線性規(guī)劃在管理中的應(yīng)用

1、線性規(guī)劃在管理中的應(yīng)用,線性規(guī)劃問題的建模過程,1. 理解要解決的問題，了解解題的目標(biāo)和條件； 2. 定義決策變量（x1 ，x2 ， ，xn），每一組值表示一個(gè)方案； 3. 用決策變量的線性函數(shù)形式寫出目標(biāo)函數(shù)，確定最大化或最小化目標(biāo)； 4. 用一組決策變量的等式或不等式表示解決問題過程中必須遵循的約束條件,人力資源分配的問題（1,例1某晝夜服務(wù)的公交線路每天各時(shí)間段內(nèi)所需司機(jī)和乘務(wù)人員數(shù)如下： 設(shè)司機(jī)和乘務(wù)人員分別在各時(shí)間段一開始時(shí)上班，并連續(xù)工作八小時(shí)，問該公交線路怎樣安排司機(jī)和乘務(wù)人員，既能滿足工作需要，又配備最少司機(jī)和乘務(wù)人員,人力資源分配的問題（1,解：設(shè) xi 表示第 i 班次時(shí)開

2、始上班的司機(jī)和乘務(wù)人員數(shù)，這樣我們建立如下的數(shù)學(xué)模型： 目標(biāo)函數(shù)： min x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 約束條件： s.t. x1 + x6 60 x1 + x2 70 x2 + x3 60 x3 + x4 50 x4 + x5 20 x5 + x6 30 x1, x2, x3, x4, x5, x6 0 最優(yōu)解：x1 = 50，x2 = 20，x3 = 50，x4 = 0，x5 = 20，x6 = 10，共 150 人,人力資源分配的問題（2,例2一家中型的百貨商場(chǎng)，它對(duì)售貨員的需求經(jīng)過統(tǒng)計(jì)分析如下表所示。為了保證售貨人員充分休息，售貨人員每周工作5天，休息兩天，

3、并要求休息的兩天是連續(xù)的。問應(yīng)該如何安排售貨人員的作息，既滿足工作需要，又使配備的售貨人員的人數(shù)最少,人力資源分配的問題（2,解：設(shè) xi ( i = 1, 2, , 7) 表示星期一至日開始休息的人數(shù)，這樣我們建立如下的數(shù)學(xué)模型。 目標(biāo)函數(shù)： min x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 約束條件： s.t. x1 + x2 + x3 + x4 + x5 28 x2 + x3 + x4 + x5 + x6 15 x3 + x4 + x5 + x6 + x7 24 x4 + x5 + x6 + x7 + x1 25 x5 + x6 + x7 + x1 + x2 19

4、 x6 + x7 + x1 + x2 + x3 31 x7 + x1 + x2 + x3 + x4 28 x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7 0 最優(yōu)解：x1 = 12，x2 = 0，x3 = 11，x4 = 5，x5 = 0， x6 = 8， x7 = 0，共 36 人,生產(chǎn)計(jì)劃的問題（1,例3某公司面臨一個(gè)是外包協(xié)作還是自行生產(chǎn)的問題。該公司生產(chǎn)甲、乙、丙三種產(chǎn)品，都需要經(jīng)過鑄造、機(jī)加工和裝配三個(gè)車間。甲、乙兩種產(chǎn)品的鑄件可以外包協(xié)作，亦可以自行生產(chǎn)，但產(chǎn)品丙必須本廠鑄造才能保證質(zhì)量。數(shù)據(jù)如表。問：公司為了獲得最大利潤(rùn)，甲、乙、丙三種產(chǎn)品各生產(chǎn)多少件？甲、乙兩種產(chǎn)品的鑄造

5、中，由本公司鑄造和由外包協(xié)作各應(yīng)多少件,生產(chǎn)計(jì)劃的問題（1,解：設(shè) x1, x2, x3 分別為三道工序都由本公司加工的甲、乙、丙三種產(chǎn)品的件數(shù)，x4, x5 分別為由外協(xié)鑄造再由本公司加工和裝配的甲、乙兩種產(chǎn)品的件數(shù)。 求 xi 的利潤(rùn)：利潤(rùn) = 售價(jià) - 各成本之和 產(chǎn)品甲全部自制的利潤(rùn) 23-(3+2+3)=15 產(chǎn)品甲鑄造外協(xié)、其余自制的利潤(rùn) 23-(5+2+3)=13 產(chǎn)品乙全部自制的利潤(rùn) 18-(5+1+2)=10 產(chǎn)品乙鑄造外協(xié)、其余自制的利潤(rùn) 18-(6+1+2)=9 產(chǎn)品丙的利潤(rùn) 16-(4+3+2)=7 可得到 xi （i = 1,2,3,4,5） 的利潤(rùn)分別為 15、10

