隨機分析論文MicrosoftWord文檔(2

1、美式-亞式期權(quán)定價的偏最小二乘回歸方法摘要：期權(quán)是國際金融市場創(chuàng)新實踐的產(chǎn)物，期權(quán)定價問題更是當(dāng)今金融學(xué)面 臨的重要研究課題之一。本文首先說明美式和亞式兩種期權(quán)的定價方法，接著進入美式-亞式期權(quán)定價模型的推導(dǎo)。用偏最小二乘回歸方法進行美式-亞式期權(quán)定 價。關(guān)鍵詞美式-亞式期權(quán)模特卡洛模擬偏最小二乘一美式和亞式期權(quán)定價理論美式期權(quán)是指能夠在合約規(guī)定的到期日以前（包括到期日）任何一個工作日實施的期權(quán)。從數(shù)學(xué)上來說，美式期權(quán)的定價問題是一個自由邊界問題，它需要求解這樣一條交界線，金融上稱它為最佳實施邊界，它把區(qū)域 辭童対c鸚血爸if包網(wǎng)分為兩個部分：一部分是繼續(xù)持有區(qū)域，另一部分是終止 持有區(qū)域。最

2、佳實施邊界的位置確定是美式期權(quán)定價的基礎(chǔ)。 在繼續(xù)持有區(qū)域內(nèi)， 期權(quán)價格等于B-S方程的解，而在終止持有區(qū)域，經(jīng)典的Black-Scholes定價公式就并不適用了，只能采用數(shù)值方法來研究期權(quán)價格的數(shù)值解、近似解析解或解 的漸近表達式。以美式看跌期權(quán)為例，假設(shè)最佳實施邊界為、珈 K）,其中K為期權(quán)敲定 價格，在繼續(xù)持有區(qū)域一，有期權(quán)的價格大于實施的收益，即 K 百且1%陸:瞑疋畸I ;在終止持有區(qū)域，期權(quán)的價格等于實施的收益，即 噴 険-阱，且氐尸常遠空宅驗。在最佳實施邊界上，期權(quán)價格曲線 與表示實施收益的曲線陸；相切，相切點斜率為_。從而，美式看跌期權(quán) 的價格是下面自由邊界問題的解：-rV =

3、 0 (0 t r. S5 5 00) (0 t T, S0 5 ooj (005ma.vCK-S,0)V(S. t) = max(K 一 $ 0)F(S0,t) = maxdV di = lVS,T)= maxK - S, 0) (VS 0Iim V(S,t) = 0(0 t 7)S-*oa以上方程可以用數(shù)值方法進行求解，如差分法，樹圖法。亞式期權(quán)是強路徑有關(guān)期權(quán)，它在期權(quán)到期日的收益不僅依賴于當(dāng)天原生資產(chǎn)的價格，而且依賴于在整個期權(quán)有效期內(nèi)原生資產(chǎn)所經(jīng)歷的價格平均值。這里所謂的平均值丨，可以是算數(shù)平均，也可以是幾何平均。與歐式、美式期權(quán)一樣,亞式期權(quán)也有離散情形和連續(xù)情形之分。此外，亞式期

4、權(quán)的敲定價格還有固定與 浮動之分，不同形式的敲定價格，對應(yīng)的收益計算方法也是不一樣的。綜合而言, 亞式期權(quán)的不同形式及其對應(yīng)的到期日收益如下表(以看漲期權(quán)為例)：表一亞式期權(quán)的形式及收益形式收益連續(xù)情形的J離散情形的J具有固定敲定價格的算術(shù)平均亞式期權(quán)(Jt-kTT&t1-1具有固定敲定價格的幾何平均亞式期權(quán)(Jt-kT具有浮動敲定價格的算術(shù)平均亞式期權(quán)1-=1具有浮動敲定價格的幾何平均亞式期權(quán)Jr =討甌氐根據(jù)亞式期權(quán)的不同形式，它的定價模型也有所不同。首先假設(shè)為亞式期權(quán)的定價，構(gòu)造一個在 加討時段內(nèi)無風(fēng)險的投資組合廉，即有- XV：。在Ito公式的推導(dǎo)下，并取-一，最后得到下列方程:3So

5、二ni 一匚從上述表一可以看出，算術(shù)平均和幾何平均兩種算法對應(yīng)了兩個不同的價格平均值，當(dāng)然也就對應(yīng)了兩個不同的一。將這兩個不同的以及一帶入上述方dtAt程，便可分別得到算術(shù)平均亞式期權(quán)和幾何平均亞式期權(quán)的定價模型算術(shù)平均亞式期權(quán)的定價模型:幾何平均亞式期權(quán)的定價模型:在上述兩種定價模型基礎(chǔ)上，再考慮固定敲定價格和浮動敲定價格之分。以具有固定敲定價格的算術(shù)平均亞式期權(quán)為例，令二，二二，將上述模型ST轉(zhuǎn)化為：（rq）e+ll qU= 0T k）+ = M*于是，求解具有固定敲定價格的算術(shù)平均亞式期權(quán)的價格就轉(zhuǎn)化為在區(qū)域V：.s 丨 T；=3V S-J5V 1= T QT* at t aj 2口一

6、K)*(K - D+($ - J)+io-sr、 svz&-Q）S-rV = O具有固定敲定價格的看漲期權(quán)） （具有固定敲定價格的看跌期權(quán)） （具有浮動敲定價格的看漲期權(quán)） （具有浮動敲定價格的看跌期權(quán)）V.s I Tj =J_K廣 彳(K_D十Cs-jrLo-s)+av InS -InJSV 1 “ 婕護V z 、 dV杰+ i頁+曠獷麗+&一吩亦一叩=具有固定敲定價格的看漲期權(quán)） C具有固定敲定價格的看跌期權(quán)） 具有浮動敲定價格的看漲期權(quán)） （具有浮動敲定價格的看跌期權(quán)）在定解區(qū)域 O$S!HOJaoJOtT在定解區(qū)域- _二上求解一維拋物方程的Cauchy問題了。其他各種形式的亞式期權(quán)可

7、照此法類推，求出相應(yīng)的期權(quán)價格。二 美式-亞式期權(quán)定價理論美式-亞式期權(quán)是兼具美式、亞式期權(quán)特性的復(fù)雜期權(quán)，它是指在規(guī)定的某些特定交易日均可以敲定的價格執(zhí)行的期權(quán)， 但其收益不僅與交易日當(dāng)天標的資 產(chǎn)的價格有關(guān)，還與交易日之前一段時期內(nèi)標的資產(chǎn)的平均價格有關(guān)。根據(jù)期權(quán)理論，假設(shè)當(dāng)前時刻為此時標的資產(chǎn)的初始價格為 到期日為： 期權(quán)在To（ 0TO T）之后的某些特定交易日均可以之前的固定的敲定價K執(zhí)行,期權(quán)最早的可執(zhí)行時間為Ti，共有n次執(zhí)行機會，可執(zhí)行時間 間隔為。設(shè)交割日為S，則A表示標的資產(chǎn)在交割日S之前 n的To-S時間段內(nèi)的平均價格（為簡便起見，本文考慮算術(shù)平均價格）?？紤]將0,T 時間區(qū)間等分為N個長度相等的時間，丁二二-=-，在任意時刻，標的資產(chǎn)的價格為.0設(shè)丁二i上，T二1上，可執(zhí)行時間間隔一二:二（代浪卜）。資產(chǎn)價格演化遵循幾何布朗運動，即英-dt FWS第一步是在計算機上運用蒙特卡洛模擬方法隨機抽樣生成從發(fā)行日到到期日之間標的資產(chǎn)價格的樣本路徑