直線和圓知識點總結

1、練習一（直線和圓部分） 知識梳理 1直線的傾斜角的范圍是 ；求直線斜率的兩種方法：定義： k ； () 2 斜率公式：答案k 21 21 yy xx 12 ()xx0 ,180 2直線方程的幾種形式： 點斜式 ，適用范圍：不含直線； 0 xx 特例：斜截式 ，適用范圍：不含垂直于軸的直線；x 兩點式 ，適用范圍：不含直線和直線 112 ()xx xx ； 112 ()yy yy 特例：截距式 ，適用范圍：不含垂直于坐標軸和過原點的直線； 一般式 ，適用范圍：平面直角坐標系內(nèi)的直線都適用 3求過，的直線方程時： 111 ( ,)P x y 222 (,)P xy （1）若，且時，直線垂直于軸，方

2、程為； 12 xx 12 yyx 1 xx （2）若，且時，直線垂直于軸，方程為； 12 xx 12 yyy 1 yy （3）若，且時，直線即為軸，方程為； 12 0 xx 12 yyy0 x （4）若，且時，直線即為軸，方程為。 12 xx 12 0yyx0y 4已知直線：，直線：，則 1 l 11 yk xb 2 l 22 yk xb 與相交 ； 與平行 ； 1 l 2 l 1 l 2 l 與重合 ； 與垂直 1 l 2 l 1 l 2 l 5已知直線：，直線：，則 1 l 111 0AxB yC 2 l 222 0A xB yC 與相交 ； 與平行 ； 1 l 2 l 1 l 2 l 與

3、重合 ； 與垂直 1 l 2 l 1 l 2 l 6兩點，之間的距離 ； 111 ( ,)P x y 222 (,)P xy 12 =PP 點到直線 ：的距離 ；(,)P x y l0AxByCd 兩平行直線：與：之間的距離 1 l 1 0AxByC 2 l 2 0AxByCd 7圓的標準方程為，其中 為圓心， 為半徑 222 ()()(0)xaybrr ； 圓的一般方程為表示圓的充要條件是， 22 0 xyDxEyF 22 40DEF 其中圓心為 ，半徑為 8點與圓的位置關系 圓的標準方程為，點， 222 ()()xaybr 00 (,)M xy （1）點在圓上：； 222 00 ()()x

4、aybr （2）點在圓外：； 222 00 ()()xaybr （3）點在圓內(nèi)：。 222 00 ()()xaybr 9直線與圓的位置關系 判斷直線與圓的三種位置關系常用的兩種判斷方法： （1）代數(shù)法：直線方程和圓的方程聯(lián)立方程組消去或整理成一元二次方程后，xy 計算判別式 ； 2 40bac ； 2 40bac 。 2 40bac （2）幾何法：利用圓心到直線的距離和圓半徑的大小關系d ； ； 。drdrdr 10圓的切線方程 若圓的方程為，點在圓上，則過點，且與圓相 222 xyr 00 (,)P xyP 222 xyr 切的切線方程為； 2 00 xxyyr 經(jīng)過圓上的的切線方程為： 2

5、22 ()()xaybr 00 (,)P xy 。 2 00 ()()()()xa xayb ybr)( 00 xxkyy 點在圓外，則可設切線方程為 )( 00 xxkyy ,利用直線與圓相切，利用 00 (,)P xy 圓心到直線的距離等于半徑，解出 k。 11計算直線被圓截得的弦長的兩種方法： （1）幾何法：運用弦心距、弦長的一半及半徑構成直角三角形計算。 （2）代數(shù)法：利用韋達定理及弦長公式 222 1(1) ()4 ABABAB ABkxxkxxx x 12設圓：，圓：，則有兩圓 1 C 222 111 ()()xxyyr 2 C 222 222 ()()xxyyr 相離 ；外切 ；

6、內(nèi)切 12 C C 12 C C 12 C C ； 相交 ；內(nèi)含 12 C C 12 C C 13對稱問題 點關于點的對稱：利用中點坐標公式。 直線關于點對稱：利用取特殊點法或轉(zhuǎn)移法。 點關于直線對稱：利用垂直和平分。 直線關于直線對稱：轉(zhuǎn)化為點關于直線對稱問題解決。如果是平行直線，還可以利用 平行直線之間距離。如果是相交直線，可以利用已知交點，夾角相等的方法。 常用的對稱關系：點(a,b) 點(a,b)關于原點的對稱點(-a,-b), 點關于點的對稱點的坐標為( , )a b 00 (,)a b 00 (2,2)aaba 點(a,b)關于 x 軸的對稱點(a,-b)， 點(a,b)關于 y

7、軸的對稱點為(-a,b)， 點(a,b)關于直線 y=x 的對稱點為(b,a)， 點(a,b)關于直線 y= -x 的對稱點(-b,-a)， 點(a,b)關于直線 y=x+m 的對稱點為(b-m,a+m), 點(a,b)關于直線 y= -x+m 的對稱點(m- b,m-a). 練習題（第一部分） 1直線的傾斜角為若，則此直線的斜率是（ ）, 3 sin 5 A B C D 4 3 3 4 4 3 3 4 2.直線 過點（-1，2）且與直線垂直，則 的方程是xy 3 2 A B. 0123yx0723yx C. D.0532 yx0832 yx 3已知兩條直線和互相垂直，則等于（ ）2yax(2