6、、7、13、9 元,生產(chǎn)計(jì)劃的問題（1,通過以上分析,可建立如下的線性規(guī)劃模型: 目標(biāo)函數(shù)： max 15x1 + 10 x2 + 7x3 + 13x4 + 9x5 約束條件： 5x1 + 10 x2 + 7x3 8000 6x1 + 4x2 + 8x3 + 6x4 + 4x5 12000 3x1 + 2x2 + 2x3 + 3x4 + 2x5 10000 x1, x2, x3, x4, x5 0 最優(yōu)解： x1 = 1600， x2 = x3 = x4 = 0，x5 = 600,生產(chǎn)計(jì)劃的問題（2,例4永久機(jī)械廠生產(chǎn)、三種產(chǎn)品，均要經(jīng)過A、B兩道工序加工。設(shè)有兩種規(guī)格的設(shè)備A1、A2能完成

7、A 工序；有三種規(guī)格的設(shè)備B1、B2、B3能完成 B 工序?？稍贏、B的任何規(guī)格的設(shè)備上加工； 可在任意規(guī)格的A設(shè)備上加工，但對(duì)B工序，只能在B1設(shè)備上加工；只能在A2與B2設(shè)備上加工。數(shù)據(jù)如表。問：為使該廠獲得最大利潤(rùn)，應(yīng)如何制定產(chǎn)品加工方案,生產(chǎn)計(jì)劃的問題（2,解：設(shè) xijk 表示第 i 種產(chǎn)品，在第 j 種工序上的第 k 種設(shè)備上加工的數(shù)量。 約束條件為： s.t. 5x111 + 10 x211 6000 （ 設(shè)備 A1 ） 7x112 + 9x212 + 12x312 10000 （ 設(shè)備 A2 ） 6x121 + 8x221 4000 （ 設(shè)備 B1 ） 4x122 + 11x3

8、22 7000 （ 設(shè)備 B2 ） 7x123 4000 （ 設(shè)備 B3 ） x111+ x112 = x121 + x122 + x123 （產(chǎn)品在A、B工序加工的數(shù)量相等） x211+ x212 = x221 （產(chǎn)品在A、B工序加工的數(shù)量相等） x312 = x322 （產(chǎn)品在A、B工序加工的數(shù)量相等） xijk 0 , i = 1,2,3; j = 1,2; k = 1,2,3,生產(chǎn)計(jì)劃的問題（2,目標(biāo)函數(shù)為計(jì)算利潤(rùn)最大化，利潤(rùn)的計(jì)算公式為： 利潤(rùn) = （銷售單價(jià) - 原料單價(jià)）* 產(chǎn)品件數(shù)之和 -（每臺(tái)時(shí)的 設(shè)備費(fèi)用 * 設(shè)備實(shí)際使用的總臺(tái)時(shí)數(shù)）之和。 這樣得到目標(biāo)函數(shù)： max (1

9、.25 0.25)(x111+x112) + (2 0.35)x221 + (2.8 0.5)x312 300/6000(5x111+10 x211) 321/10000(7x112+9x212+12x312) 250/4000(6x121+8x221) 783/7000(4x122+11x322) 200/4000(7x123) 經(jīng)整理可得： max 0.75x111 + 0.7753x112 + 1.15x211 + 1.3611x212 + 1.9148x312 0.375x121 0.5x221 0.4475x122 1.2304x322 0.35x123 解得：x111 = 1200

10、，x112 = 230.049，x211 = 0，x212 = 500，x312 = 324.138，x121 = 0， x221 = 500， x122 = 858.6206，x322 = 324.138， x123 = 571.4286,生產(chǎn)計(jì)劃的問題（2,另解：設(shè) yijk 表示在第 j 種設(shè)備上完成工序A、在第 k 種設(shè)備上完成工序B的第 i 種產(chǎn)品的數(shù)量。 目標(biāo)函數(shù)為： max (1.25 0.25) (y111 + y112 + y113 + y121 + y122 + y123) + (2 0.35) (y211 + y221) + (2.8 0.5) y322 300/6000

