關(guān)于數(shù)學(xué)化及有效學(xué)習(xí)問題.ppt

1、關(guān)于數(shù)學(xué)化及有效學(xué)習(xí)問題,孫曉天 中央民族大學(xué)(100081) ,a,2,為什么要搞數(shù)學(xué)化 什么是數(shù)學(xué)化 如何實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)化 數(shù)學(xué)化與有效學(xué)習(xí)的關(guān)系,從“后勁兒”談起,中國的足球沒有后勁 中國的數(shù)學(xué)也沒有后勁 后勁光靠練是練不出來的 更需要問題驅(qū)動、想象力、獨(dú)立思考、活動空間,雙基”與“后勁兒,對“雙基”的幾種理解： 計(jì)算和證明 有限時(shí)間內(nèi)完成數(shù)學(xué)任務(wù)的數(shù)量和質(zhì)量 重心在技能，其實(shí)是“單基,算”是我們的強(qiáng)項(xiàng) 而直觀、想象、經(jīng)驗(yàn)、抽象、計(jì)算、演繹缺一不可 我們?nèi)踉谔釂栴}、想辦法、主動探求等方面 攢后勁兒就要在彌補(bǔ)弱項(xiàng)上下大功夫,彌補(bǔ)弱項(xiàng)離不開數(shù)學(xué)化,數(shù)學(xué)的后勁兒需要數(shù)學(xué)化支撐 數(shù)學(xué)化是數(shù)學(xué)新課程追求

2、的目標(biāo),數(shù)學(xué)化從何入手,陳建功先生語,教材的內(nèi)容，對于學(xué)生宜富于興趣；枯燥無味的東西，決不能充作教材； 成人所喜之推理或?qū)嵱脝栴}，未必為未成年的青年所滿足。吾人應(yīng)該站在學(xué)生的立場；順應(yīng)學(xué)生的心理發(fā)展去教育學(xué)生，才能滿足他們的真實(shí)感。 某些教材,雖然具有高度的實(shí)用性價(jià)值或高度的論理性價(jià)值,假使學(xué)生不發(fā)生任何真實(shí)感,就心理的原則而言,這些教材,簡直是沒有教育的價(jià)值,后來許多學(xué)者，對把各科純論理的展開，頗有興趣。數(shù)學(xué)不光是在學(xué)術(shù)上分了科， 更是 各自陷于孤立的局面。 然而在科學(xué)的研究當(dāng)中，用數(shù)學(xué)做武器的時(shí)候，往往需要各科全般的知識，假如預(yù)先有了有機(jī)的統(tǒng)一，那就方便多了。綜合的數(shù)學(xué)，不但可以避免重復(fù)，

3、學(xué)習(xí)既省時(shí)間；并且可以使學(xué)生明白生動的數(shù)學(xué)體系。 （引自 “二十世紀(jì)的數(shù)學(xué)教育” 1956,數(shù)學(xué)化應(yīng)從下列方向入手,教材 學(xué)生的成長水平與內(nèi)在的學(xué)習(xí)需求 數(shù)學(xué)的現(xiàn)實(shí)性、真實(shí)感 有助于學(xué)生把握數(shù)學(xué)的本質(zhì) 學(xué)以致用,何為數(shù)學(xué)化,搜集、整理、描述信息，建立數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而解決問題 從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，讓他們親身經(jīng)歷將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋與應(yīng)用的過程 在獲得對數(shù)學(xué)理解的同時(shí)，在思維能力、情感態(tài)度與價(jià)值觀等多方面得到進(jìn)步與發(fā)展。 摘自標(biāo)準(zhǔn),具體應(yīng)包括,從情景問題中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題 利用生活中積累的常識和已習(xí)得的知識與方法，去尋求解決問題 在解決問題的過程中探索新的概念和方法，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué) 關(guān)注：

4、數(shù)學(xué)的概念和方法是從哪里來的？它們有什么用？可以怎么用？ 一步步地體驗(yàn)數(shù)學(xué)的抽象和形式化,借助問題得滾動式集束（成串）出現(xiàn)，使學(xué)生未曾接觸過的新概念、新思想、新方法能夠涌現(xiàn) 由學(xué)生自己通過發(fā)現(xiàn)習(xí)得一些尚未學(xué)過的數(shù)學(xué) 這不是個(gè)一蹴而就的過程，需要花費(fèi)一些功夫，但最終可能重新發(fā)現(xiàn)一個(gè)嚴(yán)格的數(shù)學(xué)系統(tǒng),弗蘭登塔爾的數(shù)學(xué)化 大體是兩步走,1.把現(xiàn)實(shí)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題（水平數(shù)學(xué)化,確定情景問題中包含的數(shù)學(xué)成分 建立數(shù)學(xué)成分與已知的數(shù)學(xué)模型之間的聯(lián)系 通過不同方法使這些數(shù)學(xué)成分形象化和公式化 找出蘊(yùn)含其中的關(guān)系和規(guī)則 考慮相同數(shù)學(xué)成分在不同情景問題中的表現(xiàn) 作出形式化的表述,2.把數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為抽象的數(shù)學(xué)形

