàn)樵谶B續(xù)時(shí)間情形，如果值函數(shù)在非交易區(qū)域是已知的，那么在買區(qū)域和賣區(qū)域的值能通過離散形式(14)*和(15)給出。假定y的最優(yōu)值是y，在這里買l是最優(yōu)的，而在y=y+l，不交易是最bb優(yōu)的，那么Q(,y,S)通過下式確定： j*Q(,y,S)=F(,y?y,S)Q(,y,S),y< (35) jbbjbb*類似

25、地，對(duì)于y>y能得出一個(gè)類似的方程，最后歐式期權(quán)的賣價(jià)由下式給出： b?exp(r(T)Q(,0,S?2?)wP(,S)=ln (36) w?Q(,0,S)?1?這是(23)式的離散時(shí)間形式。 （二）數(shù)值結(jié)果 對(duì)于如上表述的數(shù)值方法，利用MATLAB編程進(jìn)行計(jì)算，計(jì)算所用參數(shù)為：到期日取為T=4/12年，即4個(gè)月；股票初始價(jià)格取為S=40；無風(fēng)險(xiǎn)利率r=0.05；為了便于0比較，股票波動(dòng)率設(shè)為使得在當(dāng)前股票價(jià)格S下的年標(biāo)準(zhǔn)化波動(dòng)率?=0.3，也就是說當(dāng)股0票初始價(jià)格為S時(shí)，?S=S。表1對(duì)應(yīng)風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)=0.1，方差彈性系數(shù)=0.87500時(shí)不同交易費(fèi)用比率下（假定買賣股票的交易比率相同

26、，即=分別取值為0、0.005、bs0.1和0.2時(shí)）的歐式期權(quán)賣價(jià)；表2對(duì)應(yīng)交易費(fèi)用比率為=0.005，方差彈性系數(shù)bs=0.875時(shí)不同風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)下（即=0.1和=0.2）的歐式期權(quán)賣價(jià)；表3對(duì)應(yīng)交易費(fèi)用比率為=0.005，風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)=0.1時(shí)不同方差彈性下（即=0.875和bs=0.5）的歐式期權(quán)賣價(jià)。 表1 不同交易費(fèi)用比率下的期權(quán)賣價(jià) 執(zhí)行價(jià)格 30 35 40 45 50 無交易成本 10.5988 6.2820 3.0672 1.2502 0.4183 交易費(fèi)用比率為0.005 10.6858 6.4252 3.2385 1.3902 0.4938 交易費(fèi)用比率為0.01 1

27、0.7638 6.5310 3.3491 1.4827 0.5509 交易費(fèi)用比率為0.02 10.9192 6.7295 3.5414 1.6454 0.6586 表2 不同風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)下的期權(quán)賣價(jià) 執(zhí)行價(jià)格 30 35 40 45 50 風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)為0.1 10.6858 6.4252 3.2385 1.3902 0.4938 風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)為0.2 11.2096 6.8386 3.4775 1.4871 0.5242 表3 不同方差彈性下的期權(quán)賣價(jià) 執(zhí)行價(jià)格 30 35 40 45 50 方差彈性為0.875 10.6858 6.4252 3.2385 1.3902 0.4938 方差

28、彈性為0.5 10.7237 6.4738 3.2364 1.3341 0.4261 六 結(jié)論 本文在基于效用最大化的基礎(chǔ)上，將交易成本引入到CEV過程，詳細(xì)給出了在此情況下的效用無差異賣價(jià)的定價(jià)方法，并且給出了數(shù)值計(jì)算結(jié)果。正如第一節(jié)所介紹的，雖然對(duì)于處理含有交易成本的期權(quán)定價(jià)問題，很多學(xué)者建議了大量的方法，但效用無差異定價(jià)也許是解決不完全市場(chǎng)下期權(quán)定價(jià)方法中可能最有希望取得成功的方法。本文給出了在股票價(jià)格遵循CEV過程時(shí)期權(quán)賣價(jià)的定價(jià)方法，然而還有許多問題有待進(jìn)一步解決，例如對(duì)于美式期權(quán)的定價(jià)，在效用無差異下的均衡價(jià)格，不同形式的效用函數(shù)等等。這些問題將是進(jìn)一步研究的方向。 參考文獻(xiàn)： 杜

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