11、 5(y111 + y112 + y113) + 10 y211 321/10000 7(y121 + y122 + y123) + 9 y221 +12 y322 250/4000 6(y111 + y121) + 8(y211 + y221) 783/7000 4(y112 + y122) + 11 y322 200/4000 7(y113 + y123) 約束條件為： s.t. 5(y111 + y112 + y113) + 10 y211 6000 （ 設(shè)備 A1 ） 7(y121 + y122 + y123) + 9 y221 +12 y322 10000 （ 設(shè)備 A2 ） 6(y

12、111 + y121) + 8(y211 + y221) 4000 （ 設(shè)備 B1 ） 4(y112 + y122) + 11 y322 7000 （ 設(shè)備 B2 ） 7(y113 + y123) 4000 （ 設(shè)備 B3 ） yijk 0 , i = 1,2,3; j = 1,2; k = 1,2,3,套裁下料問題,例5某工廠要做100套鋼架，每套用長(zhǎng)為 2.9m，2.1m，1.5m 的圓鋼各一根。已知原料每根長(zhǎng) 7.4m，問：應(yīng)如何下料，可使所用原料最?。?解： 共可設(shè)計(jì)下列 5 種下料方案，見下表,設(shè) x1, x2, x3, x4, x5 分別為上面 5 種方案下料的原材料根數(shù),套裁下料

13、問題,最優(yōu)解：x1=30，x2=10，x3=0，x4=50，x5=0 約束條件中，用“=”還是“”,目標(biāo)函數(shù)： min x1 + x2 + x3 + x4 + x5 約束條件： s.t. x1 + 2x2 + x4 100 2x3 + 2x4 + x5 100 3x1 + x2 + 2x3 + 3x5 100 x1, x2, x3, x4, x5 0,配料問題（1,例6某工廠要用三種原料1、2、3混合調(diào)配出三種不同規(guī)格的產(chǎn)品甲、乙、丙，數(shù)據(jù)如下表。問：該廠應(yīng)如何安排生產(chǎn)，使利潤(rùn)收入為最大,解：設(shè) xij 表示第 i 種（甲、乙、丙）產(chǎn)品中原料 j 的含量。 目標(biāo)函數(shù)： 利潤(rùn)最大，利潤(rùn) = 收入

14、 原料支出 約束條件： 規(guī)格要求 4 個(gè)；供應(yīng)量限制 3 個(gè),配料問題（1,目標(biāo)函數(shù)： max 50 (x11+x12+x13 ) + 35 (x21+x22+x23) + 25 (x31+x32+x33) 65 (x11+x21+x31) 25 (x12+x22+x32) 35(x13+x23+x33) = 15x11 + 25x12 + 15x13 30 x21 + 10 x22 40 x31 10 x33 約束條件： 從第 1個(gè)表中有： x11 0.5(x11 + x12 + x13) x12 0.25(x11 + x12 + x13) x21 0.25(x21 + x22 + x23)

15、 x22 0.5(x21 + x22 + x23,從第 2 個(gè)表中有： x11 + x21 + x31 100 x12 + x22 + x32 100 x13 + x23 + x33 60,配料問題（1,線性規(guī)劃模型為： 目標(biāo)函數(shù)：max z = 15x11+25x12+15x13 30 x21+10 x22 40 x31 10 x33 約束條件： s.t. 0.5 x11 0.5 x12 0.5 x13 0 （原材料1不少于50%） 0.25x11+0.75x12 0.25x13 0 （原材料2不超過25%） 0.75x21 0.25x22 0.25x23 0 （原材料1不少于25%） 0.

16、5 x21+0.5 x22 0.5 x23 0 （原材料2不超過50%） x11 + x21 + x31 100 (供應(yīng)量限制） x12 + x22 + x32 100 (供應(yīng)量限制） x13 + x23 + x33 60 (供應(yīng)量限制） xij 0，i = 1,2,3；j = 1,2,3 解得： x11 = 100，x21 = 50，x31 = 50,配料問題（2,例7. 汽油混合問題。一種汽油的特性可用兩種指標(biāo)描述，用“辛烷數(shù)”來定量描述其點(diǎn)火特性，用“蒸汽壓力”來定量描述其揮發(fā)性。某煉油廠有1、2、3、4種標(biāo)準(zhǔn)汽油，其特性和庫(kù)存量列于下表中，將這四種標(biāo)準(zhǔn)汽油混合，可得到標(biāo)號(hào)為1，2的兩種

