高中數學 第二章 平面向量 2.4 向量的數量積（二） 蘇教版必修4

1、第二章,平面向量,2.4向量的數量積(二,學習目標 1.掌握平面向量數量積的運算律及常用的公式. 2.會利用向量數量積的有關運算律進行計算或證明,1,預習導學 挑戰(zhàn)自我，點點落實,2,課堂講義 重點難點，個個擊破,3,當堂檢測 當堂訓練，體驗成功,知識鏈接 1.向量數乘的運算律有哪些？ 答(1)(a)()a. (2)()aaa. (3)(ab)ab. 特別地，有()a(a)(a)； (ab)ab,2.向量的線性運算 向量的 、 、 運算統(tǒng)稱為向量的線性運算，對于任意向量a、b，以及任意實數、1、2，恒有(1a2b)1a2b,加,減,數乘,預習導引 1.向量數量積的運算律 (1)abba(交換律

2、)； (2)(a)ba(b)(ab)ab(結合律)； (3)(ab)cacbc(分配律). 2.向量數量積的性質 設a、b為兩個非零向量，e是與b同向的單位向量,0,0,要點一向量數量積運算律有關概念 例1給出下列結論： 若a0，ab0，則b0； 若abbc，則ac； (ab)ca(bc)； ab(ac)c(ab)0. 其中正確結論的序號是_,解析因為兩個非零向量a、b垂直時，ab0，故不正確； 當a0，bc時，abbc0，但不能得出ac，故不正確； 向量(ab)c與c共線，a(bc)與a共線，故不正確； ab(ac)c(ab)(ab)(ac)(ac)(ab)0，故正確. 答案,規(guī)律方法向量的

3、數量積ab與實數a、b的乘積ab有聯系，同時有許多不同之處.例如，由ab0并不能得出a0或b0.特別是向量的數量積不滿足結合律，即一般情況下(ab)ca(bc,跟蹤演練1設a，b，c是任意的非零向量，且它們相互不共線，給出下列結論： acbc(ab)c； (bc)a(ca)b不與c垂直； |a|b|ab|； (3a2b)(3a2b)9|a|24|b|2. 其中正確的序號是_,解析根據向量積的分配律知正確； 因為(bc)a(ca)bc(bc)(ac)(ca)(bc)0， (bc)a(ca)b與c垂直，錯誤； 因為a，b不共線，所以|a|、|b|、|ab|組成三角形三邊， |a|b|ab|成立，正

4、確； 正確.故正確命題的序號是. 答案,要點二向量數量積運算律綜合應用 例2已知|a|6，|b|4，a與b的夾角為60，求(a2b)(a3b). 解(a2b)(a3b)aaab6bb|a|2ab6|b|2|a|2|a|b|cos 6|b|26264cos 6064272,規(guī)律方法熟練掌握兩向量的數量積定義及運算性質，是解決此類問題的關鍵.計算形如(manb)(paqb)的數量積可仿多項式乘法的法則展開計算，再運用數量積定義和模的公式化簡求解,跟蹤演練2已知向量a與b的夾角為120，且|a|4，|b|2，求： (1)(2ab)(a3b)； 解(2ab)(a3b)2a26abab3b2 2|a|2

5、5ab3|b|2 216542cos 120340,2)|3a4b|. 解|3a4b|2(3a4b)29a224ab16b2 91624(4)1641619,例3已知|a|3，|b|4，且a與b不共線，k為何值時，向量akb與akb互相垂直. 解akb與akb互相垂直的條件是 (akb)(akb)0，即a2k2b20,規(guī)律方法向量a，b夾角為銳角的等價條件是ab0且a與b不同向共線；ab夾角為鈍角的等價條件是ab0且a與b不反向共線；a與b垂直的等價條件是ab0,跟蹤演練3已知e1與e2是兩個互相垂直的單位向量，k為何值時，向量e1ke2與ke1e2的夾角為銳角？ 解e1ke2與ke1e2的夾

6、角為銳角， (e1ke2)(ke1e2,但當k1時，e1ke2ke1e2，它們的夾角為0，不符合題意，舍去. 綜上，k的取值范圍為k|k0且k1,1,2,3,4,1.已知|a|2，|b|1，a與b之間的夾角為60，那么向量a4b的模為_. 解析|a4b|2a28ab16b2 22821cos 60161212， |a4b|2,1,2,3,4,解析|ab|2(ab)2a22abb210， |ab|2(ab)2a22abb26， 將上面兩式左右兩邊分別相減，得4ab4， ab1,1,1,2,3,4,15,1,2,3,4,8或5,課堂小結,1.數量積對結合律一般不成立，因為(ab)c|a|b| cosa，bc是一個與c共線的向量，而a(bc)|b|c|cosb，ca是一個與a共線的向量，兩者