8、)1yaxa A2 B1 C0 D1 解析：兩條直線和互相垂直，則， a=1，選 D.2yax(2)1yax(2)1a a 點評：直線間的垂直關系要充分利用好斜率互為負倒數(shù)的關系，同時兼顧到斜率為零和不 存在兩種情況 4已知、，直線 過且與線段有交點，設直線 的斜率為，(2, 3)A( 3, 2)B l(1,1)PABlk 則的取值范圍（ ）k A或 B C 或 D 3 4 k 4k 3 3 4 k 3 4 k 1 4 k 3 4 4 k 解析：過點、的直線斜為，過點、的( 3, 2)B (1,1)P 1 1 ( 2)3 1 ( 3)4 k (2, 3)A(1,1)P 直線斜率為，畫圖可看出過

9、點的直線與線段有公共點 2 1 ( 3) 4 1 2 k (1,1)PAB 可看作直線繞點從旋轉(zhuǎn)至的全過程。(1,1)PPBPA 5直線 經(jīng)過點，且與兩坐標軸圍成的三角形的面積為，如果符合條件的直線l(2,1)PS 能作且只能作三條，則（ ）lS A B C D3458 解析：設直線方程為，則有，當時，1 xy ab 21 1 ab ,0a b 212 12 abab 得，即 與兩坐標軸正半軸圍成的三角形的面積的最小值為 4，顯然與兩坐8ab l 標軸圍成的三角形在二、四象限時各有一個面積為 4，共可作且只可作三條符合條 件的直線 。l 6已知直線 ：，：，若直線與關于 對稱，則的方程l10

10、xy 1 l220 xy 2 l 1 ll 2 l 為（ ） A B 210 xy 210 xy C D10 xy 210 xy 解析：在上取兩點，則它關于直線 的對稱點為，所以的 1 l(0, 2),(1,0)l( 1, 1),(1,0) 2 l 方程為。210 xy 7已知點，點在直線上，若直線垂直于直線) 1, 0( MN01 yxMN ，032yx 則點的坐標是（ ）N A B C D) 1, 2()3 , 2() 1 , 2() 1 , 2( 二、填空題 8過點（1，2）且與直線平行的直線方程是_ . 210 xy 250 xy 9已知兩條直線若，則 _. 12 :330,:4610

11、.laxylxy 12 /lla 解：兩條直線若，則2 12 :330,:4610.laxylxy 12 /ll 2 33 a a 10若過點和的直線的傾斜角為鈍角，那么實數(shù)的取值范圍是)1 ,1 (aaP)2 , 3(aQa .( 2,1)a 11如果直線的傾斜角為且則, 0ab0cbyax,sin1sin1 2 sin 直線的斜率為._ 解析：由，sin1 sin1 sinsincossincos 22222 因為直線的傾斜角為所以，又，, 0ab0cbyax,tan0 a b 0, 所以，所以，(, ) 2 (,) 24 2 0cossin 22 所以，sin(sincos)(sinco

12、s)2cos 222222 所以，。tan2 2 2 2tan 4 2 tan 3 1tan 2 k 三、解答題 12.已知直線 經(jīng)過直線與直線的交點，且垂直于直線l3420 xy220 xyP .210 xy （）求直線 的方程；l （）求直線 與兩坐標軸圍成的三角形的面積.lS 解：（）由 解得 3420, 220. xy xy 2, 2. x y 由于點 P 的坐標是（，2）.2 則所求直線 與直線垂直，l210 xy 可設直線 的方程為 .l20 xyC 把點 P 的坐標代入得 ，即.2220C 2C 所求直線 的方程為 .l220 xy （）由直線 的方程知它在軸、軸上的截距分別是、

13、， lxy12 O y X DC B(A) 所以直線 與兩坐標軸圍成三角形的面積. l 1 1 21 2 S 13.求經(jīng)過直線：與直線：的交點 M，且滿足下列條件 1 l3450 xy 2 l2380 xy 經(jīng)過原點；與直線：平行；與直線：垂直的直 3 l250 xy 4 l250 xy 線方程。答案：250 xy 14.在平面直角坐標系中，已知矩形 ABCD 的長為 2，寬為 1，AB、AD 邊分別在軸、x 軸的正半軸上，A 點與坐標原點重合，將矩形折疊，使 A 點落在線段 DC 上，若折y 痕所在的直線的斜率為，試寫出折痕所在直線的方程。k 解：（1）當時，、重合，折痕所在直線方程為0kA

14、D 2 1 y （2）當時，設折疊后落在線段上的點為，0kA) 1 ,(aG 所以與關于折痕所在直線對稱。AG ，可得 ,1kkAGka 從而 ，線段之中點為，) 1 ,( kG OG) 2 1 , 2 ( k M 折痕所在直線方程為，化簡得。) 2 ( 2 1k xky 2 1 2 2 k kxy 練習題（第二部分） 1直線與圓的位置關系是（） 3 3 yx 22 (1)1xy A相交但直線不過圓心 B. 相切 C.相離 D.相交且直線過圓心 2與圓同圓心，且面積為圓面積的一半的圓的方程為（ 0352: 22 xyxCC ） A. B. 18) 1( 22 yx9) 1( 22 yx C.