17、飛機(jī)汽油，這兩種汽油的性能指標(biāo)及產(chǎn)量需求也列于下表中。問應(yīng)如何根據(jù)庫(kù)存情況適量混合各種標(biāo)準(zhǔn)汽油，既滿足飛機(jī)汽油的性能指標(biāo)，又使2號(hào)汽油滿足需求，并使得1號(hào)汽油產(chǎn)量最高,配料問題（2,解：設(shè)xij為飛機(jī)汽油 i 中所用標(biāo)準(zhǔn)汽油 j 的數(shù)量(L)。 目標(biāo)函數(shù)為飛機(jī)汽油1的總產(chǎn)量：x11+ x12+ x13+ x14 庫(kù)存量約束為： x11+ x21 380000 x12+ x22 265200 x13+ x23 408100 x14+ x24 130100 產(chǎn)量約束為飛機(jī)汽油2的產(chǎn)量： x21+ x22+ x23+ x24 250000,配料問題（2,物理上的分壓定律： 得到有關(guān)蒸汽壓力的約束條件

18、： 即 同理有： 同理，得到有關(guān)辛烷數(shù)的約束條件,配料問題（2,線性規(guī)劃模型,投資問題（1,例8某部門現(xiàn)有資金200萬(wàn)元，今后五年內(nèi)考慮給以下的項(xiàng)目投資： 項(xiàng)目A：從第一年到第五年每年年初都可投資，當(dāng)年末能收回本利110%； 項(xiàng)目B：從第一年到第四年每年年初都可投資，次年末能收回本利125%，但規(guī)定每年最大投資額不能超過30萬(wàn)元； 項(xiàng)目C：需在第三年年初投資，第五年末能收回本利140%，但規(guī)定最大投資額不能超過80萬(wàn)元； 項(xiàng)目D：需在第二年年初投資，第五年末能收回本利155%，但規(guī)定最大投資額不能超過100萬(wàn)元。 據(jù)測(cè)定每萬(wàn)元每次投資的風(fēng)險(xiǎn)指數(shù)如下表： 問： （1）應(yīng)如何確定這些項(xiàng)目的每年投資

19、額，使得第五年年末擁有資金的本利金額為最大？ （2）應(yīng)如何確定這些項(xiàng)目的每年投資額，使得第五年年末擁有資金的本利在330萬(wàn)元的基礎(chǔ)上使得其投資總的風(fēng)險(xiǎn)系數(shù)為最小,投資問題（1,注意兩個(gè)問題： 連續(xù)投資 閑置資金 決策變量： 設(shè) xij ( i = 15，j = 14)表示第 i 年初投資于A (j=1)、B (j=2)、C (j=3)、D (j=4)項(xiàng)目的金額。這樣我們建立如下的決策變量： Ax11x21x31x41x51 Bx12x22x32x42 Cx33 Dx24,投資問題（1,約束條件： 第一年：A當(dāng)年末可收回投資，故第一年年初應(yīng)把全部資金投出去，于是 x11+ x12 = 200；

20、第二年：B次年末才可收回投資，故第二年年初有資金1.1 x11，于是 x21 + x22+ x24 = 1.1x11； 第三年：年初有資金 1.1x21+ 1.25x12，于是 x31 + x32+ x33 = 1.1x21+ 1.25x12； 第四年：年初有資金 1.1x31+ 1.25x22，于是 x41 + x42 = 1.1x31+ 1.25x22； 第五年：年初有資金 1.1x41+ 1.25x32，于是 x51 = 1.1x41+ 1.25x32； B、C、D的投資限制： xi2 30 ( i =1、2、3、4 )，x33 80，x24 100 非負(fù)條件： xij 0 ( i =

21、15，j = 14) 目標(biāo)函數(shù)：max z = 1.1x51+ 1.25x42+ 1.4x33 + 1.55x24,投資問題（2,決策變量：同上 目標(biāo)函數(shù)： min f = x11+x21+x31+x41+x51 + 3(x12+x22+x32+x42) + 4x33 + 5.5x24 約束條件： 問題（1）中的條件 “第五年末擁有資金本利在330萬(wàn)元”的條件： 1.1x51 + 1.25x42+ 1.4x33+ 1.55x24 330,投資問題（2,決策變量： 設(shè) xij ( i = 15，j = 14)表示第 i 年初投資于A (j=1)、B (j=2)、C (j=3)、D (j=4)項(xiàng)目的金額。 設(shè)s