不含參數(shù)但同時(shí)含有指對(duì)的不等式的證明

1、不含參數(shù)但同時(shí)含有指、對(duì)的不等式的證明 前言：最近幾天在數(shù)學(xué)交流群中學(xué)了幾道不含參數(shù)但同時(shí)含有指、對(duì)的不等式的證明題，我在這里總結(jié)一下，供自己及朋友們學(xué)習(xí)和交流。題型一、“無(wú)厘頭”不等式的證明題目1：求證：x1時(shí)，exx+1x-1lnx.解析：x1時(shí)，exx+1x-1lnxexlnxx2-1lnxx2-1ex,設(shè)fx=lnx-x2-1ex,x1,fx=1x-2x-x2+1ex=ex+x3-2x2-xxexx2+1+x3-2x2-xxex=x-12x+1xex0,fx0,fx在1,+單增，fxf1=0,lnxx2-1ex,x1時(shí)，exx+1x-1lnx.題目2：證明：當(dāng)-1x0.解析：-1x0

2、lnx+1+xx-2ex0,令fx= lnx+1+xx-2ex, -1x1ex+2x-2-x2x-22ex=x-22+2x-2-x2x-22ex=2-2xx-22ex0,fx在-1,0單增，fxf0=0,lnx+1+xx-2ex0, 當(dāng)-1x0.點(diǎn)評(píng)：題目1,2均為“無(wú)厘頭”不等式的證明，沒(méi)有函數(shù)作為鋪墊，很難找到突破口。一般而言需要對(duì)不等式進(jìn)行變形，基本原則為“對(duì)數(shù)單身狗”，在證明過(guò)程中利用了不等式exx2+1進(jìn)行放縮，在考試時(shí)要先證明再使用，這里我就偷懶了，當(dāng)然繼續(xù)求導(dǎo)也是可以證明出來(lái)的。題型二、函數(shù)解答題中不等式的證明題目3：已知函數(shù)fx=ex-x2.1求曲線(xiàn)fx在x=1處的切線(xiàn)方程；2

3、求證：當(dāng)x0時(shí)，ex+2-ex-1xlnx+1.解析：1fx在x=1處的切線(xiàn)方程為y=e-2x+1;2先證：x0時(shí)，fxe-2x+1,令gx=fx-e-2x+1,g1=0,gx=ex-2x-e+2,g1=0,gx=ex-2,易得gx在0,ln2單減，ln2,1單增，g0=3-e0,gln20, fxe-2x+1,要證當(dāng)x0時(shí)，ex+2-ex-1xlnx+1只需證x2+e-2x+1+2-ex-1xlnx+1即證xlnx+1,以下證明略。題目4：設(shè)函數(shù)fx=lnx+ax2+a+2x+1(aR).1討論函數(shù)fx的單調(diào)性；2設(shè)aZ,若對(duì)任意的x0,fx0恒成立，求整數(shù)a的最大值；3求證：當(dāng) x0時(shí)，ex-xlnx+2x3-x2+x-10.解析：（1）略，（2）整數(shù)a的最大值為-2,（3）x0時(shí)，ex-xlnx+2x3-x2+x-10exx-x+1xlnx-2x2-1exx-x+1x+2lnx-2x2+1=fx,由2知fx0恒成立，令gx=exx-x+1x+2,x0,gx=x-1ex-x-1x2,ex-x-10,gx在0,1單減，1,+單增,gxg1=e0,exx-x+1x+2lnx-2x2+1,點(diǎn)評(píng)：題目3,4都是以函數(shù)為載體證明含指對(duì)的不等式，一般方法是利用前面的信息對(duì)不等式進(jìn)行變形。題目4的不等式因?yàn)樽笥覜](méi)取等號(hào)，故有很大的操作空間，比如可以利用e