15、D. 6) 1( 22 yx3) 1( 22 yx 3圓心為的圓與直線交于、兩點，為坐標原點，且滿 1 ,3 2 C :230l xyPQO 足，則圓的方程為（ ）0OP OQ C A B 22 15 ()(3) 22 xy 22 15 ()(3) 22 xy C D 22 125 ()(3) 24 xy 22 125 ()(3) 24 xy 4是曲線上任意一點，則的最大值為（ ）( , )P x y 1 cos , sin . x y 22 (2)(4)xy A B C D3626256 5兩個圓：與：的公切線有且 1 C 22 2220 xyxy 2 C 22 4210 xyxy 僅有（

16、） A 條 B條 C條 D條 1234 解析：因為，所以，所以兩圓相 121212 0,4,13rrrrOO 121212 rrOOrr 交，故兩圓公切線有條。2 6從圓外一點向這個圓作兩條切線，則兩切線夾角的余 22 2210 xxyy 3,2P 弦值為（ ） A B C D 1 2 3 5 3 2 0 解析：圓的圓心為 M(1，1)，半徑為 1，從外一點向這個 22 2210 xxyy (3,2)P 圓作兩條切線，則點 P 到圓心 M 的距離等于，每條切線與 PM 的夾角的正切值5 等于，所以兩切線夾角的正切值為，該角的余弦值等于。 2 1 1 2 4 2 tan 1 3 1 4 3 5

17、7若圓上至少有三個不同點到直線 :的距離為 22 44100 xyxyl0axby ,則直線 的斜率的取值范圍是( )2 2l A B C D 2 23, 2 23,23 3 , 3 3 0, 解析：圓整理為，01044 22 yxyx 222 (2)(2)(3 2)xy 圓心坐標為(2，2)，半徑為 3，2 要求圓上至少有三個不同的點到直線的距離為，0:byaxl22 則圓心到直線的距離應小于等于， 2 ， ， 22 |22 | 2 ab ab 2 ( )4( ) 1 aa bb 0 ， ，選 B.23( )23 a b ( ) a k b 2323k 8若直線按向量平移后與圓相切，則的值為

18、（ 20 xyc1,-1a = 22 5xyc ） A或 B或 C或 D或82644628 解：將直線按向量平移得，20 xyc1,-1a =2(1)(1)0 xyc 即，因為與圓相切，所以，230 xyc 230 xyc 22 5xy 3 5 5 c 或。358cc2c 二、填空題 9. 圓關于直線對稱的圓的方程是，則實 22 210 xyaxy 1xy 22 10 xy 數(shù)的值是 2 a 10若半徑為 1 的圓分別與軸的正半軸和射線相切，則這個圓的方程y 3 (0) 3 yx x 為 解析：若半徑為 1 的圓分別與軸的正半軸和射線相切，y 3 (0) 3 yx x 則圓心在直線上，且圓心的

19、橫坐標為 1，所以縱坐標為，3yx3 這個圓的方程為。 22 (1)(3)1xy 11已知圓：，直線 ：，下面四個命題：M 22 (cos )(sin )1xylykx 對任意實數(shù)與，直線 和圓相切；klM 對任意實數(shù)與，直線 和圓有公共點；klM 對任意實數(shù)，必存在實數(shù)，使得直線 與和圓相切klM 對任意實數(shù)，必存在實數(shù)，使得直線 與和圓相切klM 其中真命題的序號是_（寫出所有真命題的序號） 解：，圓心坐標為，( cos ,sin ) 。 2 22 |kcossin |1k |sin| 1k1k d （） |sin|1=（） 12函數(shù)的最小值為 22 ( )4131237f xxxxx4

20、2 13從原點向圓作兩條切線，則該圓夾在兩條切線間的劣弧長為 22 12270 xyy 解析：利用數(shù)形結合解此題有優(yōu)勢。 因為，所以，圓心在，半徑為 3， 22 12270 xyy 22 (6)9xy(0,6) 設圓心為，切點為，則在中，,，所以,MNRt OMN6OM 3MN 6 MON 所以兩切線的夾角為，劣弧所對的圓心角為，故劣弧的弧長為。 3 2 3 2 2 33 l l 三、解答題 14求過直線和圓的交點，且滿足下列條件之一240 xy 22 2410 xyxy 的圓的方程 （1）過原點；（2）有最小面積 15如果實數(shù)滿足，求的最大值；的最小值；, x y 22 410 xyx x y yx 的最值 22 xy 分析：表示以點為圓心，半徑為的圓，為圓上的點與 22 410 xyx (2,0)3 x y M 原點連線的斜率；設，則，可知是斜率為 1 的直線在軸上的截距，yxbyxbby 于是問題實質(zhì)上是求圓上的點與原點連線的斜率的最大值；實