5、式（垂直數(shù)學(xué)化,用數(shù)學(xué)公式表示關(guān)系; 對有關(guān)規(guī)則作出證明; 嘗試不同數(shù)學(xué)模型的建立和使用; 對得出的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行調(diào)整和加工; 綜合不同數(shù)學(xué)模型的共性,形成功能更強(qiáng)的新模型; 用數(shù)學(xué)公式和語言精確表述得到的新概念和新方法,數(shù)學(xué)化,實(shí)例1,3個(gè)小朋友分36塊糖果，每人能分到幾塊,學(xué)生探索出來的幾個(gè)結(jié)果,學(xué)生的嘗試可以概括為兩個(gè)主要方法：分配的方法和比例的方法,分配的方法主要是找到3個(gè)相等的部分 比例的方法是“一次分走3塊糖一共能分多少次” 這兩種方法之間是緊密相關(guān)聯(lián)的：分配的方法是分成了3個(gè)相等的部分；比例的方法則是每分一次，糖的總數(shù)以3的倍數(shù)的形式減少,啟示 學(xué)生在解決“分”的問題時(shí)，傾向于重復(fù)

6、做減法的方式 原來的那個(gè)“分糖”問題已經(jīng)來到了嚴(yán)格的除法的門口 雖然還需要一些提煉和轉(zhuǎn)換工作，但核心的思想和方法已經(jīng)被發(fā)現(xiàn)了,實(shí)例2,1128名球迷要隨主隊(duì)參加客場比賽。每輛大客車可以乘坐36人，并且每10輛交通公司給予優(yōu)惠,學(xué)生的探索,除減法外，每10輛可以優(yōu)惠這個(gè)信息很重要，“乘10”自然派上用場,36 1128 36010 768 360 10 408 360 10 48 36 1 12,更進(jìn)一步,36 1128 36010 768 720 20 48 36 1 12,稍微調(diào)整一下就是嚴(yán)格的除法算式了,36 1128 108030 48 36 1 12,學(xué)生自己得出的算法已經(jīng)來到抽象的豎

7、式除法門口,實(shí)例3,陰影和角,位于New Mexico州的Acoma Pueblo被認(rèn)為是美國最古老的村莊.她以其美麗的陶器和建筑而聞名.通過對古陶的研究,人類學(xué)家認(rèn)為這個(gè)村莊至少已經(jīng)在這里存在1000年了!上面是這個(gè)村莊的全景圖,她仍然保持著100年前的樣子,這是村莊主要街道的典型建筑.照片是早晨拍的,1.下午時(shí)陰影會是什么樣,這里我們畫出了照片上第一個(gè)梯子.它顯示出光線是平行的,同一天另一時(shí)刻的影子,a,36,歸結(jié)為數(shù)學(xué)問題,L h d,L h d,有兩個(gè)辦法刻劃陡度,角,高度和距離之比 高度 距離,探索“陡”與和h:d的關(guān)系,h/d (h:d,角,填表,曲線,2.0,1.5,1.0,0.

8、5,15 30 45 60,填表結(jié)果,角度越大（光線越陡）陰影越短,光線,光線,陰影,陰影,陡度可用不同方法測量：角度越大梯子越陡，比值越大梯子越陡,h d,思考,從有趣的背景出發(fā),經(jīng)過一連串問題,不知不覺已經(jīng)來到抽象概念的門口.h:d就是tangent！ 三角比從分析抽象的直角三角形開始,先講sine;從“梯子,陡度”這樣一些情景出發(fā),首先遇到的就是tangent. 是從現(xiàn)成的結(jié)果到抽象的系統(tǒng),還是從豐富的情景經(jīng)由數(shù)學(xué)化的過程再進(jìn)入抽象的系統(tǒng)，切入點(diǎn)不同,面貌徊異. 后者做起來有點(diǎn)難,但無論如何, 數(shù)學(xué)課程要加點(diǎn)過程,加點(diǎn)學(xué)生感興趣的有意義的數(shù)學(xué),什么是有效性,指為學(xué)習(xí)投入的時(shí)間、精力與收獲之間的關(guān)系 有長效和短效之分 密集型、訓(xùn)練性、速率式的學(xué)習(xí)或教學(xué)一般是短效的 應(yīng)注意長短結(jié)合 當(dāng)前應(yīng)更多關(guān)注長期效應(yīng),如何取得長效,使學(xué)生有機(jī)會真正經(jīng)歷數(shù)學(xué)化 在過程中積淀解決問題的思路和方法 能延續(xù)學(xué)生對數(shù)學(xué)的喜歡